Ricavare curvatura, versore normale e flessi

[feddy]

Buongiorno a tutti, ho il seguente problema (per la verità standard). I miei dubbi risiedono più che altro nei procedimenti:

vorrei sapere se in (i) esiste un modo alternativo
E se in (iii) e (iv) la strada è effettivamente quella oppure può essere accorciata.

Sia $C$ una curva parametrizzata da $\sigma(t)=(cos(t),sen(2t))$, $t \in (0,2 pi)$.

(i) Determinare i punti di flesso di $C$.
(ii) Determinare le tangenti a $C$ in $(0,0)$.
(iii) Calcolare versore tangente e versore normale alla curva in ogni suo punto non di flesso
(iv) Calcolare la curvatura di $C$.

Sol.:

(i) Data una curva regolare, un punto $p_o=\sigma(t)$ si dice flesso se $\sigma'(t)$ e $\sigma ''(t)$ sono proporzionali.
Pertanto ho imposto $\sigma'(t)= \lambda \sigma ''(t)$,cioè

$ ((-sin(t)),(2cos(2t)))=\lambda((-cos(t)),(-4sen(2t))) $

ottenendo

$sen^2(t)=1/4$

da cui

$t=\pi/6, 5pi/6,7 pi/6,11pi/6$

Mi sembra vadano bene... tuttavia: è questo il procedimento migliore ? Oppure ne esiste uno più rapido?

(ii) Per determinare le tangenti problemi non ce ne sono...

(iii)

$\mathcal(t)=(\sigma'(t))/ (||\sigma'(t)||) = ... = ((-sen(t)),(2cos(2t))) * 1/sqrt(4cos^2(2t) + sen^2(t))$

Per trovare il versore normale farei così: (risparmio i conti)

1. trovo il versore binormale $\mathcal(b)=(\sigma'(t) \wedge \sigma ''(t)) / ||\sigma'(t) \wedge \sigma ''(t)||$
2. $\mathcal(n)=\mathcal(b) \wedge \mathcal(t)$
[/list:u:ywhue3wh]


(iv) Per trovare la curvatura basta usare la formula $\mathcal(k)=||\sigma'(t) \wedge \sigma ''(t)||/ ||\sigma'(t)||^3$ (risparmio i conti che non sono un problmea)

[Studente Anonimo]

Anche se non credo possa interessarti, si può procedere con l'equazione cartesiana:

$[y=2xsqrt(1-x^2)] uu [y=-2xsqrt(1-x^2)] ^^ [-1 lt= x lt= 1]$

[feddy]

Ciao, grazie per la risposta !

Certo, il punto è che volevo farlo usando solamente la definizione di flesso per una curva parametrizzata

[Studente Anonimo]

Per quanto mi riguarda, mi sono fatto uno schema:





Per esempio, a volte, il calcolo del versore normale principale può essere più agevole con la prima formula, quella tra parentesi per intenderci.

[feddy]

Idem a quello che ho pure io Ma non ho capito come faresti per trovare un eventuale punto di flesso di una superficie regolare. Faresti come ho fatto io in (1)?

[Studente Anonimo]

"feddy":
Ma non ho capito come faresti per trovare un eventuale punto di flesso di una superficie regolare ...

Immagino che volessi scrivere curva, non superficie.

[feddy]

si certo, è che mentre l'ho scritto stavo studiando le superfici

[Studente Anonimo]

Se, in un punto di flesso, il vettore velocità e il vettore accelerazione devono essere paralleli, si può imporre che il loro prodotto vettoriale sia nullo (fisicamente, l'accelerazione è solo tangenziale). Del resto, nella risorsa sottostante:


la seguente condizione:


è equivalente a quella enunciata in precedenza. Ad ogni modo, se non è zuppa è pan bagnato.