Controesempio spazi di Hausdorff
Ciao a tutti, ho il seguente esercizio:
Sia $X$ uno spazio topologico tale per cui esistono insiemi $\{A_i\}_(i\in I)$ tali che:
1) $X=\bigcup_(i\in I) A_i$
2) $A_i$ è aperto in $X$ per ogni $i\in I$
3) $A_i$ è di Hausdorff per ogni $i\in I$
4) Gli $A_i$ sono a due a due disgiunti, ovvero $A_i \cap A_j=\emptyset$ per ogni $i\ne j$
(a) Dimostrare che $X$ è di Hausdorff.
(b) se sostituiamo l'ipotesi 2) con l'ipotesi 2'): $A_i$ è chiuso in $X$ per ogni $i\in I$, $X$ è ancora di Hausdorff? In caso negativo, dare un controesempio.
Il punto (a) è molto facile da dimostrare, mentre per il punto (b) a me verrebbe da dire che la cosa è falsa, principalmente perché nel punto (a) utilizzo il fatto che se $U$ è aperto in $V$ ed a sua volta $V$ è aperto in $X$, allora anche $U$ è aperto in $X$, cosa che diventa in generale falsa se suppongo che "l'insieme di mezzo" sia chiuso invece che aperto.
Tuttavia, non mi vengono in mente controesempi di alcun genere... soprattutto perché non conosco troppi spazi non di Hausdorff.
Consigli/idee?
Grazie a chiunque risponda
Sia $X$ uno spazio topologico tale per cui esistono insiemi $\{A_i\}_(i\in I)$ tali che:
1) $X=\bigcup_(i\in I) A_i$
2) $A_i$ è aperto in $X$ per ogni $i\in I$
3) $A_i$ è di Hausdorff per ogni $i\in I$
4) Gli $A_i$ sono a due a due disgiunti, ovvero $A_i \cap A_j=\emptyset$ per ogni $i\ne j$
(a) Dimostrare che $X$ è di Hausdorff.
(b) se sostituiamo l'ipotesi 2) con l'ipotesi 2'): $A_i$ è chiuso in $X$ per ogni $i\in I$, $X$ è ancora di Hausdorff? In caso negativo, dare un controesempio.
Il punto (a) è molto facile da dimostrare, mentre per il punto (b) a me verrebbe da dire che la cosa è falsa, principalmente perché nel punto (a) utilizzo il fatto che se $U$ è aperto in $V$ ed a sua volta $V$ è aperto in $X$, allora anche $U$ è aperto in $X$, cosa che diventa in generale falsa se suppongo che "l'insieme di mezzo" sia chiuso invece che aperto.
Tuttavia, non mi vengono in mente controesempi di alcun genere... soprattutto perché non conosco troppi spazi non di Hausdorff.
Consigli/idee?
Grazie a chiunque risponda
Risposte
Boh, \( \mathbb R \) con la topologia cofinita funziona? Perché non è Hausdorff, si ricopre con chiusi disgiunti, e i chiusi in teoria sono Hausdorff (non sono sicurissimo di quest'ultima affermazione ma sono da telefono).
Prendi un insieme infinito in cui tutti i punti sono chiusi.
Questi è necessariamente uno spazio topologico soddisfacente l'assioma di separazione di Hausdorff?
Questi è necessariamente uno spazio topologico soddisfacente l'assioma di separazione di Hausdorff?
"marco2132k":
Boh, \( \mathbb R \) con la topologia cofinita funziona? Perché non è Hausdorff, si ricopre con chiusi disgiunti, e i chiusi in teoria sono Hausdorff (non sono sicurissimo di quest'ultima affermazione ma sono da telefono).
Mmm quali sono i chiusi disgiunti con cui ricopri $RR$?
"j18eos":
Prendi un insieme infinito in cui tutti i punti sono chiusi.
Questi è necessariamente uno spazio topologico soddisfacente l'assioma di separazione di Hausdorff?
Ottima idea! Dato che i punti sono tutti chiusi, gli aperti sono del tipo $X\\ \{\mbox(numero finito di punti)\}$ e quindi non trovo mai due aperti disgiunti che separano due punti distinti.
D'altro canto, ogni singoletto $\{x\}$ è di Hausdorff banalmente perché contiene un solo punto.
Chissà come ho fatto a non pensarci!
I chiusi nella cofinita sono tutti gli insiemi finiti, quindi puoi scrivere \( \mathbb R \) come unione \( \bigcup_{x\in \mathbb R}\{x\} \), no?
"marco2132k":
I chiusi nella cofinita sono tutti gli insiemi finiti, quindi puoi scrivere \( \mathbb R \) come unione \( \bigcup_{x\in \mathbb R}\{x\} \), no?
Hai perfettamente ragione!! Non so perché, ma nella mia testa i punti erano aperti
Grazie mille, gentilissimo!
Esatto basta prendere uno spazio $T_1$ ma non $T_2$ e lo ricopri con i singoletti, ma se invece hai oltre 2') anche 5) che dice che il ricoprimento è localmente finito, puoi concludere che $X$ è $T_2$? 
Localmente finito vuol dire che ogni punto ha un intorno che interseca solo un numero finito di elementi del ricoprimento.
Localmente finito vuol dire che ogni punto ha un intorno che interseca solo un numero finito di elementi del ricoprimento.
"otta96":
Esatto basta prendere uno spazio $T_1$ ma non $T_2$ e lo ricopri con i singoletti, ma se invece hai oltre 2') anche 5) che dice che il ricoprimento è localmente finito, puoi concludere che $X$ è $T_2$?
Localmente finito vuol dire che ogni punto ha un intorno che interseca solo un numero finito di elementi del ricoprimento.
A sentimento, ti direi comunque di no, che non posso concludere che $X$ sia Hausdorff.
Però dovrei pensarci meglio (cosa che non credo farò, perché non tocco topologia da troppo tempo, come si vede dalle mie ultime domande
)
Comunque io l'ho buttata lì ma non sapevo la risposta, ci ho anche pensato ma ancora non mi viene in mente qualcuno ha qualche idea? 
"otta96":Secondo me sì, perché in queste ipotesi se $x,y$ sono punti distinti allora prendiamo intorni $U,V$ di $x,y$ rispettivamente che intersecano il ricoprimento in un numero finito di aperti. Allora anche $U uu V$ interseca il ricoprimento in un numero finito di aperti. Per lo spazio topologico $U uu V$ (con la topologia indotta) valgono tutte le ipotesi di partenza con l'ulteriore fatto che il ricoprimento è finito. In altre parole siamo ridotti al caso in cui il ricoprimento è finito. Ma allora ogni $A_i$ ha come complementare un'unione finita di chiusi, che è chiusa, quindi ogni $A_i$ è aperto e abbiamo già stabilito che il risultato vale se ogni $A_i$ è aperto.
se invece hai oltre 2') anche 5) che dice che il ricoprimento è localmente finito, puoi concludere che $X$ è $T_2$?
Localmente finito vuol dire che ogni punto ha un intorno che interseca solo un numero finito di elementi del ricoprimento.
Eh si hai ragione 
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