Determinante senza calcoli
Allora, ho appena iniziato lo studio di geometria, e dopo la teoria, mi ritrovo a fare gli esercizi, dopo aver svolto un bel po di matrici e determinanti. Mi trovo questo davanti:
" Verificare, senza eseguire i calcoli, che i seguenti determinanti valgono 0:
1) $ | ( a , b , c ),( x , y , z ),( a-x , b-y , c-z ) | $
2) $ | ( x , y , 2x+3y ),( y , z , 2y+3z ),( z , x , 3x+2z ) | $ "
Ehm, ok va bene, so come svolgere il determinante 3x3 e via dicendo, ma come posso dimostrare/negare che un determinante vale un numero/polinomio (A) senza eseguire i calcoli?
" Verificare, senza eseguire i calcoli, che i seguenti determinanti valgono 0:
1) $ | ( a , b , c ),( x , y , z ),( a-x , b-y , c-z ) | $
2) $ | ( x , y , 2x+3y ),( y , z , 2y+3z ),( z , x , 3x+2z ) | $ "
Ehm, ok va bene, so come svolgere il determinante 3x3 e via dicendo, ma come posso dimostrare/negare che un determinante vale un numero/polinomio (A) senza eseguire i calcoli?
Risposte
Ciao,
qui sono caso particolari. Sappiamo che se esiste almeno una riga o una colonna che è combinazione lineare delle altre righe o colonne allora il determinante è nullo. Questo perché in tal caso è sicuramente possibile trovare una serie di operazioni di riga o di colonna che rendano quella riga o colonna tutta nulla. A quel punto è sufficiente sviluppare lungo quella riga o colonna per dimostrare che il determinante è zero.
Nella prima matrice possiamo subito notare che la terza riga equivale alla differenza tra la prima e la seconda. Quindi la terza riga è linearmente dipendente dalle prime due, e di conseguenza il determinante della matrice è nullo.
Vuoi provare tu con la seconda matrice?
qui sono caso particolari. Sappiamo che se esiste almeno una riga o una colonna che è combinazione lineare delle altre righe o colonne allora il determinante è nullo. Questo perché in tal caso è sicuramente possibile trovare una serie di operazioni di riga o di colonna che rendano quella riga o colonna tutta nulla. A quel punto è sufficiente sviluppare lungo quella riga o colonna per dimostrare che il determinante è zero.
Nella prima matrice possiamo subito notare che la terza riga equivale alla differenza tra la prima e la seconda. Quindi la terza riga è linearmente dipendente dalle prime due, e di conseguenza il determinante della matrice è nullo.
Vuoi provare tu con la seconda matrice?
Non sono molto ferrato, sarà perchè devo fare esercizi, ma consultando leggermente la teoria mi viene da dire (per il secondo determinante), che: nominando le colonne come A,B,C (rispettivamente la prima,seconda,terza colonna), mi viene fuori questa equazione: $ (C-2A)/3=B $ Quindi portando B al primo membro, ottengo un equazione uguale a 0, e quindi tutto il determinante vale 0. Ho detto una scemenza?
Penso che sia la stessa cosa che stai cercando di dire, ma molto più semplicemente la terza colonna è data dalla somma tra il doppio della prima e il triplo della seconda. Quindi la terza colonna è linearmente dipendente dalle prime due e di conseguenza il determinante è sicuramente nullo.
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