Sistemi di generatori e basi
Buongiorno a tutti, vi chiedo come dovrei procedere per risolvere questi esercizi nel pratico. Non mi interessa in modo particolare conoscere la teoria, giusto vorrei imparare in modo sistematico i passaggi per risolverli.
Vi ringrazio anticipatamente.
L'esercizio è:
Siano
$v1=|(2),(1),(−1)|,v2=|(2),(0),(3)|,v3=|(−2),(2),(1)|,w1=|(−4),(3),(6)|,w2=|(0),(−1),(4)|$
vettori di R3.
(A) Si determinino (a,b,c) tali che w1=a(v1)+b(v2)+c(v3).
(B) Si dica, giustificando la risposta, se {v1,v2,w2} sono un sistema di generatori per R3.
(C) Si completi {w1,w2} ad una base di R3 usando la base canonica.
Vi ringrazio anticipatamente.
L'esercizio è:
Siano
$v1=|(2),(1),(−1)|,v2=|(2),(0),(3)|,v3=|(−2),(2),(1)|,w1=|(−4),(3),(6)|,w2=|(0),(−1),(4)|$
vettori di R3.
(A) Si determinino (a,b,c) tali che w1=a(v1)+b(v2)+c(v3).
(B) Si dica, giustificando la risposta, se {v1,v2,w2} sono un sistema di generatori per R3.
(C) Si completi {w1,w2} ad una base di R3 usando la base canonica.
Risposte
"fal944":"La pratica è la verifica della teoria."
[...] Non mi interessa in modo particolare conoscere la teoria, giusto vorrei imparare in modo sistematico i passaggi per risolverli. [...]
...e non voglio aggiungere altro!
Ne sono consapevole, l'ho scritto per evitare a chi potesse fornirmi la spiegazione di scrivere cenni riguardo la parte teorica che per strette necessità ho scelto di evitare!
Va bene...
Punto (a): sai scrivere il generico vettore \(\displaystyle a\underline{v}_1+b\underline{v}_2+c\underline{v}_3\in\mathbb{R}^3\) con \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}\)?
Punto (a): sai scrivere il generico vettore \(\displaystyle a\underline{v}_1+b\underline{v}_2+c\underline{v}_3\in\mathbb{R}^3\) con \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}\)?
"j18eos":
Va bene...
Punto (a): sai scrivere il generico vettore \(\displaystyle a\underline{v}_1+b\underline{v}_2+c\underline{v}_3\in\mathbb{R}^3\) con \(\displaystyle a,b,c\in\mathbb{R}\)?
Ok, dovrebbe essere così genericamente
\(\displaystyle a\underline{v}_1+b\underline{v}_2+c\underline{v}_3\in\mathbb{R}^3\)$=a|(2),(1),(−1)|+b|(2),(0),(3)|+c|(−2),(2),(1)|$
E se volessi scriverlo come moltiplicazione matriciale?
Insomma, quale sarebbe la matrice \(X\) tale che:
\[X\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \]
Una volta scritto come sistema, il punto 1 non è altro che la sua risoluzione algebrica.
Per il secondo punto devi calcolare il rango di una particolare matrice. Quale?
Insomma, quale sarebbe la matrice \(X\) tale che:
\[X\begin{pmatrix}a \\ b \\ c\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}2 \\ 1 \\ -1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix} + c\begin{pmatrix}-2 \\ 2 \\ 1\end{pmatrix} \]
Una volta scritto come sistema, il punto 1 non è altro che la sua risoluzione algebrica.
Per il secondo punto devi calcolare il rango di una particolare matrice. Quale?
Con il punto a) alla fine mi trovo, basta mettere a sistema con i coefficienti...
Il fatto è il punto 2. La parte di esercizi che sto facendo precede la spiegazione del concetto di rango e base, essendo solo per la parte di indipendenza lineare.
Nel punto 2 mi sono andato a calcolare il determinante dato dalla matrice dei vettori, e viene zero, quindi la matrice non è invertibile e non è un sistema di generatori.
Ma la spiegazione alla risposta data dal professore è "no, perchè $w_2$ appartiene a $$
E ok, verificandone l'appartenenza si vede. Ma perchè è giusta questa risposta piuttosto che la mia?
In fine una considerazione sull'esercizio 3: la riduzione a scala con la base canonica mi viene abbastanza laboriosa e con frazioni. Sapreste darmi una mano a riguardo?
Grazie
Il fatto è il punto 2. La parte di esercizi che sto facendo precede la spiegazione del concetto di rango e base, essendo solo per la parte di indipendenza lineare.
Nel punto 2 mi sono andato a calcolare il determinante dato dalla matrice dei vettori, e viene zero, quindi la matrice non è invertibile e non è un sistema di generatori.
Ma la spiegazione alla risposta data dal professore è "no, perchè $w_2$ appartiene a $
E ok, verificandone l'appartenenza si vede. Ma perchè è giusta questa risposta piuttosto che la mia?
In fine una considerazione sull'esercizio 3: la riduzione a scala con la base canonica mi viene abbastanza laboriosa e con frazioni. Sapreste darmi una mano a riguardo?
Grazie
Parte (b): forse il prof. vuole che tu dimostri che quei vettori sono l.d., e determinare quale vettore dipende dagli altri!
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