Definizione di curva
Buonasera, ho problemi con la definizione di curva fornita dal mio professore, non riesco a trovare da nessuna parte una simile a questa.
Innanzitutto e' stata presentata come una definizione piu' flessibile di curva il che mi porta a pensare che ce ne sia una piu' 'ufficiale', quale sarebbe?
Ora veniamo al dunque:
"Sia $C\in EE_n$ tale che esista un ricoprimento di aperti ${U_i}_(i\inI)$, chiamato atlante con la proprieta' che esistano delle funzioni, chiamate carte, $x_i: I_i -> U_i$. Ora considero un diagramma:
$x_i: I_i -> U_i\supset (U_i\cap U_j)$
$x_j: I_j -> U_j\supset (U_i\cap U_j)$
A questo punto la funzione $f_(ij): I_(ij) -> I_(ji)$ e' un cambiamento ammissibile di paramentro e una curva e' definita come $(C, [A]_(*))$ dove A e' un atlante e * e' la relazione d'equivalenza che mi dice A e B sono equivalenti se e solo se la loro unione e' un atlante.
Io credo che ci sia molta confusione in questa definizione. Allora per prima cosa non capisco la relazione tra la prima parte (quella in neretto) e l'effettiva definizione di curva. Poi, per quanto riguarda la definizione di curva non capisco proprio cosa voglia dire quello che c'e' scritto a livello pratico.
Ultima cosa, non capisco la parte in neretto a cosa serva effettivamente e non mi sono molto chiare neanche le notazioni utilizzate, ad esempio $I_(ij)$ cosa rappresenta??
Innanzitutto e' stata presentata come una definizione piu' flessibile di curva il che mi porta a pensare che ce ne sia una piu' 'ufficiale', quale sarebbe?
Ora veniamo al dunque:
"Sia $C\in EE_n$ tale che esista un ricoprimento di aperti ${U_i}_(i\inI)$, chiamato atlante con la proprieta' che esistano delle funzioni, chiamate carte, $x_i: I_i -> U_i$. Ora considero un diagramma:
$x_i: I_i -> U_i\supset (U_i\cap U_j)$
$x_j: I_j -> U_j\supset (U_i\cap U_j)$
A questo punto la funzione $f_(ij): I_(ij) -> I_(ji)$ e' un cambiamento ammissibile di paramentro e una curva e' definita come $(C, [A]_(*))$ dove A e' un atlante e * e' la relazione d'equivalenza che mi dice A e B sono equivalenti se e solo se la loro unione e' un atlante.
Io credo che ci sia molta confusione in questa definizione. Allora per prima cosa non capisco la relazione tra la prima parte (quella in neretto) e l'effettiva definizione di curva. Poi, per quanto riguarda la definizione di curva non capisco proprio cosa voglia dire quello che c'e' scritto a livello pratico.
Ultima cosa, non capisco la parte in neretto a cosa serva effettivamente e non mi sono molto chiare neanche le notazioni utilizzate, ad esempio $I_(ij)$ cosa rappresenta??
Risposte
Da questa definizione non si capisce niente, io ho sempre visto definire una curva in uno spazio topologico $X$ come una funzione continua da $[0,1]$ a $X$.
Ma no, il prof non ha torto, quello che lui definisce si chiama più comunemente una "varietà topologica di dimensione uno". Si tratta poi di dimostrare che questa definizione e quella data da otta sono equivalenti (e qui non sono sicuro sia vero, ne sono sicuro se si richiede la differenziabilità).
"dissonance":
Ma no, il prof non ha torto, quello che lui definisce si chiama più comunemente una "varietà topologica di dimensione uno". Si tratta poi di dimostrare che questa definizione e quella data da otta sono equivalenti (e qui non sono sicuro sia vero, ne sono sicuro se si richiede la differenziabilità).
Lui l'equivalenza non l'ha dimostrata ma ce l'ha data per buona, il problema e' che non mi e' ben chiara la definizione di varieta' topologica di dimensione uno allora..
Effettivamente mi pare una definizione più difficile da capire rispetto a quella "dinamica" che ci ha ricordato otta96. Però se capisci quella definizione hai essenzialmente capito la definizione di varietà topologica o differenziabile.
Provo a dare una spiegazione alla buona. ATTENZIONE! questa è una cosa informale, non la prendere troppo alla lettera.
