Dimostrazione lemma sulle basi degli spazi vettoriali
Salve ragazzi, la mia docente ha spiegato un lemma che cita come segue:
Sia $ (V,+,*) $ uno spazio vettoriale su un campo $ K $ con $ dimV=n>=1 $. Si hanno le seguenti proprietà:
$ I $ Se $ {v_1...v_n} $ è un insieme di $ n $ vettori linearmente indipendenti, allora l'insieme dei vettori è una base dello spazio vettoriale V.
$ II $ Se $ v_1...v_n $ sono $ n $ generatori di V allora $ {v_1...v_n} $ è base di V.
Ha dimostrato la prima e dato per esercizio la seconda dimostrazione. Io ho provato a farla ma ci sono alcune cose che non mi convincono. Vi scrivo di seguito la dimostrazione magari potete aiutarmi.
DIM.
Per ipotesi so che $ V= hArr \forallv\inV, \exists alpha_1...alpha_n \in K : v= sum_(i =1)^n alpha_iv_i $ e devo dimostrare che $ v_1...v_n $ sono linearmente indipendenti così che formino una base ovvero $ \forall alpha_1...alpha_n \in K: sum_(i=1)^n alpha_iv_i=0_V rArr alpha_1=alpha_2=...=alpha_n=0 $.
Suppongo per assurdo che questo non si verifichi e che quindi valga la lineare dipendenza ovvero $ \exists alpha_1...alpha_n \in K: sum_(i=1)^n alpha_iv_i=0_VrArr \existsh=1...n : alpha_h!=0. $ .
Poiché $ alpha_h !=0 $ allora $ \exists alpha_h^-1 \in K : alpha_h*alpha_h^-1=1 $ per comodità di calcolo considero $ alpha_n!=0 $ e non $alpha_h$. Da ciò segue che:
$ sum_(i=1)^n alpha_iv_i=alpha_1v_1+alpha_2v_2+...+alpha_(n-1)v_(n-1)+alpha_nv_n=0_V $ moltiplicando per $ alpha_n^-1 $ si ha:
$ sum_(i=1)^n alpha_iv_i=alpha_n^-1alpha_1v_1+alpha_n^-1alpha_2v_2+...+alpha_n^-1alpha_(n-1)v_(n-1)+alpha_n^-1alpha_nv_n =alpha_n^-1*0_V $ con opportuni calcoli si ha quindi:
$ v_n=-alpha_n^-1alpha_1v_1-alpha_n^-1alpha_2v_2-...-alpha_n^-1alpha_(n-1)v_(n-1) $ ovvero $ v_n $ è combinazione lineare di $ n-1 $ vettori.
Considero quindi $ $ che è il più piccolo sottospazio vettoriale di V che contiene i vettori $ v_1...v_(n-1) $ . Poiché $ v_n $ è combinazione lineare di $ n-1 $ vettori allora è vero che $ v_n \in $.
Considero ora $ $ che per definizione è il più piccolo sottospazio di V che contiene i vettori $ v_1...v_n $.
Poiché ho dimostrato che $ v_1...v_(n-1),v_n \in $ allora si ha che $ sub $. Per ipotesi sappiamo che $ V= $ allora $ V sub $. Poiché
$ $ è sottospazio di V allora per definizione di sottospazio vettoriale si ha che $ sub V $. Dalla doppia inclusione segue che $ V= $.
Poiché $ n=dimV $ è il numero minimo di generatori di V, ho trovato $ n-1 $ generatori di V. Da cui la contradizione. Allora $ v_1...v_n $ sono linearmente indipendenti e ${v_1...v_n} $ formano una base di $ V $.
Quello che non mi convince di questa dimostrazione sono le inclusioni (non sono sicuro siano corrette) e la parte finale perché per generare una contraddizione basata sulla dimensione di V avrei dovuto avere che gli $ n-1 $ vettori fossero già base per poter poi asserire che $ dimV = n-1 $. Giusto?
E poi l'arbitraria scelta che esista un unico scalare non nullo.
Cosa ne pensate? Vi ringrazio anticipatamente per ogni aiuto,
Paolo.
Sia $ (V,+,*) $ uno spazio vettoriale su un campo $ K $ con $ dimV=n>=1 $. Si hanno le seguenti proprietà:
$ I $ Se $ {v_1...v_n} $ è un insieme di $ n $ vettori linearmente indipendenti, allora l'insieme dei vettori è una base dello spazio vettoriale V.
$ II $ Se $ v_1...v_n $ sono $ n $ generatori di V allora $ {v_1...v_n} $ è base di V.
Ha dimostrato la prima e dato per esercizio la seconda dimostrazione. Io ho provato a farla ma ci sono alcune cose che non mi convincono. Vi scrivo di seguito la dimostrazione magari potete aiutarmi.
DIM.
Per ipotesi so che $ V=
Suppongo per assurdo che questo non si verifichi e che quindi valga la lineare dipendenza ovvero $ \exists alpha_1...alpha_n \in K: sum_(i=1)^n alpha_iv_i=0_VrArr \existsh=1...n : alpha_h!=0. $ .
Poiché $ alpha_h !=0 $ allora $ \exists alpha_h^-1 \in K : alpha_h*alpha_h^-1=1 $ per comodità di calcolo considero $ alpha_n!=0 $ e non $alpha_h$. Da ciò segue che:
$ sum_(i=1)^n alpha_iv_i=alpha_1v_1+alpha_2v_2+...+alpha_(n-1)v_(n-1)+alpha_nv_n=0_V $ moltiplicando per $ alpha_n^-1 $ si ha:
$ sum_(i=1)^n alpha_iv_i=alpha_n^-1alpha_1v_1+alpha_n^-1alpha_2v_2+...+alpha_n^-1alpha_(n-1)v_(n-1)+alpha_n^-1alpha_nv_n =alpha_n^-1*0_V $ con opportuni calcoli si ha quindi:
$ v_n=-alpha_n^-1alpha_1v_1-alpha_n^-1alpha_2v_2-...-alpha_n^-1alpha_(n-1)v_(n-1) $ ovvero $ v_n $ è combinazione lineare di $ n-1 $ vettori.
Considero quindi $
Considero ora $
Poiché ho dimostrato che $ v_1...v_(n-1),v_n \in
$
Poiché $ n=dimV $ è il numero minimo di generatori di V, ho trovato $ n-1 $ generatori di V. Da cui la contradizione. Allora $ v_1...v_n $ sono linearmente indipendenti e ${v_1...v_n} $ formano una base di $ V $.
Quello che non mi convince di questa dimostrazione sono le inclusioni (non sono sicuro siano corrette) e la parte finale perché per generare una contraddizione basata sulla dimensione di V avrei dovuto avere che gli $ n-1 $ vettori fossero già base per poter poi asserire che $ dimV = n-1 $. Giusto?
E poi l'arbitraria scelta che esista un unico scalare non nullo.
Cosa ne pensate? Vi ringrazio anticipatamente per ogni aiuto,
Paolo.
Risposte
Ciao Paolo,
dunque secondo me l'idea è giusta, ma non servivano tutti questi conti...
Basta assumere per assurdo che $ {v_1...v_n} $ non sia una base di $V$, quindi questi vettori non sono linearmente indipendenti, cioè esiste un vettore $v_i$ fra questi che è combinazione lineare degli altri, ora sfruttando il fatto che $ {v_1...,v_{i-1},v_{i+1},...v_n} $ è ancora un insieme di generatori di $V$, allora per la definizione di base abbiamo che $dim(V)
Dipende da quanti teoremi/proposizioni/lemmi potevi usare, perché qui ho dato per saputo che:
1)Se da un insieme di generatori tolgo dei vettori che sono combinazione lineare degli altri allora ho ancora un insieme di generatori del medesimo spazio;
2) una base è un insieme minimale di generatori, di conseguenza il numero vettori della base non può essere maggiore del numero di vettori che compongono un qualunque insieme di generatori.
Per quanto riguarda la tua dimostrazione invece, la parte delle inclusioni è corretta infatti hai mostrato la mia proposizione 1). Per la questione della dimensione tu non puoi dalla tua dimostrazione asserire che $dim(V)=n-1$ ma solo che $dim(V)
Spero di esserti stato d'aiuto
dunque secondo me l'idea è giusta, ma non servivano tutti questi conti...
Basta assumere per assurdo che $ {v_1...v_n} $ non sia una base di $V$, quindi questi vettori non sono linearmente indipendenti, cioè esiste un vettore $v_i$ fra questi che è combinazione lineare degli altri, ora sfruttando il fatto che $ {v_1...,v_{i-1},v_{i+1},...v_n} $ è ancora un insieme di generatori di $V$, allora per la definizione di base abbiamo che $dim(V)
Dipende da quanti teoremi/proposizioni/lemmi potevi usare, perché qui ho dato per saputo che:
1)Se da un insieme di generatori tolgo dei vettori che sono combinazione lineare degli altri allora ho ancora un insieme di generatori del medesimo spazio;
2) una base è un insieme minimale di generatori, di conseguenza il numero vettori della base non può essere maggiore del numero di vettori che compongono un qualunque insieme di generatori.
Per quanto riguarda la tua dimostrazione invece, la parte delle inclusioni è corretta infatti hai mostrato la mia proposizione 1). Per la questione della dimensione tu non puoi dalla tua dimostrazione asserire che $dim(V)=n-1$ ma solo che $dim(V)
Spero di esserti stato d'aiuto
Sei stato chiarificatore, gentilissimo.
Le proposizioni che hai usato le ho studiate però sono le prime dimostrazioni che faccio di mano mia quindi ho avuto un attimo di difficoltà.
Immaginavo fosse incorretta come conclusione, ho perso di vista la tesi e ho considerato come tale solo la parte sulla lineare indipendenza e non sul fatto che dovesse essere una base.
Grazie mille
Le proposizioni che hai usato le ho studiate però sono le prime dimostrazioni che faccio di mano mia quindi ho avuto un attimo di difficoltà.
Immaginavo fosse incorretta come conclusione, ho perso di vista la tesi e ho considerato come tale solo la parte sulla lineare indipendenza e non sul fatto che dovesse essere una base.
Grazie mille
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