Determinare un piano comune a due fasci
Salve, ho dei dubbi su questa tipologia d'esercizi.
Se ho le equazioni di due fasci di piani aventi per asse due rette r1 ed r2 di cui vengono riportate le equazioni in forma cartesiana e parametrica come determino un piano comune ai fasci F1 ed F2?
Ho gia trovato le equazioni dei fasci portando la seconda retta in forma cartesiana ed utilizzando il classico modo con $lambda$ e $mu$ per trovare le equazioni dei fasci e fin qui credo sia ok.. poi?
Se ho le equazioni di due fasci di piani aventi per asse due rette r1 ed r2 di cui vengono riportate le equazioni in forma cartesiana e parametrica come determino un piano comune ai fasci F1 ed F2?
Ho gia trovato le equazioni dei fasci portando la seconda retta in forma cartesiana ed utilizzando il classico modo con $lambda$ e $mu$ per trovare le equazioni dei fasci e fin qui credo sia ok.. poi?
Risposte
Vuoi trovare quindi il piano che contiene le due rette, da quel che ho capito.
Innanzitutto devi verificare la posizione reciproca tra le due rette (sai come fare?)
Dalla posizione reciproca abbiamo 3 possibilità:
Le due rette sono sghembe, pertanto non esiste alcun piano che le possa contenere;
Le due rette sono parallele
Le due rette sono incidenti.
Per le rette parallele basta individuare due punti generici delle due rette, trovare il vettore direzione rispetto questi due punti, individui un vettore di giacitura di uno delle due rette(essendo parallele o saranno uguali o l'uno il multiplo dell'altro); e risolvi il determinante della seguente matrice $|(x-xo,u_x,v_x),(y-yo,u_y,v_y),(z-z_o,u_z,v_z)|$
Dove $P(x_o,y_o,z_o)$ è il punto appartente ad una retta, mentre $v_(v_x,v_y,v_z)$ è il vettore di giacitura; mentre $u(u_x,u_y,u_z)$ è il vettore che ti sei trovato precedentemente $PP_2=u$
Quando hai due rette incidenti invece individui i due vettori di giacitura delle due rette, effettui il prodotto scalare tra le due rette trovando così il vettore generico del piano che le contiene, e per trovare il piano basterà imporre il passaggio per il punto di incidenza tra le due rette
Innanzitutto devi verificare la posizione reciproca tra le due rette (sai come fare?)
Dalla posizione reciproca abbiamo 3 possibilità:
Le due rette sono sghembe, pertanto non esiste alcun piano che le possa contenere;
Le due rette sono parallele
Le due rette sono incidenti.
Per le rette parallele basta individuare due punti generici delle due rette, trovare il vettore direzione rispetto questi due punti, individui un vettore di giacitura di uno delle due rette(essendo parallele o saranno uguali o l'uno il multiplo dell'altro); e risolvi il determinante della seguente matrice $|(x-xo,u_x,v_x),(y-yo,u_y,v_y),(z-z_o,u_z,v_z)|$
Dove $P(x_o,y_o,z_o)$ è il punto appartente ad una retta, mentre $v_(v_x,v_y,v_z)$ è il vettore di giacitura; mentre $u(u_x,u_y,u_z)$ è il vettore che ti sei trovato precedentemente $PP_2=u$
Quando hai due rette incidenti invece individui i due vettori di giacitura delle due rette, effettui il prodotto scalare tra le due rette trovando così il vettore generico del piano che le contiene, e per trovare il piano basterà imporre il passaggio per il punto di incidenza tra le due rette
"Vicia":
Vuoi trovare quindi il piano che contiene le due rette, da quel che ho capito.
Innanzitutto devi verificare la posizione reciproca tra le due rette (sai come fare?)
Dalla posizione reciproca abbiamo 3 possibilità:
Le due rette sono sghembe, pertanto non esiste alcun piano che le possa contenere;
Le due rette sono parallele
Le due rette sono incidenti.
Per le rette parallele basta individuare due punti generici delle due rette, trovare il vettore direzione rispetto questi due punti, individui un vettore di giacitura di uno delle due rette(essendo parallele o saranno uguali o l'uno il multiplo dell'altro); e risolvi il determinante della seguente matrice $|(x-xo,u_x,v_x),(y-yo,u_y,v_y),(z-z_o,u_z,v_z)|$
Dove $P(x_o,y_o,z_o)$ è il punto appartente ad una retta, mentre $v_(v_x,v_y,v_z)$ è il vettore di giacitura; mentre $u(u_x,u_y,u_z)$ è il vettore che ti sei trovato precedentemente $PP_2=u$
Quando hai due rette incidenti invece individui i due vettori di giacitura delle due rette, effettui il prodotto scalare tra le due rette trovando così il vettore generico del piano che le contiene, e per trovare il piano basterà imporre il passaggio per il punto di incidenza tra le due rette
Grazie 1000, ma nel caso delle rette parallele, quando devo trovarmi il vettore direzione rispetto ai due punti devo fare il prodotto vettoriale tra due punti generici delle rette?
Se hai tipo $P(1,0,2) $ e $P_2(1,1,0)$
Per trovare il vettore direzione, basta che fai la differenza tra le componenti del vettore quindi $PP_2=u=(0,1,-2)$
Per trovare il vettore direzione, basta che fai la differenza tra le componenti del vettore quindi $PP_2=u=(0,1,-2)$
"Vicia":
Se hai tipo $P(1,0,2) $ e $P_2(1,1,0)$
Per trovare il vettore direzione, basta che fai la differenza tra le componenti del vettore quindi $PP_2=u=(0,1,-2)$
Perfetto, grazie 1000!
Di nulla 
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