Dubbio esercizio su omeomorfismi
Buongiorno a tutti. Ho risolto un esercizio che mi chiede di verificare che gli spazi topologici siano due a due non omeomorfi e, per non avere dubbi, chiedo a voi se è svolto bene
gli spazi topologici sono $ II $ , $ [ 0 ,+oo) $ , $ RR $ ed $ S^1$
$ II $ è l'insieme dei numeri irrazionali, ed è totalmente sconnesso, infatti $ II=A uu B $ dove $ A={x in II |x> 2}$ e $ B={ x in II | x <2}$. $ II $ non è compatto perché non è limitato.
$ [ 0,+ oo ) $ è connesso e qualsiasi punto $ x in [ 0,+ oo ) $ lo disconnette. Non è compatto perché non è limitato.
$ RR $ è connesso e qualsiasi punto lo disconnette. Non è compatto perché non è limitato.
$ S ^ 1 $ è connesso e nessun punto lo disconnette.
Quindi
$ II $ e $ [ 0, + oo ) $ non sono omeomorfi perché il primo è sconnesso e il secondo è connesso
$ II $ ed $ RR $ stessa cosa
$ II $ ed $ S ^ 1 $ stessa cosa
$ [ 0, + oo ) $ ed $ S ^ 1 $ non sono omeomorfi perché qualsiasi punto $ x in [ 0, + oo ) $ lo disconnette e nessun punto disconnette $ S ^ 1 $.
Rimane da dimostrare il caso di $ [ 0, + oo ) $ ed $ RR $ che, siccome hanno le stesse proprietà tra quelle viste prima ho pensato di usare questa proprietà
$ [ 0, + oo ) $ non è 2 -numerabile perché è un chiuso della retta di Sorgenfrey e quest'ultima non è 2 - numerabile , mentre $ RR $ è a base numerabile.
Mi scuso per eventuali errori o imprecisioni
gli spazi topologici sono $ II $ , $ [ 0 ,+oo) $ , $ RR $ ed $ S^1$
$ II $ è l'insieme dei numeri irrazionali, ed è totalmente sconnesso, infatti $ II=A uu B $ dove $ A={x in II |x> 2}$ e $ B={ x in II | x <2}$. $ II $ non è compatto perché non è limitato.
$ [ 0,+ oo ) $ è connesso e qualsiasi punto $ x in [ 0,+ oo ) $ lo disconnette. Non è compatto perché non è limitato.
$ RR $ è connesso e qualsiasi punto lo disconnette. Non è compatto perché non è limitato.
$ S ^ 1 $ è connesso e nessun punto lo disconnette.
Quindi
$ II $ e $ [ 0, + oo ) $ non sono omeomorfi perché il primo è sconnesso e il secondo è connesso
$ II $ ed $ RR $ stessa cosa
$ II $ ed $ S ^ 1 $ stessa cosa
$ [ 0, + oo ) $ ed $ S ^ 1 $ non sono omeomorfi perché qualsiasi punto $ x in [ 0, + oo ) $ lo disconnette e nessun punto disconnette $ S ^ 1 $.
Rimane da dimostrare il caso di $ [ 0, + oo ) $ ed $ RR $ che, siccome hanno le stesse proprietà tra quelle viste prima ho pensato di usare questa proprietà
$ [ 0, + oo ) $ non è 2 -numerabile perché è un chiuso della retta di Sorgenfrey e quest'ultima non è 2 - numerabile , mentre $ RR $ è a base numerabile.
Mi scuso per eventuali errori o imprecisioni
Risposte
"sira":
hiedo a voi se è svolto bene
Si può fare molto di meglio.
