Similitudine tra matrici
Il mio prof all'orale chiede di dimostrare che la similitudine tra matrici è una relazione d'equivalenza.
Io avevo pensato che ,dato che una relazione d'equivalenza è la relazione di due oggetti che godono delle stesse proprietà, si potessero enunciare le proprietà di due matrici simili ovvero che hanno stesso rango, determinante, traccia e polinomio caratteristico.
Quindi dato che due matrici simili hanno queste cose in comune allora sono una relazione d'equivalenza.
Può andar bene???
Io avevo pensato che ,dato che una relazione d'equivalenza è la relazione di due oggetti che godono delle stesse proprietà, si potessero enunciare le proprietà di due matrici simili ovvero che hanno stesso rango, determinante, traccia e polinomio caratteristico.
Quindi dato che due matrici simili hanno queste cose in comune allora sono una relazione d'equivalenza.
Può andar bene???
Risposte
Cosa è una relazione di equivalenza?
"anto_zoolander":
Cosa è una relazione di equivalenza?
oggetti che condividono una certa proprietà
oppure più nello specifico se gode nello specifico della proprietà: transitiva,simmetrica, riflessiva
In generale dato un insieme $A$: una relazione su $A$ è un qualsiasi sottoinsieme $RsubseteqAtimesA$
Una relazione di equivalenza in particolare è una relazione che soddisfa come hai detto tu:
• proprietà riflessiva
• proprietà simmetrica
• proprietà transitiva
Ora dato $M_n(K)$ insieme delle matrici di ordine $n$ diremo che:
Ti do un input con la facendoti vedere la prima proprietà.
• proprietà riflessiva: si deve mostrare che $forallA inM_n(K),AequivA$
Questo è sempre vero poiché $existsI_n inGL_(n)(K):I_n^(-1)AI_n=A$
Come procederesti per le altre due?
Una relazione di equivalenza in particolare è una relazione che soddisfa come hai detto tu:
• proprietà riflessiva
• proprietà simmetrica
• proprietà transitiva
Ora dato $M_n(K)$ insieme delle matrici di ordine $n$ diremo che:
$forallA,BinM_(n)(K),AequivB<=>existsP inGL_(n)(K):P^(-1)AP=B$
Ti do un input con la facendoti vedere la prima proprietà.
• proprietà riflessiva: si deve mostrare che $forallA inM_n(K),AequivA$
Questo è sempre vero poiché $existsI_n inGL_(n)(K):I_n^(-1)AI_n=A$
Come procederesti per le altre due?
"anto_zoolander":
In generale dato un insieme $A$: una relazione su $A$ è un qualsiasi sottoinsieme $RsubseteqAtimesA$
Una relazione di equivalenza in particolare è una relazione che soddisfa come hai detto tu:
• proprietà riflessiva
• proprietà simmetrica
• proprietà transitiva
Ora dato $M_n(K)$ insieme delle matrici di ordine $n$ diremo che:
$forallA,BinM_(n)(K),AequivB<=>existsP inGL_(n)(K):P^(-1)AP=B$
Ti do un input con la facendoti vedere la prima proprietà.
• proprietà riflessiva: si deve mostrare che $forallA inM_n(K),AequivA$
Questo è sempre vero poiché $existsI_n inGL_(n)(K):I_n^(-1)AI_n=A$
Come procederesti per le altre due?
allora credo di aver risolto:
in pratica una matrice è sempre simile a se stessa, se$ A$ è simile a $B$ con matrice di passaggio $P$ allora $B$ è simile ad
$A$ con matrice di passaggio $P^-1$ e poi da $P^-1AP=B$ e $Q^1BQ=C$ si ha $Q^-1P^-1APQ=C$ dunque $A$ e simile a $C$ con matrice di passaggio $PQ$.
credo sia corretta...giusto???
Ora nasce un problema ancora più grande n cui non so davvero dove sbattere la testa
Ovvero la congruenza tra matrici è una relazione d'equivalenza... non credo si possa risolvere allo stesso modo...o sbaglio???
