Come si dimostra la linearità della seguente applicazione?
Salve ragazzi, stavo studiando questo teorema la cui dimostrazione sulla linearità è stata gentilmente omessa. Potreste aiutarmi? Inoltre posso trovare da qualche parte una spiegazione un po' semplificata o comunque comprensibile sull'insieme delle applicazioni lineari $Hom_k(V,W)$ ?
Teorema
Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali su $K$ . Supponiamo che $dimV=n$ e $dimW=m$. Fisso $B={v_1...v_n}$ base di $V$ e $B'={w_1...w_m}$ base di $W$. Allora l'applicazione $T:Hom_K(V,W)->M_(m,n)(K) $tale che $\forall f \in Hom_K(V,W):T(f)=A_f$ è la matrice di $f$ rispetto a $B$ e $B'$ è un'isomorfismo di spazi vettoriali.
La parte sull'isomorfismo è stata già dimostrata. Ho da dimostrare la linearità però, prima di tutto non mi è benissimo chiaro come si procede in generale e poi in particolare la trovo confusionaria perché gli elementi di Hom sono applicazioni lineari a loro volta.
Vi ringrazio anticipatamente.
Teorema
Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali su $K$ . Supponiamo che $dimV=n$ e $dimW=m$. Fisso $B={v_1...v_n}$ base di $V$ e $B'={w_1...w_m}$ base di $W$. Allora l'applicazione $T:Hom_K(V,W)->M_(m,n)(K) $tale che $\forall f \in Hom_K(V,W):T(f)=A_f$ è la matrice di $f$ rispetto a $B$ e $B'$ è un'isomorfismo di spazi vettoriali.
La parte sull'isomorfismo è stata già dimostrata. Ho da dimostrare la linearità però, prima di tutto non mi è benissimo chiaro come si procede in generale e poi in particolare la trovo confusionaria perché gli elementi di Hom sono applicazioni lineari a loro volta.
Vi ringrazio anticipatamente.
Risposte
...se ho tradotto bene: è stata dimostrata la biettività di quella funzione, giusto?
E tu vuoi dimostrare la linearità: giusto?
Poi cos'altro non ti è chiaro?
E tu vuoi dimostrare la linearità: giusto?
Poi cos'altro non ti è chiaro?
Esatto, la biettività è stata dimostrata dando per scontato la linearità e vorrei capire come fare a dimostrare questa perché ho capito di dover usare la definizione di applicazione lineare ma nient'altro.
Inoltre chiedevo se in giro per il forum c'è qualche trattazione semplificata o perlomeno chiarificatrice sull'insieme Hom delle applicazioni lineari, matrici associate e spazi duali e biduali. Perché sto sbattendo la testa tra libri consigliati dal docente e appunti ma ho un po' di confusione.
Ti ringrazio per la risposta
Inoltre chiedevo se in giro per il forum c'è qualche trattazione semplificata o perlomeno chiarificatrice sull'insieme Hom delle applicazioni lineari, matrici associate e spazi duali e biduali. Perché sto sbattendo la testa tra libri consigliati dal docente e appunti ma ho un po' di confusione.
Ti ringrazio per la risposta
Per risolvere il quesito, dovresti ricordarti come calcolare la rappresentazione matriciale di un'applicazione lineare rispetto a due basi fisate: perché?
Come dispense, penso alle seguenti:
[list=a]
[*:4vq3pqan] Cailotto M. - "Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche" prima parte[/*:m:4vq3pqan]
[*:4vq3pqan] Capasso A. - Elementi di Algebra Lineare, con Applicazioni in Geometria ed alla Fisica Matematica[/*:m:4vq3pqan]
[*:4vq3pqan] Manetti M. - Algebra lineare per matematici.[/*:m:4vq3pqan][/list:o:4vq3pqan]
Come dispense, penso alle seguenti:
[list=a]
[*:4vq3pqan] Cailotto M. - "Algebra e Geometria Lineari e Quadratiche" prima parte[/*:m:4vq3pqan]
[*:4vq3pqan] Capasso A. - Elementi di Algebra Lineare, con Applicazioni in Geometria ed alla Fisica Matematica[/*:m:4vq3pqan]
[*:4vq3pqan] Manetti M. - Algebra lineare per matematici.[/*:m:4vq3pqan][/list:o:4vq3pqan]
Devi mostrare che
$A_(f+g)=A_f+A_g$
$A_(cf)=cA_f$
dove $f,g$ sono funzioni lineari $V to W$ e $c in K$. Prova, non è difficile.
$A_(f+g)=A_f+A_g$
$A_(cf)=cA_f$
dove $f,g$ sono funzioni lineari $V to W$ e $c in K$. Prova, non è difficile.
"Martino":
Devi mostrare che
$A_(f+g)=A_f+A_g$
$A_(cf)=cA_f$
dove $f,g$ sono funzioni lineari $V to W$ e $c in K$. Prova, non è difficile.
