Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buongiorno, vorrei che mi aiutaste ad interpretare il seguente esercizio:
Assegnati i vettori di $R^3$: \( v_1=(1,0,-1) , v_2=(0,1,2),v_3=(0,0,1),v_4(-3,2,-1) \) , si verifichi la lineare indipendenza di \( v_1,v_2,v_3 \) e si determinino le componenti di $v_4$ nel riferimento $R=(v_1,v_2,v_3)$.
La verifica della lineare indipendenza è stata immediata. Conoscendo la dimensione n dello spazio vettoriale e trovati n vettori L.I. tali vettori costituiscono una base dello ...
Salve, studiando le fibrazioni mi capita spesso di costruire prodotti fibrati e rivestimenti che danno vita (quasi sempre) a superfici che non sono lisce. In quasi tutti gli articoli che ho consultato si parla di modello minimale liscio della superficie e la fibrazione la si considera su questa nuova superficie (ora liscia) senza però aggiungere una parola sul comportamento delle fibre che continuano ad essere considerate curve della superficie di partenza.
Spero di essere stato chiaro e spero ...
Il mio prof all'esame chide la dimostrazione del criterio di diagonalizzabilità.
Ora la domanda che vi pongo ma il criterio di diagonalizzabilità cottorisponde al teorema di diagonalizzabilità queelo in cui si studia il polinomio caratteristico confrontando molteplicità algebrica e geometrica????
O sbaglio completamente???
Salve il mio prof chiede la dimostrazione di questo enunciato.
Autovettori relativi ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti.
L'enunciato mi sembra abbastanza ovvio e scontato quasi come se fosse un "assioma". Quindi come posso procedere per una dimostrazione??
Il mio prof all'orale chiede di dimostrare che la similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza.
Io avevo pensato che ,dato che una relazione d'equivalenza è la relazione di due oggetti che godono delle stesse proprietà, si potessero enunciare le proprietà di due matrici simili ovvero che hanno stesso rango, determinante, traccia e polinomio caratteristico.
Quindi dato che due matrici simili hanno queste cose in comune allora sono una relazione d'equivalenza.
Può andar bene???
Salve il mio prof chiede la dimostrazione di questo teorema e dato che sul libro non c'è ho provato da solo e vorrei sapere se andasse bene.
TEO
il sottospazio $Im(f)$ di un applicazione lineare $f:V->W$ è generato dalle immagini dei vettori di un sistema di generatori di $V$.
DIM
$F$ è lineare, perciò $F(av)=aF(v)$ e $F(v1+v2)=F(v1)+F(v2)$
sai che tutti i vettori di V si scrivono come combinazione lineare dei generatori ${v1,..,vn}$ di ...
Buongiorno,
Calcolare le basi dello \(\displaystyle Span(v_1,v_2) \) e \(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3) \);
dove \(\displaystyle v_1=(3,-1,2,0) ; v_2=(-6,2,-4,0) ; v_3=(-3,1,-2,0) \).
Dovrei ridurre la matrice \(\displaystyle A \) associata ai vettori \(\displaystyle v_1=(3,-1,2,0) ; v_2=(-6,2,-4,0) \), per il primo sottospazio.
Invece, dovrei procedere in modo simile per la matrice \(\displaystyle B \) associata ai vettori \(\displaystyle v_1=(3,-1,2,0) ; v_2=(-6,2,-4,0) ; v_3=(-3,1,-2,0) ...
Salve, vi chiedo se il ragionamento che seguo è giusto per trovare le basi di somma e intersezione di sottospazi. Per farlo vi propongo un esercizio
"Siano $U$ il sottospazio di $RR^4$ generato da $u_1=(0,1,0,1)$,$u_2=(0,1,1,0)$ e $W={(x,y,x+z,x+y+z)| x,y,z inRR$
(i) Determinare una base di $UnnW$
(ii) Determinare una base di $U+W$"
Ho proceduto in tal modo:
1) Verifico che il sistema $S={u_1,u_2}$ sia liberamente indipendente. Per farlo ad esempio ...
Buongiorno,
ho appena iniziato lo studio di topologia e gia' incontro i primi problemi
Credo che sia piu' che altro un problema di capire bene la definizione di insieme aperto.
Io so che, sia $(X,d)$ uno spazio metrico e $A\subset X$, A e' aperto nel mio spazio metrico se e solo se $\forall x\in A \exists \epsilon>0$ tale che $B_(x,\epsilon)\subset A$
Ora devo dire se i seguenti insiemi sono aperti o meno:
${(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<1} U {(1,0)}$
${(x,y)\in RR^2 | x^2+y^2<=1}$
${(x,y)\in RR^2 | x+y<0}$
${(x,y)\in RR^2 | x+y=0}$
Arrivata ad un certo ...
Sia $ L : \mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^3} | \text{i}) L(e_1)=e_1+e_3, text{ii}) L(e_2)=2e_1+2e_2+3e_3,text{iii})L(e_3)=3e_1+2e_2+4e_3$ dove $ e_1, e_2, e_3 \in \mathbb{R^3} $ sono la base canonica.
Sia $ M_c:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R^3} | text{i}) M_c(1,2)=ce_1+2e_2+2e_3, text{ii}) M_c(2,-1)=2e_2+ce_3 $
Si trovi per quali $ c \in \mathbb{R} $ si ha $ \text{Im} L = \text{Im} M_c $ e trovare la dimensione di $ \text{Im} L \cap \text{Im} M_c $ al variare di $ c $.
