Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Se io ho una matrice A ed una B=2A, con u autovettore di B con rispettivo autovalore I. Abbiamo quindi
B*u=I*u
Vale anche la seguente uguaglianza giusto?
A*u=(I/2)*u
Vi ringrazio
Buona sera
Se ho una matrice quadrata di ordine n e con rango della matrice pari a 1 vuol dire che ogni riga /colonna si può o esprimere come combinazione lineare delle rimanenti n-1 oppure che si può esprimere come combinazione lineare Dell unica riga indipendente?
Salve ragazzi, la mia docente ha spiegato un lemma che cita come segue:
Sia $ (V,+,*) $ uno spazio vettoriale su un campo $ K $ con $ dimV=n>=1 $. Si hanno le seguenti proprietà:
$ I $ Se $ {v_1...v_n} $ è un insieme di $ n $ vettori linearmente indipendenti, allora l'insieme dei vettori è una base dello spazio vettoriale V.
$ II $ Se $ v_1...v_n $ sono $ n $ generatori di V allora $ {v_1...v_n} $ è base di V.
Ha ...
Salve
Oltre alla definizione di matrice definita positiva ($x^*Ax>0$) ho trovato scritto: se A è Hermitiana ed è anche definita positiva, i suoi autovalori sono tutti positivi.
Nel fare gli esercizi però sembra che l' implicazione valga anche in verso opposto. Cioè che se gli autovalori di una matrice Hermitiana sono tutti positivi, allora la matrice si dice definita positiva.
Quindi si potrebbe dire che una matrice Hermitiana è definita positiva se è solo se i suoi autovalori sono ...
Buongiorno,
ho un esercizio in cui ho due sottospazi di $E^4$ affini espressi sottoforma di 3 equazioni cartesiane ciascuno. Come faccio a trovare il più piccolo sottospazio affine di $E^4$ che li contiene?
Mi servirebbe una procedura generale, non un esercizio svolto nello specifico, passando dalla forma parametrica.
Grazie
Buongiorno a tutti, vi chiedo come dovrei procedere per risolvere questi esercizi nel pratico. Non mi interessa in modo particolare conoscere la teoria, giusto vorrei imparare in modo sistematico i passaggi per risolverli.
Vi ringrazio anticipatamente.
L'esercizio è:
Siano
$v1=|(2),(1),(−1)|,v2=|(2),(0),(3)|,v3=|(−2),(2),(1)|,w1=|(−4),(3),(6)|,w2=|(0),(−1),(4)|$
vettori di R3.
(A) Si determinino (a,b,c) tali che w1=a(v1)+b(v2)+c(v3).
(B) Si dica, giustificando la risposta, se {v1,v2,w2} sono un sistema di generatori per R3.
(C) Si completi {w1,w2} ad una base ...
Ciao. Ho la seguente matrice:
$ A=( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , 7/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 5/4) ) $
Per determinare gli autovalori ho calcolato il determinante di $ (A-I\lambda) $:
$ det(A-I\lambda)=det( ( -1-\lambda , 0 , 0 ),( 0 , 7/4-\lambda , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 5/4-\lambda ) ) $
$ =(-1-\lambda)(\lambda+1)(\lambda+2) $
Ponendolo uguale a $ 0 $ ottengo $ \lambda_1=-2 $ con molteplicità $ 1 $ e $ \lambda_2=-1 $ con molteplicità $ 2 $. Per gli autovettori relativi a $ \lambda_1=-2 $ risolvo il sistema
$ ( ( 1, 0 , 0 ),( 0 , 15/4 , \sqrt3/4 ),( 0 , \sqrt3/4 , 13/4 ) ) ( ( a_1 ),( a_2 ),( a_3 ) ) =( ( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ da cui ottengo $ ( ( a_1 ),( 15/4a_2+\sqrt3/4a_3 ),( \sqrt3/4a_2+1/4a_3 ) ) =( ( 0 ),(0),( 0 ) ) $
L'unica soluzione è possibile è il vettore ...
Buon giorno a tutti!
Come molti di voi certamente sapranno, un noto teorema afferma che
"Un libro qualunque":Data una matrice \(A \in M_n\), ad autovalori distinti corrispondono autovettori linearmente indipendenti.
La dimostrazione di tale fatto, durante il mio corso di algebra lineare, è stata fatta per induzione.
Siccome però, a me, quella dimostrazione non è mai andata giù, né mi va giù adesso, ne ho cercata un'altra, ma senza successo: sull'Abate c'è sempre ...
Buongiorno a tutti. Ho svolto il quesito molto semplice in foto; tuttavia, ho un problema: ammesso e non concesso che il procedimento sia corretto, come faccio a capire dal risultato del sistema se i vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti? La mia supposizione è che ottenendo $a=4b$ si possa dedurre che $a$ può essere espresso come combinazione lineare $4b$, il cui scalare è non nullo, e dunque i vettori sono linearmente dipendenti. Cosa ne ...
Buonasera, sto studiando la seguente proposizione
Proposizione:
Siano $W\subseteqW'$ sottospazi vettorali di V, con $dimW=h$, $dimW'=c$.
