Sottospazi radicali
Sia $R_lambda={vec(v)inV:existsdgeq1 t.c. (A-kI)^d(vec(v))=0}$
Come la trovo una sua base
Come la trovo una sua base

Risposte
Ciao,
suppongo che lo spazio vettoriale in cui lavori sia finitamente generato e che $k$ sia autovalore per $A$.
Dunque innanzitutto nota che la successione $Ker(A-kI) \sub Ker((A - kI)^2) \sub ... \sub Ker ( (A-kI)^s ) ) \sub ... $
deve necessariamente stabilizzarsi, cioè deve esistere un certo $p <= n = dimV$ tale che $Ker(A-kI)^p = Ker( ( A-kI)^(p+1))$, questo perché $V$ è finitamente generato.
Quindi la successione dei ker si stabilizza a un intero $p$ minore o uguale di $n$:
Esercizio 1 Dimostrare che $R_{\k} = Ker( (A-kI)^p )$
Ora non rimane che calcolare $p$: bisogna calcolare le potenze di $(A-kI)$ fin quando i ker non si stabilizzano(ossia fin quando le dimensioni dei ker non diventano uguali da un certo punto in poi). Individuato $p$ basta risolvere il sistema lineare $(A-kI)^p X = 0$ per trovarne una base.
suppongo che lo spazio vettoriale in cui lavori sia finitamente generato e che $k$ sia autovalore per $A$.
Dunque innanzitutto nota che la successione $Ker(A-kI) \sub Ker((A - kI)^2) \sub ... \sub Ker ( (A-kI)^s ) ) \sub ... $
deve necessariamente stabilizzarsi, cioè deve esistere un certo $p <= n = dimV$ tale che $Ker(A-kI)^p = Ker( ( A-kI)^(p+1))$, questo perché $V$ è finitamente generato.
Quindi la successione dei ker si stabilizza a un intero $p$ minore o uguale di $n$:
Esercizio 1 Dimostrare che $R_{\k} = Ker( (A-kI)^p )$
Ora non rimane che calcolare $p$: bisogna calcolare le potenze di $(A-kI)$ fin quando i ker non si stabilizzano(ossia fin quando le dimensioni dei ker non diventano uguali da un certo punto in poi). Individuato $p$ basta risolvere il sistema lineare $(A-kI)^p X = 0$ per trovarne una base.