Esercizio su applicazioni lineari

[Shika93]

Ho qualche dubbio sulla correttezza di quello che faccio in questo esercizio.

Sia $B$ una base di $RR^3$ composta da $v_1=((1),(-1),(0))$, $v_2=((0),(1),(1))$, $v_3=((1),(1),(1))$
$L:RR^3->RR^2$ dove $L(v_1)=((1),(2))$, $L(v_2)=((-1),(1))$, $L(v_3)=((0),(0))$

1)determinare dimensione di kerL e ImL esplicitando una base.

Siccome non mi viene data una base particolare, io lo farei partendo dalla matrice associata all'applicazione su quella base. Cioè su
$B={((1),(-1),(0)),((0),(1),(1)),((1),(1),(1))}$
e quindi
$A=((1,-1,0),(2,1,0))$ quindi $ImL=rnk(A)=2$, $kerL=2-rnk(A)=0$

2) determinare la matrice associata nella base $B$
E quindi è quella sopra.
$A=((1,-1,0),(2,1,0))$
c) coordinate di $e_1=((1),(0),(0))$ rispetto a $B$

in questo caso io risolverei il sistema
$((1),(0),(0))=\alphav_1+\betav_2+\gammav_3$ trovando come soluzione $\alpha=0, \beta=-1, \gamma=1$ cioè il vettore $((0),(-1),(1))$
d) questo è quello che mi da più dubbo. Determinare $L(e_1)$
Non avendo le equazioni dell'applicazione cosa devo fare?
Posso scrivere L nella base B come $L((x),(y))=((x-y),(2x+y))$ e quindi $L(e_1)=((1),(2))$?

e)Determinare la matrice associata ad L rispetto alle basi canoniche di $RR^2, RR^3$
Devo fare un cambiamento di basi con la forumula $X'=A^(-1)X$?

[garnak.olegovitc1]

"Shika93":quindi $ImL=rnk(A)=2$, $kerL=2-rnk(A)=0$

sei sicuro? Se la \(\dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(L))=2 \) allora secondo il teorema del rango la \(\dim_\Bbb{R}(\ker(L))=1\), sennò la \(\dim_\Bbb{R}(\Bbb{R}^3)\) ti viene non \( 3 \) ma \(2 \) (andando contro le ipotesi)!! E poi, il punto 1) è incompleto, non hai esplicitato una base per \( \operatorname{im}(L)\) e una per \(\ker(L)\)...

[Shika93]

"garnak.olegovitc":[quote="Shika93"]quindi $ImL=rnk(A)=2$, $kerL=2-rnk(A)=0$

sei sicurO? [/quote]
No, scusa, come dici tu. Nel punto 1 la base l'ho esplicitata subito, cioè quella che mi veniva data dai vettori ${v_1,v_2,v_3}$

[garnak.olegovitc1]

@Shika93, non ti seguo.. la base per ipotesi \(B:=(v_1,v_2,v_3)\) lo è per \( \Bbb{R}^3\), come può \(B\) essere anche base per il \(\ker(L)\)? Ricordati cosa significa per uno spazio vettoriale \(V\) su \(K\), ad esempio il nucleo di \(L\) su \( \Bbb{R}\), avere \(\dim_K(V)=n \in \Bbb{N}\)?

[Shika93]

$kerL={X\inRR^3|AX=O_{\RR^3}}$
Quindi le equazioni di kerL sono

$\{(x-y=0),(2x+y=0):}$
Forse ho capito male io
$B={((1),(2)),((-1),(1))}$?

[garnak.olegovitc1]

"Shika93":$kerL={X\inRR^3|AX=O_{\RR^3}}$
Quindi le equazioni di kerL sono
$\{(x-y=0),(2x+y=0):}$
Forse ho capito male io
$B={((1),(2)),((-1),(1))}$?

prendi un \( v \in \operatorname{dom}(L)\), certamente \(v=\alpha v_1 + \beta v_2 + \gamma v_3\), considera la sua immagine, \(L(v)\), e per il calcolo del \(\ker(L)\) ponila uguale a \((0,0)\), avresti: $$L(v)=\alpha(1,2)+\beta(-1,1)+\gamma(0,0)=$$$$=(\alpha-\beta, 2\alpha+\beta)=(0,0)$$ ottieni il sistema lineare $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
\alpha-\beta=0 \\
2\alpha+\beta=0
\end{matrix}\right.$$ un calcolo velocissimo mostra che \( \Sigma\) ammette \(\infty^{3-\operatorname{rnk}(\Sigma)=1}\) e sono in particolare $$\operatorname{Sol}(\Sigma)=\{(0,0,\gamma)|\gamma \in \Bbb{R}\}$$ ed ancora, essendo noti \(\alpha,\beta,\gamma\): $$v=\alpha(1,-1,0)+\beta(0,1,1)+\gamma(1,1,1)=\gamma(1,1,1),\; \forall \gamma \in \Bbb{R}\Rightarrow$$$$\Rightarrow \operatorname{ker}(L)=\mathscr{L}((1,1,1))\Rightarrow \dim_\Bbb{R}(\operatorname{ker}(L))=1$$ Per l'immagine di \(L\) il procedimento è ancora più semplice, dalla teoria si sa che in questo caso $$\operatorname{im}(L)=L(\operatorname{dom}(L))=\mathscr{L}(L(v_1),L(v_2),L(v_3))$$ sappiamo dal teorema del rango che \(\dim_\Bbb{R}(\operatorname{im}(L))=2\) ergo ti basta ricercare tra quei tre vettori due liberi su \(\Bbb{R}\)...

p.s.=che noia