Disegna una circonferenza su un pezzo di carta e chiamala \(C\). Non esiste una sola funzione continua e invertibile \(x\colon [a, b]\to C\), perché necessariamente deve aversi un punto della circonferenza corrispondente a \(x(a)=x(b)\), e in quel punto la funzione inversa non è ben definita, perché non si capisce se dovrebbe valere \(a\) o \(b\).
Tuttavia, per una semicirconferenza questa proprietà è certamente verificata. Se l'origine degli assi è il centro della circonferenza, la semicirconferenza superiore di raggio \(1\) è in corrispondenza biunivoca con \([-1, 1]\) mediante la mappa \((x, y)\mapsto x\), che è chiaramente continua. Si può quindi ricoprire la circonferenza con semicirconferenze, ciascuna munita di una mappa bigettiva su un intervallo.
E questa è l'idea. Chiaramente non si possono assegnare mappe "a capocchia" (come direbbe Fioravante Patrone in modo un po' rozzo ma molto efficace). Bisogna studiare cosa succede a queste mappe nelle zone in cui due di esse coincidono. Ad esempio, se prendiamo la semicirconferenza superiore munita della mappa di cui sopra, e poi la semicirconferenza destra munita della mappa \((x, y)\mapsto y\), nel primo quadrante entrambe le mappe sono definite, e bisogna studiare la composizione di una con l'inversa dell'altra.
P.S.: Cosa studi?
Provo a dare una spiegazione alla buona. ATTENZIONE! questa è una cosa informale, non la prendere troppo alla lettera.
Disegna una circonferenza su un pezzo di carta e chiamala \(C\). Non esiste una sola funzione continua e invertibile \(x\colon [a, b]\to C\), perché necessariamente deve aversi un punto della circonferenza corrispondente a \(x(a)=x(b)\), e in quel punto la funzione inversa non è ben definita, perché non si capisce se dovrebbe valere \(a\) o \(b\).
Tuttavia, per una semicirconferenza questa proprietà è certamente verificata. Se l'origine degli assi è il centro della circonferenza, la semicirconferenza superiore di raggio \(1\) è in corrispondenza biunivoca con \([-1, 1]\) mediante la mappa \((x, y)\mapsto x\), che è chiaramente continua. Si può quindi ricoprire la circonferenza con semicirconferenze, ciascuna munita di una mappa bigettiva su un intervallo.
E questa è l'idea. Chiaramente non si possono assegnare mappe "a capocchia" (come direbbe Fioravante Patrone in modo un po' rozzo ma molto efficace). Bisogna studiare cosa succede a queste mappe nelle zone in cui due di esse coincidono. Ad esempio, se prendiamo la semicirconferenza superiore munita della mappa di cui sopra, e poi la semicirconferenza destra munita della mappa \((x, y)\mapsto y\), nel primo quadrante entrambe le mappe sono definite, e bisogna studiare la composizione di una con l'inversa dell'altra.
P.S.: Cosa studi?
Studio matematica
Ok, ora e' piu' chiaro cosa vuol dire la definizione. Pero' ho ancora due dubbi:
1- cosa c'entra la parte in neretto con l'effettiva definizione di curva che da successivamente
2- nella notazione utilizzata dal mio professore, l'intervallo $I_(ij)$ cosa vorrebbe rappresentare?
Ok, ora e' piu' chiaro cosa vuol dire la definizione. Pero' ho ancora due dubbi:
1- cosa c'entra la parte in neretto con l'effettiva definizione di curva che da successivamente
2- nella notazione utilizzata dal mio professore, l'intervallo $I_(ij)$ cosa vorrebbe rappresentare?
Credo che faresti meglio a studiare questa definizione sul libro, invece che sul forum. Ci vogliono dei disegni per spiegare per bene questa cosa. Che libro ha consigliato il professore?
(Comunque, sicuramente \(I_{ij}=I_i\cap I_j\).)
(Comunque, sicuramente \(I_{ij}=I_i\cap I_j\).)
"dissonance":
Credo che faresti meglio a studiare questa definizione sul libro, invece che sul forum. Ci vogliono dei disegni per spiegare per bene questa cosa. Che libro ha consigliato il professore?
(Comunque, sicuramente \(I_{ij}=I_i\cap I_j\).)
Non ho un libro da cui studiare per questo chiedo qui, o meglio, ho un libro consigliato che e' il Lipshultz pero' non viene data questa definizione
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