Esiste un riferimento ortonormale di $V$ in cui il complemento ortogonale di $W$ in $W'$ è rappresentato dal sistema $x_1=cdots=x_h=x_(c+1)=cdots=0$
Prima di iniziare la dimostrazione, riporto un'altra proposizione che viene citata nella dimostrazione, e cioè
Sia fissato un riferimento ortonormale ...
Buonasera, nel compito di esame che sto svolgendo c'è il seguente esercizio:
Si considerino i seguenti vettori di $\mathbb{R}^3$:
\begin{align*}\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0, \end{pmatrix}, \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{align*}
E chiede di verificare che siano linearmente indipendenti e per svolgere questo punto basta verificare con l'eliminazione di Gauss che la matrice abbia tre pivot, in ...
Ciao a tutti
Sto studiando elettromagnetismo( su tre dimensioni quindi) e mi sono imbattuto in un problema
Io so che $-H_x=-hat x * vec H$ (proiezione vettore H su x)
Dopo di che sostituendo $vec H =1/z_0 hatk × vec E$ e sapendo che il vettore di E è disponibile solo su y ($vec E=E_yhaty$) ottengo
$-H_x=E_y/z_0 hat x × haty * hat k=E_y/z_0 hat k*hat z$ ho scambiato croce punto
È corretto secondo voi?
In più posso scrivere lo scalare $E_y= hat y * vec E$?
Posso trovare un modo per scrivere \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \) come prodotto infinito di gruppi finiti ??
Devo trovare una successione \((G_n)_n\) di gruppi amenabili tale che \( \prod_n G_n \) non è amenabile. Ho pensato che forse \[ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \cong \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}) \]
dove \(p_n \) è l'\(n\)-esimo numero primo.
in particolare essendo \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}) \) finito è amenabile.
Per ...
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Studente Anonimo
26 ott 2022, 17:44
Il professore di automatica ci ha mostrato la seguente equazione differenziale descrivente il comportamento di un sistema dinamico, di cui bisogna trovare la risposta libera (imponendo u(t)=0) :
$ y^{(3)}(t)+2y^{(2)}(t)+5y^{(1)}(t)=u(t)−3u^{(1)}(t) $ , con $ t_0=0, y(t_0)=3 , y'(t_0)=2 , y''(t_0)=1 $
I risultati forniti dal professore vedono come risposta libera del sistema la seguente:
$ 4 + {\frac{-cos(2t)-\frac{sin(2t)}{2}}{e^t}} $, con la combinazione lineare tra parentesi graffe riportata nella 2° delle 3
forme da lui indicate per la rappresentazione della combinazione ...
Salve, avrei questo problema di Algebra Lineare da risolvere:
(a) Trova l’equazione parametrica
X(t) = (x1(t), x2(t), x3(t))
della retta che passa per il punto (1, 1, 1) nella direzione del vettore (1, 4, 9).
(b) Per quale valore di t `e x3(t) = 0. [In seguito, possiamo interpretare questo come il valore
di t questo per significare dove la linea interseca il piano x3 = 0].
Qualcuno sa aiutarmi? Grazie in anticipo
Buongiorno
Vi volevo chiedere un chiarimento sulla seguente proprietà, e cioè
Se considero una forma quadratica $q$ associata ad una forma biliare $f$ su $V$, che sia degenere, e sia $u$ annullatore di $f$, allora risulta $q(u)=0$
Per provarla faccio questo ragionamento
1. $f:(u,v) in VxV to f(u,v) in K$ forma biliare
2. $q:u in V to q(u):=f(u,u)in K$ forma quadratica
3. $V_0^f:={v in V: f(u,v)=0 forall v in V}$ spazio degli annullatore
4. ...
Abbiamo due segmenti AB, BC che condividono un vertice B e sono disposti in un piano, se si pone un punto a caso D nel piano e si congiungono le tre estremità A,B,C di questi due segmeti (di cui una è in comune) con questo punto D otteniamo i triangoli ABD e BCD.
E' possibile determinare con riga e compasso (o magari con qualche notazione nota in funzione dei parametri di partenza) i punti D per cui ABD e BCD sono triangoli simili? (quando si formano dei triangoli ovviamente, perché non ...
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio:
Sia $X$ uno spazio topologico tale per cui esistono insiemi $\{A_i\}_(i\in I)$ tali che:
1) $X=\bigcup_(i\in I) A_i$
2) $A_i$ è aperto in $X$ per ogni $i\in I$
3) $A_i$ è di Hausdorff per ogni $i\in I$
4) Gli $A_i$ sono a due a due disgiunti, ovvero $A_i \cap A_j=\emptyset$ per ogni $i\ne j$
(a) Dimostrare che $X$ è di Hausdorff.
(b) se sostituiamo l'ipotesi ...
Salve, cerco aiuto per questo problema: data ellisse di semiassi a=1 e b variabile, trovare le due formule parametriche x=f(b) con incognite le due ascisse, comprese tra 0 e 1 (nel primo quadrante), che determinano i due punti sullo stesso quarto di ellisse, tale che rimanga diviso in tre CORDE uguali.
ps. con Pitagora i calcoli letterali sono ingestibili, enormi...
Grazie!!
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