Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Come si trova l'algebra di Lie del gruppo simplettico?
Una generica $a$ appartenente a sp dovrebbe soddisfare
$$e^{-a^t J a J} = e^I$$
da cui $$a^t J a J=0$$
Da questa equazione però non sono riuscito a derivare le proprietà delle matrici hamiltoniane, ovvero che deve essere a divisa in blocchi, col secondo e terzo quadrante simmetrici e il quarto deve essere l'opposto del trasposto del primo...
Buon giorno. Nei miei appunti c'è una dimostrazione del fatto che l'applicazione $\phi\mapsto d\phi(t)_0\left(\frac{d}{dr}\right)$
è un isomorfismo tra sottogruppi a un parametro e vettori tangenti all'identità.
In questa dimostrazione, l'iniettività è data per ovvia "perchè ad ogni omomorfismo $\phi$ corrisponde uno e un sro.olo tangente".
Questo punto non mi è chiaro. Perchè non potrebbero esistere due omomorfismi tra loro diversi che all'identità hanno lo stesso vettore tangente?
PS. Se giungessi a conoscere ...
Sia \( X \) una varietà liscia connessa di dimensione \( n \geqq 2 \). Sia \( x\in X \). Voglio provare che lo spazio \( X\setminus\{x\} \) è ancora connesso.
L'idea è la seguente. Siano \( y \) e \( z \) due punti di \( X\setminus\{x\} \) e \( \gamma_1\colon [0,1]\to X \) e \( \gamma_2\colon [0,1]\to X \) due archi in \( X \) tali che \( \gamma_1(0) = y \), \( \gamma_1(1) = x = \gamma_2(0) \) e \( \gamma_2(1) = z \). Senza perdita di generalità possiamo anche supporre che per ogni \( t\in ...
Vi lascio il testo e una mia soluzione, ditemi se va bene:
a) Prendiamo $\phi$ e $\psi$ elementi rappresentabili da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\phi+\psi)(u)=\phi(u)+\psi(u)=\beta(u,v_(\phi))+\beta(u,v_(\psi))=\beta(u,v_(\phi)+v_(\psi))$ per cui $\phi+\psi$ è rappresentabile da $\beta$. Prendiamo $\alphainK$ e $\phi$ elemento rappresentabile da $\beta$. Allora vale $AAuinV$: $(\alpha\phi)(u)=\alpha\phi(u)=\alpha\beta(u,v_(\phi))=\beta(u,\alphav_(\phi))$ per cui $\alpha\phi$ è rappresentabile da ...
Cominciamo enunciando un corollario e un teorema:
Il primo riguarda il fatto che gli autovalori sono le radici del polinomio minimo: la dimostrazione è semplice ma c'è un punto che non mi è chiaro, allora innanzitutto abbiamo un paio di uguaglianze molto semplici (chiamato $q_f$ il polinomio minimo e $v$ un autovettore relativo all'autovalore $λ$): $0=q_(f)(f)(v)=q_(f)(λ)*v$ fin qui tutto apposto. Ora l'ultimo passaggio sarebbe $q_(f)(λ)=0$, ma questo viene ...
Sia $AinM_n(K)$ e $q_A(t)inK[t]$ il polinomio minimo di $A$ a coefficienti in $K$. Prendiamo un'estensione $FsupK$ e indichiamo con $q'_AinF[t]$ il polinomio minimo di $A$ in coefficienti in $F$. Mostriamo che $q'_A=q_A$:
Abbiamo che $q_A(t)inK[t]subF[t]$ per cui $q_A(A)=0$ per cui $q'_A|q_A$ (dubbio: ma questo perché $AinM_n(K)subM_n(F)$ per cui viene dal fatto che $q'_A$ è il ...
Vorrei sapere se queste dimostrazioni/definizioni siano giuste:
1)Esistenza dell'endomorfismo aggiunto:
Prendiamo $V$ spazio vettoriale di dimensione finita su un campo $K$. Sia $\beta$ una forma bilineare simmetrica non degenere. Definita l'applicazione $B_r:V->V$* (ovvero scelto $vinV$ $B_r(v)$ è nel duale e vale $B_r(v)(w)=\beta(v,w)$ $AAwinV$) siccome $\beta$ è non degenere allora $Br$ è un ...
Salve a tutti. Vi riporto il seguente omomorfismo di Lie:
$\phi: (RR,+)->HsubGL(2,CC)$ che manda $x->((e^(i2\pix),0),(0,e^(i2\piax)))$ dove $a$ è un numero irrazionale.
Come dimostro che l'immagine di $\phi(x)$ non è chiusa in $GL(2,CC)$?
Grazie per l'attenzione e per qualunque tipo di aiuto offerto.
Salve a tutti. Mi stavo rinfrescando le idee facendo alcuni esercizi di algebra lineare.
In pratica l'esercizio è questo:
Si consideri un’applicazione lineare $T : R^3 \rarr R^2$ tale che:
$T|(1,-1,0)| = |(1,1)|; T|(1,-1,1)|=|(-1,-1)|; T|(-1,0,1)|=|(2,2)|$
i) Spiegare per quale ragione l’applicazione lineare T definita dalle precedenti condizioni è unica.
ii) Determinare la matrice associata a $T$ nelle basi canoniche di $R^3$ e $ R^2$
iii) Determinare poi equazioni cartesiane dell’immagine di ...
Salve a tutti. Stavo provando a svolgere un vecchio esercizio d'esame e sto avendo qualche problema. L'esercizio è il seguente:
Si considerino i seguenti sottospazi vettoriali di $CC^4$:
$U = Span{(1,0,0,1),(1,i,2i,-2),(2i,-1,-2,-i)}$ e $V = \{(z_1-iz_2+z_4=0),(z_3+iz_4=0):}$
(i) Determinare una base per entrambi i sottospazi.
