Cardinalità varietà differenziabili

[otta96]

Nello studio delle varietà differenziabili, solitamente ci si concentra soprattutto su quelle che sono per lo meno di Hausdorff e a base numerabile, alle quali si può applicare il https://en.wikipedia.org/wiki/Whitney_embedding_theorem, quindi in particolare la loro cardinalità sarà quella del continuo, e basandosi sulla definizione si esclude facilmente la possibilità che una varietà abbia cardinalità minore del continuo, ma maggiore può averla?
Ci ho pensato un po' e l'unica cosa che mi è venuta in mente è che non può ammettere atlanti di cardinalità minore o uguale al continuo, ma ciò non esclude completamente la possibilità che una varietà possa avere cardinalità maggiore di quella del continuo, secondo voi può esistere una cosa del genere?

[killing_buddha]

Questo dimostra che una varietà topologica connessa e di Hausdorff ha cardinalità \(2^{\aleph_0}\), e la dimostrazione è elegante ma non banale. Ne deduco che per "bucare" questa cardinalità avresti bisogno di considerare varietà con \(2^{2^{\aleph_0}}\) componenti connesse non esattamente il tipo di varietà che vuoi vedere nella vita.

Questo invece sembra dimostrare che ogni varietà topologica connessa e Hausdorff ha un atlante di cardinalità non maggiore di \(2^{\aleph_0}\).

[otta96]

La dimostrazione del primo link non l'ho capita, comunque mi sembra di aver capito che se una varietà connessa è uno spazio di Hausdorff, allora ha cardinalità del continuo, ma se non è di Hausdorff, cosa può succedere?