None.
• proprietà simmetrica
Siano $A,BinM_(n)(K)$ e supponiamo che $AequivB$ allora $existsP inGL_n(K):P^(-1)AP=B$ allora poiché $P$ è invertibile possiamo moltiplicare per $P$ a sinistra e $P^(-1)$ a destra quindi $A=(P^(-1))^(-1)BP^(-1)$ quindi posto $P^(-1)=Q$ si ha la tesi.
• proprietà transitiva
Siano $A,B,C inM_(n)(K)$ e supponiamo che $AequivBwedgeBwedgeC$
$existsQinGL_(n)(K):Q^(-1)AQ=B$
$existsP inGL_(n)(K):P^(-1)BP=C$
Pertanto $C=P^(-1)BP=P^(-1)Q^(-1)AQP$
Per le proprietà di gruppo di $GL_n(K)$ si ha $P^(-1)Q^(-1)=(QP)^(-1)$
Quindi $C=(QP)^(-1)A(QP)$ pertanto ponendo $QP=R$ si ha la tesi.
• proprietà simmetrica
Siano $A,BinM_(n)(K)$ e supponiamo che $AequivB$ allora $existsP inGL_n(K):P^(-1)AP=B$ allora poiché $P$ è invertibile possiamo moltiplicare per $P$ a sinistra e $P^(-1)$ a destra quindi $A=(P^(-1))^(-1)BP^(-1)$ quindi posto $P^(-1)=Q$ si ha la tesi.
• proprietà transitiva
Siano $A,B,C inM_(n)(K)$ e supponiamo che $AequivBwedgeBwedgeC$
$existsQinGL_(n)(K):Q^(-1)AQ=B$
$existsP inGL_(n)(K):P^(-1)BP=C$
Pertanto $C=P^(-1)BP=P^(-1)Q^(-1)AQP$
Per le proprietà di gruppo di $GL_n(K)$ si ha $P^(-1)Q^(-1)=(QP)^(-1)$
Quindi $C=(QP)^(-1)A(QP)$ pertanto ponendo $QP=R$ si ha la tesi.
"anto_zoolander":
None.
• proprietà simmetrica
Siano $A,BinM_(n)(K)$ e supponiamo che $AequivB$ allora $existsP inGL_n(K):P^(-1)AP=B$ allora poiché $P$ è invertibile possiamo moltiplicare per $P$ a sinistra e $P^(-1)$ a destra quindi $A=(P^(-1))^(-1)BP^(-1)$ quindi posto $P^(-1)=Q$ si ha la tesi.
• proprietà transitiva
Siano $A,B,C inM_(n)(K)$ e supponiamo che $AequivBwedgeBwedgeC$
$existsQinGL_(n)(K):Q^(-1)AQ=B$
$existsP inGL_(n)(K):P^(-1)BP=C$
Pertanto $C=P^(-1)BP=P^(-1)Q^(-1)AQP$
Per le proprietà di gruppo di $GL_n(K)$ si ha $P^(-1)Q^(-1)=(QP)^(-1)$
Quindi $C=(QP)^(-1)A(QP)$ pertanto ponendo $QP=R$ si ha la tesi.
Grazie mille e per la congruenza????
Provaci. Posta delle idee e lavoriamo su quelle, sennò non abbiamo concluso nulla.
"anto_zoolander":
Provaci. Posta delle idee e lavoriamo su quelle, sennò non abbiamo concluso nulla.
Come primo passo credo sia necessario scrivere la definizione di matrici congruenti.
Due matrici sono congruenti se esiste una matrice invertibile $P$ tale che $P^TAP=B$
Affinchè due matrici siano congruenti è necessario che abbiamo la stessa segnatura.
Ora dimostrare che la congruenza è una relazione d'equivalenza mi è un po' difficile.
Dovrei dimostrare che abbiamo la proprietà : riflessiva,simmetrica,transitiva.
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