\( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \) come prodotto infinito
Posso trovare un modo per scrivere \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \) come prodotto infinito di gruppi finiti ??
Devo trovare una successione \((G_n)_n\) di gruppi amenabili tale che \( \prod_n G_n \) non è amenabile. Ho pensato che forse \[ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \cong \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}) \]
dove \(p_n \) è l'\(n\)-esimo numero primo.
in particolare essendo \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}) \) finito è amenabile.
Per costruire l'isomorfismo ho pensato che forse già la proiezioni sulle componenti funziona, credo infatti che conoscendo tutte le proiezioni posso determinare univocamente una matrice di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \).
Vi sembra funzionare?
Devo trovare una successione \((G_n)_n\) di gruppi amenabili tale che \( \prod_n G_n \) non è amenabile. Ho pensato che forse \[ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \cong \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}) \]
dove \(p_n \) è l'\(n\)-esimo numero primo.
in particolare essendo \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/p_n\mathbb{Z}) \) finito è amenabile.
Per costruire l'isomorfismo ho pensato che forse già la proiezioni sulle componenti funziona, credo infatti che conoscendo tutte le proiezioni posso determinare univocamente una matrice di \( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \).
Vi sembra funzionare?
Risposte
No quei due gruppi non sono isomorfi, considera i loro centri (il centro di un gruppo è il sottogruppo formato dagli elementi che commutano con ogni elemento).
$SL(2,ZZ)$ e $SL(2,ZZ//pZZ)$ hanno centro ${-1,1}$, gruppi isomorfi hanno centri isomorfi e il centro di un prodotto diretto è il prodotto diretto dei centri.
$SL(2,ZZ)$ e $SL(2,ZZ//pZZ)$ hanno centro ${-1,1}$, gruppi isomorfi hanno centri isomorfi e il centro di un prodotto diretto è il prodotto diretto dei centri.
Okay, hai ragione. Anche se non capisco bene cosa fallisce (penso la suriettività)
Comunque allora credo che il seguente morfismo sia iniettivo infatti
\[ \operatorname{proj} : \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/(n+1) \mathbb{Z} ) \]
\[ A \mapsto \prod_{n \geq 1} A_{n+1} \]
dove \( A_{n+1} \) è ottenuta riducendo \( \mod n+1\) i coefficienti di \(A\).
Supponiamo che esista \(1 \leq i,j \leq 2 \) tale che \( A_{i,j} \neq B_{i,j} \). Wlog \(B_{i,j} < A_{i,j} \), abbiamo che esiste un divisore \(d\) di \(A_{i,j} \) che non è un divisore di \(B_{i,j} \), da cui \( A_{i,j} \mod d \equiv 0 \not\equiv B_{i,j} \mod d \) pertanto
\[ \operatorname{proj}(A)= \prod_{n \geq 1} A_{n+1} \neq \prod_{n \geq 1} B_{n+1} = \operatorname{proj}(B). \]
Quindi \[ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \cong \operatorname{proj}\left( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\right) < \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/(n+1) \mathbb{Z} ) \]
Se \( \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/(n+1) \mathbb{Z} ) \) fosse amenabile allora ogni sottogruppo sarebbe amenabile, ma abbiamo trovato un sottogruppo isomorfo a \(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\) che non è amenabile. Contraddizione.
Edit: Actually per l'iniettività è più semplice \( \ker \operatorname{proj} = \{ 1 \} \) siccome \( A_{i,j} \equiv A_{i,j} \mod A_{i,j} + 1 \). Quindi \( \operatorname{proj}(A) \neq 1 \) se \( A \neq 1 \).
Comunque allora credo che il seguente morfismo sia iniettivo infatti
\[ \operatorname{proj} : \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \to \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/(n+1) \mathbb{Z} ) \]
\[ A \mapsto \prod_{n \geq 1} A_{n+1} \]
dove \( A_{n+1} \) è ottenuta riducendo \( \mod n+1\) i coefficienti di \(A\).
Supponiamo che esista \(1 \leq i,j \leq 2 \) tale che \( A_{i,j} \neq B_{i,j} \). Wlog \(B_{i,j} < A_{i,j} \), abbiamo che esiste un divisore \(d\) di \(A_{i,j} \) che non è un divisore di \(B_{i,j} \), da cui \( A_{i,j} \mod d \equiv 0 \not\equiv B_{i,j} \mod d \) pertanto
\[ \operatorname{proj}(A)= \prod_{n \geq 1} A_{n+1} \neq \prod_{n \geq 1} B_{n+1} = \operatorname{proj}(B). \]
Quindi \[ \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}) \cong \operatorname{proj}\left( \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\right) < \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/(n+1) \mathbb{Z} ) \]
Se \( \prod_{n \geq 1} \operatorname{SL}_2(\mathbb{Z}/(n+1) \mathbb{Z} ) \) fosse amenabile allora ogni sottogruppo sarebbe amenabile, ma abbiamo trovato un sottogruppo isomorfo a \(\operatorname{SL}_2(\mathbb{Z})\) che non è amenabile. Contraddizione.
Edit: Actually per l'iniettività è più semplice \( \ker \operatorname{proj} = \{ 1 \} \) siccome \( A_{i,j} \equiv A_{i,j} \mod A_{i,j} + 1 \). Quindi \( \operatorname{proj}(A) \neq 1 \) se \( A \neq 1 \).
Ma non capisco perché ti complichi tanto la vita, se prendiamo l'omomorfismo che hai considerato all'inizio, quello che proietta su tutte le componenti,
$SL(2,ZZ) to prod_p SL(2,ZZ//pZZ)$
dove $p$ varia tra tutti i primi, allora questo è iniettivo perché se prendi una matrice $M$ nel suo nucleo, allora ogni elemento di $M$ fuori dalla diagonale è divisibile per tutti i primi, quindi è $0$, e se $d$ è un elemento diagonale di $M$ allora $d-1$ è divisibile per tutti i primi, quindi è $0$. Segue che $M$ è la matrice identica.
$SL(2,ZZ) to prod_p SL(2,ZZ//pZZ)$
dove $p$ varia tra tutti i primi, allora questo è iniettivo perché se prendi una matrice $M$ nel suo nucleo, allora ogni elemento di $M$ fuori dalla diagonale è divisibile per tutti i primi, quindi è $0$, e se $d$ è un elemento diagonale di $M$ allora $d-1$ è divisibile per tutti i primi, quindi è $0$. Segue che $M$ è la matrice identica.
Eh... hai ragione
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