Metodo di eliminazione di Gauss-Jordan

[Vicia]

Buongiorno a tutti!
Riscontro notevoli difficoltà nel riuscire ad applicare il metodo di eliminazione di Gauss-Jordan. Come faccio a capire qual è la strada da seguire? Esiste una procedura standard per riuscire ad utilizzare questo metodo?
Un esempio, ho questo sistema :
$\{ (2 x_1 + 5 x_2 + 4 x3 - x4 = 3),(x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 + x_4 = -1),(4 x_1 + 2 x_2 + 2 x_3 -2 x_4 = -6),(-2 x_1 - x_2 - x_3 + x_4 = 3):}$
Ho provato a risolverlo più volte, ogni volta con risultati diversi. Qualche suggerimento per affrontare sistemi del genere'

[axpgn]

Beh, se c'è qualcosa di "meccanico", di standard è proprio la procedura di Gauss-Jordan per ridurre una matrice a scalini ... Quali sono, in particolare, le tue difficoltà?

[Vicia]

So in linee generali come procedere, però mi perdo sempre nei calcoli e non riesco mai a giungere alla soluzione esatta.

[axpgn]

Va beh, ma perdersi nei calcoli non c'entra nulla con la procedura in sé, un altro conto è applicare la procedura in modo sbagliato ... sei sicuro che sia solo un problema di conteggi?
Fai vedere qualche passaggio del sistema che hai postato ...

[Vicia]

Innanzitutto ho visto che la quarta equazione è multiplo della terza, quindi ho impostato il sistema solo con la prima seconda e quarta equazione, perchè moltiplicando la quarta per 2 e sommandola alla terza ottengo $0=0$ .
Poi ho moltiplicato la seconda equazione per $-2$ , e sommato la prima alla seconda ottenendo come seconda equazione$ x_2-3x_4=5$
Poi ho moltiplicato la terza per $-1/2$, e ho sommato la prima alla terza ottenendo come terza equazione $ 4x_2+3x_3=6$
Poi ho moltiplicato la seconda per $-4$, e ho sommato la seconda alla terza, ottenendo come terza equazione $ 3x_3+12x_4=-14$
Poi ho moltiplicato la seconda $-5$ e l'ho sommata alla prima, ottenendo come prima equazione $ 2x_1+4x_3+14x_4=-22$
Poi ho moltiplicato la terza per $-4/3$ e l'ho sommata alla prima ottenendo come prima equazione $ 2x_1-2x_4=-10/3$
e quindi il sistema adesso è:
$\{ ( 2x_1-2x_4=-10/3),(x_2-3x_4=5), (3x_3+12x_4=-14):}$
Da qui ricavo le soluzioni, ma mi vengono tutti i segni sbagliati dovrebbero venire così:
$x_1=-5/3+x_4$
$x_2=5+3x_4$
$x_3=-14/3-4x_4$
$x_4=x_4$

E a me invece vengono
$x_1=5/3+x_4$
$x_2=-5+3x_4$
$x_3=14/3-4x_4$
$x_4=x_4$

[axpgn]

I tuoi risultati non sono molto diversi quindi è probabile che tu abbia sbagliato "qualcosina" nei conti ... d'altra parte fatti in quel modo la probabilità aumenta ... ... sarebbe meglio essere un pochino più formali ...

Prima di tutto è meglio lavorare sulle matrici che sul sistema (è fatto apposta per evitare tutta quella confusione con le incognite) quindi il tuo sistema diventa questo ...

$((2,5,4,-1,|,3),(1,2,2,1,|,-1),(4,2,2,-2,|,-6),(-2,-1,-1,1,|,3))$

e quindi applico le opportune mosse di Gauss ...

Inizio con alcune mosse non necessarie ma comode se si fanno i conti a mano: inverto le prime due, divido per due la terza e, accorgendomi che quest'ultima è identica alla terza, sommo alla quarta la terza ...

$((1,2,2,1,|,-1),(2,5,4,-1,|,3),(2,1,1,-1,|,-3),(0,0,0,0,|,0))$


Adesso proseguo aggiungendo alla seconda la prima moltiplicata per $-2$ e faccio lo stesso con la terza ...

$((1,2,2,1,|,-1),(0,1,0,-3,|,5),(0,-3,-3,-3,|,-1),(0,0,0,0,|,0))$

Adesso aggiungo alla terza la seconda moltiplicata per $3$ ...

$((1,2,2,1,|,-1),(0,1,0,-3,|,5),(0,0,-3,-12,|,14),(0,0,0,0,|,0))$

A questo punto puoi già trovarti le soluzioni ... ma siccome hai "parlato" anche di Jordan allora si dovrebbe proseguire, tornando su ... ... per giungere alla forma finale ...

$((1,0,0,-1,|,-5/3),(0,1,0,-3,|,5),(0,0,1,4,|,-14/3),(0,0,0,0,|,0))$

dalla quale puoi leggere" direttamente le soluzioni (che combacino con quelle del libro ...)

Cordialmente, Alex

[Vicia]

Devo prenderci bene la mano, grazie