Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, cerco aiuto per questo problema: data ellisse di semiassi a=1 e b variabile, trovare le due formule parametriche x=f(b) con incognite le due ascisse, comprese tra 0 e 1 (nel primo quadrante), che determinano i due punti sullo stesso quarto di ellisse, tale che rimanga diviso in tre CORDE uguali.
ps. con Pitagora i calcoli letterali sono ingestibili, enormi...
Grazie!!
Come si trova l'algebra di Lie del gruppo simplettico?
Una generica $a$ appartenente a sp dovrebbe soddisfare
$$e^{-a^t J a J} = e^I$$
da cui $$a^t J a J=0$$
Da questa equazione però non sono riuscito a derivare le proprietà delle matrici hamiltoniane, ovvero che deve essere a divisa in blocchi, col secondo e terzo quadrante simmetrici e il quarto deve essere l'opposto del trasposto del primo...
Buon giorno. Nei miei appunti c'è una dimostrazione del fatto che l'applicazione $\phi\mapsto d\phi(t)_0\left(\frac{d}{dr}\right)$
è un isomorfismo tra sottogruppi a un parametro e vettori tangenti all'identità.
In questa dimostrazione, l'iniettività è data per ovvia "perchè ad ogni omomorfismo $\phi$ corrisponde uno e un sro.olo tangente".
Questo punto non mi è chiaro. Perchè non potrebbero esistere due omomorfismi tra loro diversi che all'identità hanno lo stesso vettore tangente?
PS. Se giungessi a conoscere ...
Sia \( X \) una varietà liscia connessa di dimensione \( n \geqq 2 \). Sia \( x\in X \). Voglio provare che lo spazio \( X\setminus\{x\} \) è ancora connesso.
L'idea è la seguente. Siano \( y \) e \( z \) due punti di \( X\setminus\{x\} \) e \( \gamma_1\colon [0,1]\to X \) e \( \gamma_2\colon [0,1]\to X \) due archi in \( X \) tali che \( \gamma_1(0) = y \), \( \gamma_1(1) = x = \gamma_2(0) \) e \( \gamma_2(1) = z \). Senza perdita di generalità possiamo anche supporre che per ogni \( t\in ...
Vi lascio il testo e una mia soluzione, ditemi se va bene:
a) Prendiamo $\phi$ e $\psi$ elementi rappresentabili da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\phi+\psi)(u)=\phi(u)+\psi(u)=\beta(u,v_(\phi))+\beta(u,v_(\psi))=\beta(u,v_(\phi)+v_(\psi))$ per cui $\phi+\psi$ è rappresentabile da $\beta$. Prendiamo $\alphainK$ e $\phi$ elemento rappresentabile da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\alpha\phi)(u)=\alpha\phi(u)=\alpha\beta(u,v_(\phi))=\beta(u,\alphav_(\phi))$ per cui $\alpha\phi$ è rappresentabile da ...
Cominciamo enunciando un corollario e un teorema:
Il primo riguarda il fatto che gli autovalori sono le radici del polinomio minimo: la dimostrazione è semplice ma c'è un punto che non mi è chiaro, allora innanzitutto abbiamo un paio di uguaglianze molto semplici (chiamato $q_f$ il polinomio minimo e $v$ un autovettore relativo all'autovalore $λ$): $0=q_(f)(f)(v)=q_(f)(λ)*v$ fin qui tutto apposto. Ora l'ultimo passaggio sarebbe $q_(f)(λ)=0$, ma questo viene ...
Sia $AinM_n(K)$ e $q_A(t)inK[t]$ il polinomio minimo di $A$ a coefficienti in $K$. Prendiamo un'estensione $FsupK$ e indichiamo con $q'_AinF[t]$ il polinomio minimo di $A$ in coefficienti in $F$. Mostriamo che $q'_A=q_A$:
Abbiamo che $q_A(t)inK[t]subF[t]$ per cui $q_A(A)=0$ per cui $q'_A|q_A$ (dubbio: ma questo perché $AinM_n(K)subM_n(F)$ per cui viene dal fatto che $q'_A$ è il ...
Vorrei sapere se queste dimostrazioni/definizioni siano giuste:
1)Esistenza dell'endomorfismo aggiunto:
Prendiamo $V$ spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$. Sia $\beta$ una forma bilineare simmetrica non degenere. Definita l'applicazione $B_r:V->V$* (ovvero scelto $vinV$ $B_r(v)$ è nel duale e vale $B_r(v)(w)=\beta(v,w)$ $AAwinV$) siccome $\beta$ è non degenere allora $Br$ è un ...
Salve a tutti. Vi riporto il seguente omomorfismo di Lie:
$\phi: (RR,+)->HsubGL(2,CC)$ che manda $x->((e^(i2\pix),0),(0,e^(i2\piax)))$ dove $a$ è un numero irrazionale.
Come dimostro che l'immagine di $\phi(x)$ non è chiusa in $GL(2,CC)$?
Grazie per l'attenzione e per qualunque tipo di aiuto offerto.
Salve a tutti. Mi stavo rinfrescando le idee facendo alcuni esercizi di algebra lineare.
