[Esercizio] Matrici associate
Buonasera, nel compito di esame che sto svolgendo c'è il seguente esercizio:
Si considerino i seguenti vettori di $\mathbb{R}^3$:
\begin{align*}\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0, \end{pmatrix}, \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{align*}
E chiede di verificare che siano linearmente indipendenti e per svolgere questo punto basta verificare con l'eliminazione di Gauss che la matrice abbia tre pivot, in quanto la dimensione dello spazio ambiente è $\mathbb{R}^3$ oppure equivalentemente calcolare il determinante è verificare se è $\ne 0$. In entrambi i modi si giunge alla conclusione che i tre vettori sono linearmente indipendenti tra di loro.
La seconda domanda che mi ha messo in difficoltà (nonostante sia standard) è:
Sia $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ (l'unica) applicazione lineare che ha $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$ come autovettori relativi agli autovalori $1, 2, 3$. Scrivere la matrice $A$ associata a $T$ nella base $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$.
Ho anche la soluzione che però non sono riuscito a capire:
\begin{align*}T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}\end{align*}
e dunque la matrice associata a $T$ nella base $B$ è la matrice diagonale:
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2& 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\end{align*}
Purtroppo non sono riuscito proprio a capire che cosa richiede l'esercizio e in generale le matrici associate sono per me un argomento un po' ostico infatti anche al punto successivo chiede di:
Scrivere la matrice $B$ del cambiamento di base $B \to C$ dove $C$ è la base canonica di $\mathbb{R}^3$ e la soluzione dice che si tratta banalmente della matrice formata dai tre vettori iniziali, ma non capisco perché.
Mi scuso della banalità dell'esercizio, ma nonostante abbia studiato più volte questi argomenti fatico a capirli.
Grazie mille della disponibilità che dimostrate sempre.
Si considerino i seguenti vettori di $\mathbb{R}^3$:
\begin{align*}\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0, \end{pmatrix}, \vec{v_3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} \end{align*}
E chiede di verificare che siano linearmente indipendenti e per svolgere questo punto basta verificare con l'eliminazione di Gauss che la matrice abbia tre pivot, in quanto la dimensione dello spazio ambiente è $\mathbb{R}^3$ oppure equivalentemente calcolare il determinante è verificare se è $\ne 0$. In entrambi i modi si giunge alla conclusione che i tre vettori sono linearmente indipendenti tra di loro.
La seconda domanda che mi ha messo in difficoltà (nonostante sia standard) è:
Sia $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3$ (l'unica) applicazione lineare che ha $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$ come autovettori relativi agli autovalori $1, 2, 3$. Scrivere la matrice $A$ associata a $T$ nella base $\vec{v}_1$, $\vec{v}_2$, $\vec{v}_3$.
Ho anche la soluzione che però non sono riuscito a capire:
\begin{align*}T\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 0\end{pmatrix}, \quad T\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 3\end{pmatrix}\end{align*}
e dunque la matrice associata a $T$ nella base $B$ è la matrice diagonale:
\begin{align*} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2& 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\end{align*}
Purtroppo non sono riuscito proprio a capire che cosa richiede l'esercizio e in generale le matrici associate sono per me un argomento un po' ostico infatti anche al punto successivo chiede di:
Scrivere la matrice $B$ del cambiamento di base $B \to C$ dove $C$ è la base canonica di $\mathbb{R}^3$ e la soluzione dice che si tratta banalmente della matrice formata dai tre vettori iniziali, ma non capisco perché.
Mi scuso della banalità dell'esercizio, ma nonostante abbia studiato più volte questi argomenti fatico a capirli.
Grazie mille della disponibilità che dimostrate sempre.
Risposte
Dunque, non sono sicuro di aver capito perfettamente la tua domanda, però provo a rispondere lo stesso al massimo mi spieghi meglio cosa non ti è chiaro. Potremmo dire che questo tema d'esame è praticamente tutto di teoria.
Richiamiamo prima alcune nozioni e risultati:
Data un'applicazione lineare $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ e una base $B$, esiste una matrice associata $A_B$ e vale che $T(v) = A_B \cdot v$ cioè l'immagine del vettore $v$ nella base $B$ è uguale al prodotto matriciale fra la matrice associata e il vettore $v$. In particolare se $v$ è un vettore di base si ottengono le colonne della matrice.
Dalla definizione di autovettore e autovalore $A_b \cdot v=\lambda v$, con $v\ne 0$ autovettore associato all'autovalore $\lambda$. Inoltre se il numero di autovalori distinti è pari alla dimensione dello spazio, allora l'insieme degli autovettori di $A_B$ forma una base (base spettrale) $S$ in cui la matrice $A_S$ espressa in tale base è diagonale, e gli elementi della diagonale sono proprio gli autovalori dell'applicazione lineare.
Quindi senza fare assolutamente nessun conto (anche il primo conto della soluzione è del tutto inutile), applicando quanto ti ho detto è immediato che
\[ \begin{align*} A_S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2& 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\end{align*} \]
Ora Se vogliamo trovare la matrice di cambio di base $P$ cioè la matrice tale per cui $A_S=P^{-1} A_C P$ non abbiamo anche qui nessun conto da fare perché una nota conseguenza del teorema spettrale è che le colonne di $P$ sono gli autovettori della matrice, fine dell'esercizio.
Questi risultati di teoria non ti sono noti o non ti sono chiari ?
Richiamiamo prima alcune nozioni e risultati:
Data un'applicazione lineare $T:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$ e una base $B$, esiste una matrice associata $A_B$ e vale che $T(v) = A_B \cdot v$ cioè l'immagine del vettore $v$ nella base $B$ è uguale al prodotto matriciale fra la matrice associata e il vettore $v$. In particolare se $v$ è un vettore di base si ottengono le colonne della matrice.
Dalla definizione di autovettore e autovalore $A_b \cdot v=\lambda v$, con $v\ne 0$ autovettore associato all'autovalore $\lambda$. Inoltre se il numero di autovalori distinti è pari alla dimensione dello spazio, allora l'insieme degli autovettori di $A_B$ forma una base (base spettrale) $S$ in cui la matrice $A_S$ espressa in tale base è diagonale, e gli elementi della diagonale sono proprio gli autovalori dell'applicazione lineare.
Quindi senza fare assolutamente nessun conto (anche il primo conto della soluzione è del tutto inutile), applicando quanto ti ho detto è immediato che
\[ \begin{align*} A_S = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2& 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}\end{align*} \]
Ora Se vogliamo trovare la matrice di cambio di base $P$ cioè la matrice tale per cui $A_S=P^{-1} A_C P$ non abbiamo anche qui nessun conto da fare perché una nota conseguenza del teorema spettrale è che le colonne di $P$ sono gli autovettori della matrice, fine dell'esercizio.
Questi risultati di teoria non ti sono noti o non ti sono chiari ?
"Bossmer":
Ora Se vogliamo trovare la matrice di cambio di base $P$ cioè la matrice tale per cui $A_S=P^{-1} A_C P$ non abbiamo anche qui nessun conto da fare perché una nota conseguenza del teorema spettrale è che le colonne di $P$ sono gli autovettori della matrice, fine dell'esercizio.
Credo che resti da spiegargli perché proprio quelli sono gli autovettori. Ad un occhio non allenato, può restare il dubbio
P.S. Il teorema spettrale si riferisce solo a matrici simmetriche
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo