Sottospazi affini
Buongiorno,
ho un esercizio in cui ho due sottospazi di $E^4$ affini espressi sottoforma di 3 equazioni cartesiane ciascuno. Come faccio a trovare il più piccolo sottospazio affine di $E^4$ che li contiene?
Mi servirebbe una procedura generale, non un esercizio svolto nello specifico, passando dalla forma parametrica.
Grazie
ho un esercizio in cui ho due sottospazi di $E^4$ affini espressi sottoforma di 3 equazioni cartesiane ciascuno. Come faccio a trovare il più piccolo sottospazio affine di $E^4$ che li contiene?
Mi servirebbe una procedura generale, non un esercizio svolto nello specifico, passando dalla forma parametrica.
Grazie
Risposte
Beh, dipende, una tassonomia completa non è certo una cosa che si scrive in generale.
Puoi iniziare così.
Ciascun $U,V\le E^4$ è della forma \(p+\bar U, q + \bar V\) dove \(\bar U,\bar V\) sono sottospazi dello spazio vettoriale su cui \(E^4\) è modellato; ora, \(\bar U,\bar V\) risultano dalla intersezione di 3 iperpiani, diciamo \(U_1\cap U_2\cap U_3=\bar U\) e \(V_1\cap V_2\cap V_3 = \bar V\); ora, la natura di \(U\vee V\le E^4\) si deduce dall'indipendenza reciproca dei covettori che generano gli \(U_i\), dall'indipendenza reciproca di quelli che generano i \(V_j\), e dall'indipendenza reciproca tra gli \(U_i\) e i \(V_j\)... La qual cosa diventa evidente se osservi che \(U\vee V\) è il sottospazio affine \(p + \langle q-p,\bar U,\bar V\rangle\), ossia il sottospazio affine che "passa" per il punto $p$ da cui passa $U$, e di varietà lineare sottostante quella generata da \(\bar U+\bar V\) a cui è stato aggiunto il vettore \(q-p\).
Puoi iniziare così.
Ciascun $U,V\le E^4$ è della forma \(p+\bar U, q + \bar V\) dove \(\bar U,\bar V\) sono sottospazi dello spazio vettoriale su cui \(E^4\) è modellato; ora, \(\bar U,\bar V\) risultano dalla intersezione di 3 iperpiani, diciamo \(U_1\cap U_2\cap U_3=\bar U\) e \(V_1\cap V_2\cap V_3 = \bar V\); ora, la natura di \(U\vee V\le E^4\) si deduce dall'indipendenza reciproca dei covettori che generano gli \(U_i\), dall'indipendenza reciproca di quelli che generano i \(V_j\), e dall'indipendenza reciproca tra gli \(U_i\) e i \(V_j\)... La qual cosa diventa evidente se osservi che \(U\vee V\) è il sottospazio affine \(p + \langle q-p,\bar U,\bar V\rangle\), ossia il sottospazio affine che "passa" per il punto $p$ da cui passa $U$, e di varietà lineare sottostante quella generata da \(\bar U+\bar V\) a cui è stato aggiunto il vettore \(q-p\).
Grazie mille. Ho capito bene cosa intendi e sono riuscito ad applicarlo nell'esercizio 
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