Ho provato a calcolare le matrici $ L $ e $M_c$ usando i dati che il problema da (e mi trovo $ L^1 = (1,0,1), L^2=(2,2,3), L^3=(3,2,4) $, per l'altra matrice se l'ho calcolata bene viene $ M_c^1 = (\frac{1}{3}c,1,\frac{3-c}{3}), M_c^2=(\frac{2}{3}c,0,\frac{6-c}{3}) $ e poi per trovare quando le due immagini sono uguali ho ...
Buonasera,
sto studiando gli spazi quoziente e il nostro professore ci ha dato una serie di "esempi" che sto facendo fatica a comprendere.
Uno tra tanti, lo spazio proiettivo reale. Andiamo per gradi.
La definizione che io ho e' la seguente,
Prendo $S^n={x\in RR^(n+1) : x_1^2+...+x_(n+1)^2=1}$
definisco la relazione di antipodalita' come:
presi $x,x'\in S^n$, $x~x'$ se e solo se $x'=+-x$
e lo spazio proiettivo reale e' $P_r^n= S^n/~$
e fino a qui tutto chiaro (si tratta solo di una ...
Nel caso in cui mi trovi degli autovalori per cui l'endomorfismo è diagonalizzabile ed altri autovalori per il quale l'endomorfismo non è diagonalizzabile devo fare distinzione o l'endomorfismo non è diagonalizzabile in generale?
ergo: $ lambda _1=1 $ , molteplicità algebrica=1, autovalore semplice, f è diagonalizzabile
$ lambda _2=0 $ , molteciplità algebrica=2, molteplicità geometrica=1, f non è diagonalizzabile
devo specificare che l'endomorfismo sia diagonalizzabile per ...
Buonasera a tutti.
Vi posto la seguente traccia:
Si determini per quali valori del parametro reale h il rango della seguente matrice è 3.
\( \begin{pmatrix} 1 & -h & (h-1) \\ 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ h & -h & (-h^2+1) \end{pmatrix} \)
Essendo una matrice rettangolare non posso operare sul determinante, perciò utilizzo il teorema degli orlati.
Il teorema afferma: : "Condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice A di tipo mxn abbia rango p è che esista un minore Mp (avente ...
Scusate la domanda che magari la domanda che può sembrare da una parte banale e dall'altra mi faccia passare come uno che non voglio cercarsi le risposte. Scrivo questo post dopo un lungo cercare su internet dato che sul libro di corollari del lemma di stenitz non c'è ne nemmeno l'ombra.
Ora vi chiedo quali sono questi corollari???
Ciao a tutti ho problemi con la dimostrazione di questo problema.
Allora bisogna dimostrare che se un sistema è non singolare ammette una soluzione.
posto $\epsilon_j= detF_j/detA$ e poichè il $detA!=0$ la matrice $A$ risulta invertibile.
Pertanto $\epsilon=In*\epsilon=A^-1*A*\epsilon=A^-1*B$
Ora sul mio libro continua con una serie di sommatorie che francamente faccio fatica a capire qualcuno che mi può spiegare come continuare??
GRAZIE
Il mio prof chiede la dimostrazione di questo enunciato: "Un sistema contenente il vettore nullo è dipendente"
Io avevo pensato ad una risoluzione banale ma non so se sia esatta.
Un sistema per essere dipendente deve avere determinante uguale a zero. Dato che un sistema con il vettore nullo ha determinante uguale a zero allora quel sistema è dipendente.
Può andar bene come dimostrazione???
Salve a tutti,
mi sto esercitando in argomenti di applicazioni lineari.
Volevo sapere in questo esercizio:
"Sia T: R^4 ----> R l'applicazione lineare data da T(x) = x2 - x3. Trova una base di KerT".
Ora, sviluppando il sistema omogeneo qui abbastanza semplice viene x2 = x3.
Come faccio da qui a determinare la base? Le due variabili x1 e x4 che non sono espresse nella funzione come le tratto?
Grazie in anticipo
Salve, ho un dubbio atroce su questo esercizio:
Sia f un endomor smo di R2 tale che f(1,1) = (3,-1) e
f(1,-1) = (9,-3). Dopo aver dimostrato che f è unico, determinare gli
autovalori e gli autospazi di f.
Per l'unicità si vede subito perchè è definito su base {(1,1),(1,-1)} che ha dimensione pari al dominio. E qui ok.
Per gli autovalori io lo metto in matrice direttamente così:
\(\displaystyle \left[\begin{matrix}3 & 9 \\ -1 & -3\end{matrix}\right] \)
e procedo alla ...
Ciao,devo studiare il rango di questa matrice
A=$((k+30,k+45,15,k+10,5),(k-5,2k-10,k-5,0,0),(-2-k,-5-k,-3,-3,=-k))$
Essendo una matrice 3×5 ,rgA sarà minore o uguale a 3.
Perciò considero la sottomatrice $((15,k+10,5),(k-5,0,0),(-3,-3,4-k))$
Il suo determinante è diverso da 0 per k diverso da 5 e da -11. Quindi per k diverso da questi valori la matrice ha rango massimo.
Per k=5 invece si ha che la matrice ha rango 1.
Vi torna? Altrimenti non ha senso continuare.Grazie.
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