(ii) Determinare un insieme minimale di equazioni cartesiane per $U \nn V$
(iii) Determinare la dimensione di $U+V$
Il primo punto dovrei aver fatto tutto bene (non indico i procedimenti ...
Buona sera. L'esercizio chiede di calcolare le curve integrali del seguente campo vettoriale
\[
X = ay\frac{d}{dx}+bx\frac{d}{dy}
\]
nel caso in cui \(ab
Sia $KsubeCC$ un campo di numeri. Si dimostri che se $A,HinM_n(K)$ sono matrici simili allora $dim_K{BinM_n(K)| AB=BA}=dim_K{BinM_n(K)| HB=BH}$.
Io ho pensato così: siccome $A,H$ sono simili rappresentano lo stesso endomorfismo $f$ rispetto a basi diverse $B_1$ e $B_2$. Quindi intanto mi procuro una base di endomorfismi ${g_1,...,g_n}$ che commutano con $f$ e da qui mi calcolo le matrici $M_(B_1)(g_i)$ e $M_(B_2)(g_i)$ con ...
Ciao. Il mio libro definisce un fibrato vettoriale locale (nel seguito, un fibrato) come il prodotto \( V\times F \) di un aperto \( V \) di \( \mathbb R^n \) con uno spazio vettoriale (reale, di dimensione finita) \( F \). Definisce poi un isomorfismo di fibrati come una funzione \( \alpha\colon V_1\times F_1\to V_2\times F_2 \) di classe \( C^\infty \) tale che \( \alpha(x,\eta) = (\alpha_1(x),\alpha_2(x)\circ \eta) \) per due funzioni \( \alpha_1\colon V_1\to V_2 \) e \( \alpha_2\colon V\to ...
Sia $A = (a_{i,j}) ∈ M_n(RR)$ e si assuma che esistano $b_1, . . . , b_n > 0$ tali che $b_ia_{i,j} = b_ja_{j,i}$ per ogni $i, j$. Dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Avevo pensato a ricondurmi alla matrice con coefficienti $b_ia_{i,j}$ che è simmetrica e quindi diagonalizzabile. Poi non so se da questo posso dimostrare che $A$ è diagonalizzabile.
Metto tre esercizi di cui vi lascio la mie soluzioni ditemi se sono giuste:
Primo esercizio:
a) Siccome la matrice è simmetrica è reale è diagonalizzabile per il teorema spettrale e poichè è nilpotente l'unica matrice diagonale nilpotente è la matrice nulla che è simile solo a se stessa e quindi $A=0$.
c)Sia $vinKerA^2$ e sia $<,>$ il prodotto scalare standard allora $<Av,Av> =v^tA^TAv=-v^TA^2v=0$ poiche il prodotto scalare standard è definito positivo ...
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su questi quozienti di spazi topologici, in particolare mi basta capire intuitivamente che spazi sono:
1) $RR^2 // S^1$
Questo direi che rimane un $RR^2$, ma non ne sono troppo sicuro... ho il dubbio che possa essere un $RR^2$ tangente ad una sfera $S^2$ nell'origine
2) $RR^2 // \{x^2+y^2\ge1\}$
Questo qui dire che viene proprio la sfera $S^2$
3) $RR^2 // \{x^2+y^2> 1\} $
Con questo invece ho dei problemi... non è sicuro un ...
Se $p(x) $ è un polinomio generico di terzo grado a coefficienti in $Q$, campo dei razionali, con radici ${x_1,x_2,x_3}$ l'estensione $Q(x_1,x_2)$ che contiene tutte le radici del polinomio può essere vista come uno spazio vettoriale, si vede facilmente che $ [1,x_1,x_1^2, x_2,x_2x_1,x_2x_1^2] $ è una base, in quanto l'elemento $x_2^2 $ è combinazione lineare dei su indicati elementi, sia $delta$ il discriminante, come faccio a mostrare che anche ...
Ciao a tutti, di nuovo un dubbio. Stavolta però non tornano i conti e non capisco se ho sbagliato qualcosa o se semplicemente sbaglio metodo!
Devo risolvere queste due matrici complete (o ampliate) usando il metodo di eliminazione di Gauss tramite matrici elementari:
$((0,1,3),(1,2,-1),(2,3,1))$
$((1,-1,2,1),(-1,3,0,1),(2,1,1,-1))$
Nel primo caso il risultato finale è
$((1,2,-1),(0,1,3),(0,0,1))$
E si avvicina alla soluzione che ho. Nel secondo invece sballo completamente, non so se sbaglio del tutto il metodo ma non trovo ...
Sia $A ∈ M_n(CC)$ una matrice invertibile. Provare che esiste una matrice $B ∈M_n(CC)$ tale che $B^2 = A$.
Io pensato in questa direzione:
Siccome il campo è $CC$ sappiamo che $A$ è jordanizzabile, quindi esiste $HinGL_n(CC)$ tale che $A=H^-1JH$ dove $J$ è la matrice di Jordan che ha sulla diagonale termini diversi da $0$ dato che A è invertibile. Possiamo quindi scrivere cosi $A=(H^-1J^(1/2)H)^2$ dove ...
Ciao a tutti. Perdonate se la domanda è sciocca, ma sto preparando questo esame rapidamente e non ho mai trattato questo argomento in tutta la mia carriera di studente (scarso in matematica).
In particolare non capisco bene cosa possa significare qui "dimostrare" il postulato date le condizioni. Vi propongo il problema, spero potrete aiutarmi.
A e B sono due matrici diagonali con le stesse dimensioni. Dimostrate che il prodotto AB è ancora una matrice diagonale. In che modo si ...
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