Matrici simili
Date le matrici $A$ e $B$ di un'applicazione lineare $f$ rispetto a basi diverse esse sono simili.
Ma si intende che sono simili solo quando vengono usate due basi diverse (una per dominio e codominio di $A$ e l'altra per dominio e codominio di $B$) per le matrici diverse?
Cioè date le basi $e$ e $w$ si ha che $ M_e^e(f) $ è simile a $M_w^w(f)$, ma è vero anche ad esempio che $M_e^e(f)$ è simile a $M_e^w(f)$ oppure a $M_w^e(f)$?
Ma si intende che sono simili solo quando vengono usate due basi diverse (una per dominio e codominio di $A$ e l'altra per dominio e codominio di $B$) per le matrici diverse?
Cioè date le basi $e$ e $w$ si ha che $ M_e^e(f) $ è simile a $M_w^w(f)$, ma è vero anche ad esempio che $M_e^e(f)$ è simile a $M_e^w(f)$ oppure a $M_w^e(f)$?
Risposte
Ciao.
In questo post si è trattata la matrice del cambiamento di base, nel contesto di $RR^3$.
Se $A$ fosse espressa rispetto ad una base $B_1$ e $B$ rispetto ad una base $B_2$, con $A,B$ entrambe associate alla stessa applicazione lineare $f$, si avrebbe:
$A=M_{B_1}^{B_2}*B*M_{B_2}^{B_1}=(M_{B_2}^{B_1})^-1*B*M_{B_2}^{B_1}$
Saluti.
In questo post si è trattata la matrice del cambiamento di base, nel contesto di $RR^3$.
Se $A$ fosse espressa rispetto ad una base $B_1$ e $B$ rispetto ad una base $B_2$, con $A,B$ entrambe associate alla stessa applicazione lineare $f$, si avrebbe:
$A=M_{B_1}^{B_2}*B*M_{B_2}^{B_1}=(M_{B_2}^{B_1})^-1*B*M_{B_2}^{B_1}$
Saluti.
ma la mia domanda è diversa, le mie non sono matrici di cambiamento di base, infatti ho scritto $M_w^e(f)$ non $M_w^e(id)$ e non chiedo come fare il cambiamento di base quanto piuttosto se $M_w^e(f)$ sia simile a $M_w^w(f)$ per esempio
Ciao.
Cerco di rispondere alla domanda posta, sperando di non commettere errori, dovuti, ad esempio, a miei possibili fraintendimenti delle notazioni usate (o alla ruggine "ultraquartosecolare", diffusa a macchia di leopardo nella mia mente), nel qual caso mi scuso preventivamente per eventuali mie inesattezze.
La matrice di cambiamento di base dovrebbe entrare, comunque, in gioco; ecco il mio ragionamento.
Sia $f in End(V)$, con $V$ spazio vettoriale su un campo $K$, e siano $e,w$ due basi di $V$; dovrebbero valere:
$M_w^e(f)*[v]_e=[f(v)]_w$
$M_w^w(f)*[v]_w=[f(v)]_w$
Siccome varrebbe
$[v]_e=M_e^w*[v]_w$
si otterrebbe che
$M_w^e(f)*(M_e^w*[v]_w)=(M_w^e(f)*M_e^w)*[v]_w=[f(v)]_w=M_w^w(f)*[v]_w$
cioè
$M_w^e(f)*M_e^w=M_w^w(f)$
Quindi le matrici $M_w^e(f),M_w^w(f)$ sarebbero collegabili tra loro tramite una matrice di cambiamento di base, ma dubiterei del fatto che si possa affermare che queste possano essere simili tra loro.
Saluti.
Cerco di rispondere alla domanda posta, sperando di non commettere errori, dovuti, ad esempio, a miei possibili fraintendimenti delle notazioni usate (o alla ruggine "ultraquartosecolare", diffusa a macchia di leopardo nella mia mente), nel qual caso mi scuso preventivamente per eventuali mie inesattezze.
La matrice di cambiamento di base dovrebbe entrare, comunque, in gioco; ecco il mio ragionamento.
Sia $f in End(V)$, con $V$ spazio vettoriale su un campo $K$, e siano $e,w$ due basi di $V$; dovrebbero valere:
$M_w^e(f)*[v]_e=[f(v)]_w$
$M_w^w(f)*[v]_w=[f(v)]_w$
Siccome varrebbe
$[v]_e=M_e^w*[v]_w$
si otterrebbe che
$M_w^e(f)*(M_e^w*[v]_w)=(M_w^e(f)*M_e^w)*[v]_w=[f(v)]_w=M_w^w(f)*[v]_w$
cioè
$M_w^e(f)*M_e^w=M_w^w(f)$
Quindi le matrici $M_w^e(f),M_w^w(f)$ sarebbero collegabili tra loro tramite una matrice di cambiamento di base, ma dubiterei del fatto che si possa affermare che queste possano essere simili tra loro.
Saluti.
ok grazie mille!
Di nulla.
Spero solo di non aver scritto inesattezze.
Saluti.
Spero solo di non aver scritto inesattezze.
Saluti.
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