Dubbi sul calcolo del nucleo
Salve a tutti,
mi sto esercitando in argomenti di applicazioni lineari.
Volevo sapere in questo esercizio:
"Sia T: R^4 ----> R l'applicazione lineare data da T(x) = x2 - x3. Trova una base di KerT".
Ora, sviluppando il sistema omogeneo qui abbastanza semplice viene x2 = x3.
Come faccio da qui a determinare la base? Le due variabili x1 e x4 che non sono espresse nella funzione come le tratto?
Grazie in anticipo
mi sto esercitando in argomenti di applicazioni lineari.
Volevo sapere in questo esercizio:
"Sia T: R^4 ----> R l'applicazione lineare data da T(x) = x2 - x3. Trova una base di KerT".
Ora, sviluppando il sistema omogeneo qui abbastanza semplice viene x2 = x3.
Come faccio da qui a determinare la base? Le due variabili x1 e x4 che non sono espresse nella funzione come le tratto?
Grazie in anticipo
Risposte
L'applicazione lineare è:
definita come
che è equivalente a scrivere
il cui nucleo è
quindi il sistema da risolvere è
questo sistema, per il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, devere avere $oo^(4-r(A_T))=oo^3$ soluzioni; che sono:
Concludendo, l'inseme delle soluzioni del sistema lineare e, quindi, una base del $ker(T)$ è:
$T: RR^4->R$
definita come
$T(x)=x_2-x_3$
che è equivalente a scrivere
$A_Tx=( ( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0,0,0,0),( 0,0,0,0),( 0,0,0,0 ) ) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
il cui nucleo è
$ker(T):={x in RR^4 | T(x)=bar(0)}={x in RR^4 | A_Tx=bar(0)}$
quindi il sistema da risolvere è
$( ( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0,0,0,0),( 0,0,0,0),( 0,0,0,0 ) ) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0))$
questo sistema, per il teorema di Kronecker-Rouché-Capelli, devere avere $oo^(4-r(A_T))=oo^3$ soluzioni; che sono:
$((x_1),(x_2),(x_2),(x_4))=x_1((1),(0),(0),(0))+x_2((0),(1),(1),(0))+x_4((0),(0),(0),(1))$
Concludendo, l'inseme delle soluzioni del sistema lineare e, quindi, una base del $ker(T)$ è:
${((1),(0),(0),(0)),((0),(1),(1),(0)),((0),(0),(0),(1))}$
Ok, grazie mille.
Mi è rimasto soltanto un dubbio: La matrice associata dei coefficienti non dovrebbe avere n colonne come n la dimensione dello spazio di partenza, ed m righe come la dimensione di quello di arrivo? Infatti io la scrivevo senza le tre ulteriori righe di 0, ed effettivamente alla fine mi creava confusione.
Inoltre, il Teorema di Rouché-Capelli è sempre meglio applicarlo prima di risolvere esercizi di questo tipo?
Posso anche procedere direttamente senza verificare prima la compatibilità?
Mi è rimasto soltanto un dubbio: La matrice associata dei coefficienti non dovrebbe avere n colonne come n la dimensione dello spazio di partenza, ed m righe come la dimensione di quello di arrivo? Infatti io la scrivevo senza le tre ulteriori righe di 0, ed effettivamente alla fine mi creava confusione.
Inoltre, il Teorema di Rouché-Capelli è sempre meglio applicarlo prima di risolvere esercizi di questo tipo?
Posso anche procedere direttamente senza verificare prima la compatibilità?
"dario98":
Ok, grazie mille.
La matrice associata dei coefficienti non dovrebbe avere n colonne come $n$ la dimensione dello spazio di partenza, ed $m$ righe come la dimensione di quello di arrivo? Infatti io la scrivevo senza le tre ulteriori righe di 0, ed effettivamente alla fine mi creava confusione.
Fondamentalmente avrei dovuto scrivere così:$ L_A(T):=A_Tx=( ( 0 , 1 , -1 , 0 )) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))$
mentre il sistema lineare omogeno è più corretto, a mio parere, scriverlo così:
$( ( 0 , 1 , -1 , 0 ),( 0,0,0,0),( 0,0,0,0),( 0,0,0,0 ) ) ((x_1),(x_2),(x_3),(x_4))=((0),(0),(0),(0))$
in ogni caso un'equazione $x_1,x_2,x_3,x_4in RR | x_2-x_3=0$ è $1$ equazione in $4$ incognite ed è immediato capire che si avranno $oo^3$ soluzioni[nota]$r(A_T)=1$[/nota].
"dario98":
Inoltre, il Teorema di Rouché-Capelli è sempre meglio applicarlo prima di risolvere esercizi di questo tipo?
Posso anche procedere direttamente senza verificare prima la compatibilità?
È uguale; l'importante è ricordarsi di avere a disposizione uno strumento teorico per la verifica dell'esattezza dei calcoli.
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