La dimostrazione dovrebbe essere così quindi:
Data $T:Hom_K(V,W)->M_(m,n)(K)$ l'applicazione è lineare se e solo se $ \forall f,g \in Hom_K(V,W) , \forall \alpha, \beta \in K : T(\alpha f + \beta g)= \alphaT(f)+\betaT(g) hArr A_(\alpha f +\beta g)= \alpha A_f + \beta A_g$
Quindi mi basta dimostrare che $A_(f+g)=A_f+A_g ^^ A_(cf)=cA_f$
Considero un'applicazione lineare $f \in Hom_K(V,W) t.c. f:V->W$. Sia $B={v_1...v_n}$ base di $V$ e $B'={w_1...w_m}$ base di $W$. Allora $\forall v \in V ^^ \forall i=1...n : f(v_i)= \alpha_(1i) w_1+\alpha_(2i) w_2+...+\alpha_(mi) w_m = sum_(j =1)^m \alpha_(ji) w_j$. Ovvero posso scrivere $f(v_i)$ come combinazione lineare dei vettori della base di $W$.
Analogamente considerando $g \in Hom_K(V,W)$.
Considero ora $f+g \in Hom_K(V,W)$ tale che $f+g:V->W t.c. \forall v \in V : (f+g)(v)=f(v)+g(v)$ allora $f(v)+g(v) = sum_(j =1)^m \alpha_(ji) w_j + sum_(j =1)^m \beta_(ji) w_j$. (NON SONO SICURISSIMO SUI PEDICI)
La matrice associata a $f+g$ rispetto a $B'$ sarà:
$ A_(f+g)=( ( \alpha_11+\beta_11 , \alpha_12+\beta_12 ,... , \alpha_(1i)+\beta_(1i) ),( \alpha_21+\beta_21 ,... , , ),( ... , , , ),( \alpha_(m1)+\beta_(m1) , , , \alpha_(mi)+\beta_(mi) ) ) $
(ANCHE QUI NON SONO SICURISSIMO DEI PEDICI E' i o n?) da cui $A_(f+g) = A_f + A_g$
Poi analogamente dimostro l'altra parte.
Che dici?
Quello che mi spaventa è anche il mio formalismo. Non so se sono convinzioni fondate ma credo di peccare di linguaggio. Vero?
Comunque vi ringrazio ancora, siete stati gentilissimi
Di primo acchito ti scriverei di scambiare gli indici degli scalari "alfa" e "beta";
per il resto mi trovi d'accordo!
per il resto mi trovi d'accordo!
Sostanzialmente va bene, ma a me sembra che ti complichi un po' troppo la vita.
Indicando $A_f=(alpha_(ij))$ e $A_g=(beta_(ij))$ dove l'indice $i$ va da $1$ a $n$ e l'indice $j$ va da $1$ a $m$ abbiamo
$f(v_i)=sum_j alpha_(ij) w_j$
$g(v_i)=sum_j beta_(ij) w_j$
e quindi
$(f+g)(v_i)=sum_j alpha_(ij) w_j + sum_j beta_(ij) w_j = sum_j (alpha_(ij)+beta_(ij))w_j$.
Quindi $A_(f+g)=(alpha_(ij)+beta_(ij))=A_f+A_g$
È quello che hai fatto anche tu, ma c'è confusione sugli indici, in particolare scrivi per ogni $v$ ma poi i conti li fai su $v_i$.
Indicando $A_f=(alpha_(ij))$ e $A_g=(beta_(ij))$ dove l'indice $i$ va da $1$ a $n$ e l'indice $j$ va da $1$ a $m$ abbiamo
$f(v_i)=sum_j alpha_(ij) w_j$
$g(v_i)=sum_j beta_(ij) w_j$
e quindi
$(f+g)(v_i)=sum_j alpha_(ij) w_j + sum_j beta_(ij) w_j = sum_j (alpha_(ij)+beta_(ij))w_j$.
Quindi $A_(f+g)=(alpha_(ij)+beta_(ij))=A_f+A_g$
È quello che hai fatto anche tu, ma c'è confusione sugli indici, in particolare scrivi per ogni $v$ ma poi i conti li fai su $v_i$.
"Martino":
Sostanzialmente va bene, ma a me sembra che ti complichi un po' troppo la vita.
Indicando $A_f=(alpha_(ij))$ e $A_g=(beta_(ij))$ dove l'indice $i$ va da $1$ a $n$ e l'indice $j$ va da $1$ a $m$ abbiamo
$f(v_i)=sum_j alpha_(ij) w_j$
$g(v_i)=sum_j beta_(ij) w_j$
e quindi
$(f+g)(v_i)=sum_j alpha_(ij) w_j + sum_j beta_(ij) w_j = sum_j (alpha_(ij)+beta_(ij))w_j$.
Quindi $A_(f+g)=(alpha_(ij)+beta_(ij))=A_f+A_g$
È quello che hai fatto anche tu, ma c'è confusione sugli indici, in particolare scrivi per ogni $v$ ma poi i conti li fai su $v_i$.
Credo sia stato un errore di distrazione. Mi bastava scrivere $\forall i =1...n$ senza contare $v$.
Sono stato prolisso perché è un po' come lo esporrei eventualmente all'orale e quindi mi sembrava furbo approfittare di una correzione profonda
Grazie mille a tutti:)
Certo, comunque come ti dicevo a parte qualche sbavatura va bene. Prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo