Topologia quoziente

[ludovica.sarandrea]

Buonasera,
sto studiando gli spazi quoziente e il nostro professore ci ha dato una serie di "esempi" che sto facendo fatica a comprendere.
Uno tra tanti, lo spazio proiettivo reale. Andiamo per gradi.
La definizione che io ho e' la seguente,
Prendo $S^n={x\in RR^(n+1) : x_1^2+...+x_(n+1)^2=1}$
definisco la relazione di antipodalita' come:
presi $x,x'\in S^n$, $x~x'$ se e solo se $x'=+-x$
e lo spazio proiettivo reale e' $P_r^n= S^n/~$
e fino a qui tutto chiaro (si tratta solo di una definizione)
Poi si vuole dimostrare che $P_r$'$~S^1$
e $P_r^n=(RR^(n+1)-{0})/~$ con ~ tale che $x~x'$ se e solo se esiste un p tale che $x'=px$ con p diverso da zero
Le due definizioni di spazio proiettivo reale sono uguali? Se si, perche'?

[killing_buddha]

I due modelli per lo spazio proiettivo sono omeomorfi, sì.

Per provarlo devi usare la proprietà universale della topologia quoziente nei due spazi per trovare due mappe in ambo le direzioni, e mostrare che formano un omeomorfismo.

Quale modello ti serve volta per volta è una scelta che fai in base alla proprietà particolare dello spazio proiettivo che ti interessa mettere in evidenza: se vuoi che risulti come varietà quoziente, come complesso di celle, o altro.