$ II $ è l'insieme dei numeri irrazionali, ed è totalmente sconnesso, infatti $ II=A uu B $ dove $ A={x in II |x> 2}$ e $ B={ x in II | x <2}$.$I$ è totalmente sconnesso, ma la ragione non è questa (così non hai dimostrato che è totalmente sconnesso, solo che è sconnesso); piuttosto, devi dimostrare che se $x,y$ stanno nella stessa componente connessa (per archi, è la stessa cosa) allora $x=y$; per fare questo, se $\gamma : [0,1]\to I$ è un cammino continuo, la sua immagine deve essere fatta da tutti irrazionali; perché questo è assurdo, se $\gamma$ non è costante?
$ II $ non è compatto perché non è limitato.
Se è per questo, non è nemmen chiuso (come sottospazio di $RR$).
$ [ 0,+ oo ) $ è connesso e qualsiasi punto $ x in [ 0,+ oo ) $ lo disconnette. Non è compatto perché non è limitato.
No, vedi sotto: \((0,\infty) = [0,\infty)\smallsetminus\{0\}\) è bello connesso.
Rimane da dimostrare il caso di $ [ 0, + oo ) $ ed $ RR $
Fai prima così: se esistesse un isomorfismo \(\phi : [0,\infty)\to \mathbb R\), questo si restringerebbe a un omeomorfismo \(\phi|_{(0,\infty)} : (0,\infty) \to \mathbb R\smallsetminus\{\phi(0)\}\); assurdo, perché il primo spazio è connesso, il secondo no.
Grazie per la risposta. So che si può fare di meglio, ma questa materia (topologia) non è il mio forte 
per rispondere alla tua prima domanda cerco di raggirarla (sperando di non dire cose sbagliate) dicendo che deve essere per forza una costante perché l'immagine continua di un connesso è connessa, ma siccome $ I $ è sconnesso l'unico modo è che sia una costante.
Seconda tua osservazione: hai perfettamente ragione, mi è sfuggito dirlo
ultima tua osservazione: non ci avrei mai pensato . Quindi volevo chiederti se è giusto dire che uno è 2 - numerabile e l'altro no
per rispondere alla tua prima domanda cerco di raggirarla (sperando di non dire cose sbagliate) dicendo che deve essere per forza una costante perché l'immagine continua di un connesso è connessa, ma siccome $ I $ è sconnesso l'unico modo è che sia una costante.
Seconda tua osservazione: hai perfettamente ragione, mi è sfuggito dirlo
ultima tua osservazione: non ci avrei mai pensato . Quindi volevo chiederti se è giusto dire che uno è 2 - numerabile e l'altro no
"sira":
Grazie per la risposta. So che si può fare di meglio, ma questa materia (topologia) non è il mio forte
per rispondere alla tua prima domanda cerco di raggirarla (sperando di non dire cose sbagliate) dicendo che deve essere per forza una costante perché l'immagine continua di un connesso è connessa, ma siccome $ I $ è sconnesso l'unico modo è che sia una costante.
No, è sbagliato. (Perché è sbagliato?)
ultima tua osservazione: non ci avrei mai pensato . Quindi volevo chiederti se è giusto dire che uno è 2 - numerabile e l'altro no
No, sono entrambi sottospazi secondo-numerabili (lo è $RR$, e ogni sottospazio di un secondo-numerabile è secondo-numerabile). Fai davvero prima come ti ho detto io, e se è vero che
non ci avrei mai pensato
in futuro trova il modo di fartelo venire in mente
è un metodo piuttosto standard di negare l'esistenza di omeomorfismi tra due spazi.
Grazie ancora. Per la tua prima osservazione : suggerimento ? 
Per la seconda osservazione :allora mi riguardo gli isomorfismi
Per la seconda osservazione :allora mi riguardo gli isomorfismi
L'immagine di $\gamma$ è connessa ed è fatta solo di irrazionali; se $x\ne y$ è un intervallo non banale di $RR$ fatto solo di irrazionali. Quanti ce ne sono, di questi intervalli?
nessuno?
Eh
Ok, ok, grazie per l'aiuto e la pazienza 
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