In pratica l'esercizio è questo:
Si consideri un’applicazione lineare $T : R^3 \rarr R^2$ tale che:
$T|(1,-1,0)| = |(1,1)|; T|(1,-1,1)|=|(-1,-1)|; T|(-1,0,1)|=|(2,2)|$
i) Spiegare per quale ragione l’applicazione lineare T definita dalle precedenti condizioni è unica.
ii) Determinare la matrice associata a $T$ nelle basi canoniche di $R^3$ e $ R^2$
iii) Determinare poi equazioni cartesiane dell’immagine di ...
Salve a tutti. Stavo provando a svolgere un vecchio esercizio d'esame e sto avendo qualche problema. L'esercizio è il seguente:
Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $CC^4$:
$U = Span{(1,0,0,1),(1,i,2i,-2),(2i,-1,-2,-i)}$ e $V = \{(z_1-iz_2+z_4=0),(z_3+iz_4=0):}$
(i) Determinare una base per entrambi i sottospazi.
(ii) Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U \nn V$
(iii) Determinare la dimensione di $U+V$
Il primo punto dovrei aver fatto tutto bene (non indico i procedimenti ...
Buona sera. L'esercizio chiede di calcolare le curve integrali del seguente campo vettoriale
\[
X = ay\frac{d}{dx}+bx\frac{d}{dy}
\]
nel caso in cui \(ab
Sia $KsubeCC$ un campo di numeri. Si dimostri che se $A,HinM_n(K)$ sono matrici simili allora $dim_K{BinM_n(K)| AB=BA}=dim_K{BinM_n(K)| HB=BH}$.
Io ho pensato così: siccome $A,H$ sono simili rappresentano lo stesso endomorfismo $f$ rispetto a basi diverse $B_1$ e $B_2$. Quindi intanto mi procuro una base di endomorfismi ${g_1,...,g_n}$ che commutano con $f$ e da qui mi calcolo le matrici $M_(B_1)(g_i)$ e $M_(B_2)(g_i)$ con ...
Ciao. Il mio libro definisce un fibrato vettoriale locale (nel seguito, un fibrato) come il prodotto \( V\times F \) di un aperto \( V \) di \( \mathbb R^n \) con uno spazio vettoriale (reale, di dimensione finita) \( F \). Definisce poi un isomorfismo di fibrati come una funzione \( \alpha\colon V_1\times F_1\to V_2\times F_2 \) di classe \( C^\infty \) tale che \( \alpha(x,\eta) = (\alpha_1(x),\alpha_2(x)\circ \eta) \) per due funzioni \( \alpha_1\colon V_1\to V_2 \) e \( \alpha_2\colon V\to ...
Sia $A = (a_{i,j}) ∈ M_n(RR)$ e si assuma che esistano $b_1, . . . , b_n > 0$ tali che $b_ia_{i,j} = b_ja_{j,i}$ per ogni $i, j$. Dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Avevo pensato a ricondurmi alla matrice con coefficienti $b_ia_{i,j}$ che è simmetrica e quindi diagonalizzabile. Poi non so se da questo posso dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Metto tre esercizi di cui vi lascio la mie soluzioni ditemi se sono giuste:
Primo esercizio:
a) Siccome la matrice è simmetrica è reale è diagonalizzabile per il teorema spettrale e poichè è nilpotente l'unica matrice diagonale nilpotente è la matrice nulla che è simile solo a se stessa e quindi $A=0$.
c)Sia $vinKerA^2$ e sia $<,>$ il prodotto scalare standard allora $<Av,Av> =v^tA^TAv=-v^TA^2v=0$ poiche il prodotto scalare standard è definito positivo ...
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su questi quozienti di spazi topologici, in particolare mi basta capire intuitivamente che spazi sono:
1) $RR^2 // S^1$
Questo direi che rimane un $RR^2$, ma non ne sono troppo sicuro... ho il dubbio che possa essere un $RR^2$ tangente ad una sfera $S^2$ nell'origine
2) $RR^2 // \{x^2+y^2\ge1\}$
Questo qui dire che viene proprio la sfera $S^2$
3) $RR^2 // \{x^2+y^2> 1\} $
Con questo invece ho dei problemi... non è sicuro un ...
Se $p(x) $ è un polinomio generico di terzo grado a coefficienti in $Q$, campo dei razionali, con radici ${x_1,x_2,x_3}$ l'estensione $Q(x_1,x_2)$ che contiene tutte le radici del polinomio può essere vista come uno spazio vettoriale, si vede facilmente che $ [1,x_1,x_1^2, x_2,x_2x_1,x_2x_1^2] $ è una base, in quanto l'elemento $x_2^2 $ è combinazione lineare dei su indicati elementi, sia $delta$ il discriminante, come faccio a mostrare che anche ...
Ciao a tutti, di nuovo un dubbio. Stavolta però non tornano i conti e non capisco se ho sbagliato qualcosa o se semplicemente sbaglio metodo!
Devo risolvere queste due matrici complete (o ampliate) usando il metodo di eliminazione di Gauss tramite matrici elementari:
$((0,1,3),(1,2,-1),(2,3,1))$
$((1,-1,2,1),(-1,3,0,1),(2,1,1,-1))$
Nel primo caso il risultato finale è
$((1,2,-1),(0,1,3),(0,0,1))$
E si avvicina alla soluzione che ho. Nel secondo invece sballo completamente, non so se sbaglio del tutto il metodo ma non trovo ...
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