Ricavare equazione cartesiana di piano tangente a superficie?

[MementoMori2]

Salve devo risolvere questo esercizio:



Io so che la base del piano tangente in un punto P è formata dai vettori $\varphi_u $e $\varphi_v $, ovvero la derivata rispetto di $\varphi$ rispetto $u$ e $v$ rispettivamente ma come posso ricavare l'equazione cartesiana?

[anonymous_0b37e9]

"MementoMori":
... come posso ricavare l'equazione cartesiana ...

In un generico punto della superficie:

$(u,v) in RR^2$

$\varphi(u,v)=(u^2-v,ucosv,u+v)$

$[vec(t_u)=2uveci+cosv vecj+veck] ^^ [vec(t_v)=-veci-usinv vecj+veck] rarr$

$rarr vecn=[(veci,vecj,veck),(2u,cosv,1),(-1,-usinv,1)]=(cosv+usinv)veci-(2u+1)vecj+(cosv-2u^2sinv)veck$

Equazione del piano tangente

$(cosv+usinv)(x-u^2+v)-(2u+1)(y-ucosv)+(cosv-2u^2sinv)(z-u-v)=0$

$(cosv+usinv)x-(2u+1)y+(cosv-2u^2sinv)z+u(u^2sinv+2uvsinv+ucosv+vsinv)=0$

Non resta che sostituire $[u=-1] ^^ [v=0]:$

$x+y+z+1=0$

[MementoMori2]

Grazie

[MementoMori2]

Ancora una cosa. Sai dove posso reperire la giustificazione teorica a questo procedimento? Grazie

[anonymous_0b37e9]

Si tratta di algebra lineare. L'equazione del piano passante per $P(x_0,y_0.z_0)$ perpendicolare alla direzione individuata dal vettore $vecn(n_x,n_y,n_z)$ è:

$n_x(x-x_0)+n_y(y-y_0)+n_z(z-z_0)=0$

In questo caso:

$P(u^2-v,ucosv,u+v)$

$vecn=(cosv+usinv,-2u-1,cosv-2u^2sinv)$

Inoltre, $vecn$ è perpendicolare al piano tangente perchè ottenuto mediante il prodotto vettoriale tra le due direzioni tangenti individuate dai vettori $vec(t_u)$ e $vec(t_v)$.