Matrice cambiamento di base e diagonalizzabilità
Ciao, vorrei chiedervi se riuscite gentilmente a risolvere il punto (D) dell'esercizio 2 e il punto (C) e (D) dell'esercizio 3. Grazie in anticipo!
Lascio in allegato l'immagine contenente gli esercizi.
Lascio in allegato l'immagine contenente gli esercizi.
Risposte
Cara\o alemazz,
cortesemente potresti scrivere i testi? Te lo chiedo perché le immagini, col passare del tempo, vengono cancellate rendendo così illeggibile il thread.
Grazie della collaborazione.
Armando j18eos
cortesemente potresti scrivere i testi? Te lo chiedo perché le immagini, col passare del tempo, vengono cancellate rendendo così illeggibile il thread.
Grazie della collaborazione.
Armando j18eos
Esercizio 1
Si consideri l’applicazione lineare:
$f$ : $R^3$ $->$ $R^3$
$((x_1) , (x_2) , (x_3))$ $->$ $((x_1 - x_2 + x_3) , (-x_1 + x_2 - x_3) , (2x_1 - 2x_2 + 2x_3))$
Calcolare la matrice $M_(D,B)(f)$ e $M_(B,B)(f)$ (matrice associata ad applicazione lineare).
$B$ = ${((0) , (1) , (1)) , ((-1) , (1) , (1)) , ((-1) , (0) , (1))}$ è una base di $R^3$.
$D$ è la base canonica di $R^3$.
Esercizio 2
Si consideri l’applicazione lineare:
$g$ : $R^3$ $->$ $R^3$
$((x_1) , (x_2) , (x_3))$ $->$ $((-x_1 + 2x_3) , (-x_1 + 2x_3) , (-x_2 + x_3))$
$1.$ Dire se $g$ è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base $B$ diagonalizzante per $g$ e scrivere
$M_(B)(g)$.
$2.$ Dire se $M(g)$ è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una matrice invertibile $P$ $∈$ $M_3$ tale
che $P · M(g) · P^-1$ sia diagonale.
Si consideri l’applicazione lineare:
$f$ : $R^3$ $->$ $R^3$
$((x_1) , (x_2) , (x_3))$ $->$ $((x_1 - x_2 + x_3) , (-x_1 + x_2 - x_3) , (2x_1 - 2x_2 + 2x_3))$
Calcolare la matrice $M_(D,B)(f)$ e $M_(B,B)(f)$ (matrice associata ad applicazione lineare).
$B$ = ${((0) , (1) , (1)) , ((-1) , (1) , (1)) , ((-1) , (0) , (1))}$ è una base di $R^3$.
$D$ è la base canonica di $R^3$.
Esercizio 2
Si consideri l’applicazione lineare:
$g$ : $R^3$ $->$ $R^3$
$((x_1) , (x_2) , (x_3))$ $->$ $((-x_1 + 2x_3) , (-x_1 + 2x_3) , (-x_2 + x_3))$
$1.$ Dire se $g$ è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una base $B$ diagonalizzante per $g$ e scrivere
$M_(B)(g)$.
$2.$ Dire se $M(g)$ è diagonalizzabile e, in caso affermativo, trovare una matrice invertibile $P$ $∈$ $M_3$ tale
che $P · M(g) · P^-1$ sia diagonale.
Grazie!
Le soluzioni passano nel costruire la matrice rappresentante tali applicazioni lineari rispetto alle basi considerate.
Esercizio 1. Cos'è l'immagine di \(f(1,0,0)\)? E che coordinate ha rispetto alla base \(B\)?
Le soluzioni passano nel costruire la matrice rappresentante tali applicazioni lineari rispetto alle basi considerate.
Esercizio 1. Cos'è l'immagine di \(f(1,0,0)\)? E che coordinate ha rispetto alla base \(B\)?
Perfetto grazie!
Invece riguardo l’esercizio 2, quando chiede di calcolare una base diagonalizzante, sarebbe la base formata dall’unione delle basi degli autospazi relativi agli autovalori corrispondenti?
Mentre $M_B(g)$ sarebbe la matrice associata all’applicazione lineare rispetto alla base appena trovata, ovvero la matrice diagonale $((λ_1, 0, 0) , (0, λ_2, 0) , (0, 0, λ_3))$ , corretto?
Ora non capisco $M(g)$ cosa indica, potrebbe essere la matrice diagonalizzante? Quindi dovrei calcolare se essa è diagonalizzabile e trovare una matrice P tale che $P · M(g) · P^-1$ sia una matrice diagonale, ovvero la matrice diagonalizzante?
Invece riguardo l’esercizio 2, quando chiede di calcolare una base diagonalizzante, sarebbe la base formata dall’unione delle basi degli autospazi relativi agli autovalori corrispondenti?
Mentre $M_B(g)$ sarebbe la matrice associata all’applicazione lineare rispetto alla base appena trovata, ovvero la matrice diagonale $((λ_1, 0, 0) , (0, λ_2, 0) , (0, 0, λ_3))$ , corretto?
Ora non capisco $M(g)$ cosa indica, potrebbe essere la matrice diagonalizzante? Quindi dovrei calcolare se essa è diagonalizzabile e trovare una matrice P tale che $P · M(g) · P^-1$ sia una matrice diagonale, ovvero la matrice diagonalizzante?
"alemezz":Sì, esatto!
[...] base diagonalizzante, sarebbe la base formata dall’unione delle basi degli autospazi relativi agli autovalori corrispondenti? [...]
"alemezz":Sì, è corretto!
[...] Mentre $ M_B(g) $ sarebbe la matrice associata all’applicazione lineare rispetto alla base appena trovata, ovvero la matrice diagonale $ ((λ_1, 0, 0) , (0, λ_2, 0) , (0, 0, λ_3)) $ , corretto? [...]
"alemezz":A meno di indicazione contrarie, dovrebbe essere la matrice rappresentante \(\displaystyle g\) rispetto alla base canonica.
[...] Ora non capisco $ M(g) $ cosa indica [...]
Quindi, se non sbaglio, trovare se $M(g)$ è diagonalizzabile equivale a trovare se g è diagonalizzabile (come per il punto 1), e la matrice $P$ sarebbe la matrice formata dai vettori della base diagonalizzante trovata in precedenza, ovvero proprio la matrice diagonalizzante.
Grazie per le risposte
Grazie per le risposte
Prego, di nulla!
P.S.: tutto quanto è vero se l'endomorfismo in questione è diagonalizzabile!
P.S.: tutto quanto è vero se l'endomorfismo in questione è diagonalizzabile!
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