Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao ragazzi/e....
sono tornato....scusatemi sono sparito per un pò...
venerdì ho fatto l'esame....speriamo bene...ora vi propongo gli esercizi del compito dove ho dei dubbi, per vedere se son giusti
TESTO
dimostrare che le rette r ed r' , aventi rispettivamente l'equazioni
r=$\{(x =t+1),(y = t+3),(z =2t-1):}$ r'= $\{(x = s+4),(y = 2-s),(z = s+3):}$
si intersecano e trovare il loro pt di intersezione.
Soluzione
inizio col dire che i vettori direzione di r ed r' sono
Vr=(1,1,2)
Vr'=(1,-1,2)
si vede ...
ciao a tutti....
vi posto l'ultimo esercizio sulla matrice inversa
trovare per quale valore di h appartenente R la seguente matrice
$((h,1,0),(1,h,h),(0,1,2))$
è invertibile e calcolare quando possibile l'inversa
Soluzione
$detA=((h,1,0),(1,h,h),(0,1,2))=h^2-2$ con $h=+-sqrt(2)$
calcolo i cofattori (e inutile scriverli tutti) e avro la matrice
$A^t((h,-2,h),(-2,2h,-h^2),(1,-h,h^2-1))$
la matrice è invertibile per $h!=+-sqrt(2)$
allora la matrice inversa è $A^1=1/detA*A^T= 1/(h^2-2)*((h,-2,h),(-2,2h,-h^2),(1,-h,h^2-1))$
Io ho concluso così.... ma a casa mi ...
Dati i vettori [2,0,0], [0,1,0], [1,0,3], [5,4,1], come faccio a individuare un sistema di equazioni cartesiane che definisce lo span di questo insieme di vettori ? Ho provato ad applicare il "metodo delle matrici complete e incomplete", ma questo sistema non riesce...
Salve a tutti, ho incontrato nella lista degli esercizi questo esercizio, tuttavia, non so proprio da dove iniziare. Chiedo gentilmente il vostro aiuto per capire come risolvere un problema del genere.
Esercizio:
Sono dati il punto A(−1,2,2) e i due piani π: 2x−y−z=0 , p: x=y.
Decidere:
(a) se la sfera S di centro A tangente a p interseca il piano π in una circonferenza; se sì determinarne il centro ed il raggio.
(b) se la sfera σ di centro A tangente a π interseca il piano p in una ...
Buonasera a tutti. Lungi dal volere innescare un'altra lite mediatica, per le quali non ho tempo né voglia, volevo domandare alcune cose e verificare se talune intuizioni che ho avuto sono corrette. Sto preparando l'orale di matematica II concentrandomi soprattutto su algebra lineare, che è un quella che ho sbagliato. Studiando la teoria sul metodo di Cramer (e non solo), mi sono accorto di come le equazioni di primo grado somiglino molto a combinazioni lineari. Alla luce del fatto che uno ...
Ciao!
sono alle prese con questo esercizio che mi sta dando dei grattacapi: intanto definisco cosa si intende sul Manetti 'Operatore di chiusura'
sia $X$ un insieme fissato. Un operatore di chiusura è una applicazione $C:P(X)->P(X)$ che rispetta le seguenti proprietà
- $A subseteq C(A), forall AsubsetX$
- $C(A)=C(C(A)), forall AsubsetX$
- $C(emptyset)=emptyset$
- $C(AcupB)=C(A)cupC(B)$
Si chiede di dimostrare che per ogni struttura topologica l'applicazione $C:A|-> overline(A)$ sia un operatore di chiusura. ...
Buongiorno a tutti,
avrei una domanda riguardo il legame fra la norma in uno spazio vettoriale e la base scelta.
Quando vengono definite tutte le norme "tradizionali" tipo la norma euclidea, la norma 1 e la norma infinito, esse vengono definite come funzioni delle "componenti" di $x$ ad esempio : $$||x||_1=\sum _{i=1}^{n}|x_i|$$
Però le componenti di un vettore dipendo dalla base scelta, quindi in generale esistono infinite norme euclidee , infinite ...
Ciao!
Nell'intento di imparare a padroneggiare le definizioni ho fatto questo esercizio:
Sia $(X,tau)$ uno spazio topologico(con $Xneemptyset$) e $emptyset subsetYsubseteqX$ un sottoinsieme.
Mostrare che: $overline(Y)=X <=> forallA in tau|Ane emptyset( AcapYne emptyset)$
[size=85]Con $overline(*)$ denoto la chiusura, con $*^c$ il complementare e con $tau$ la topologia.[/size]
dim
le faccio entrambe per assurdo, mi è sembrato abbastanza evidente come contraddire le ipotesi.
$Leftarrow$
se per assurdo ...
Buongiorno a tutti,
vorrei spendere il mio primo post sul forum per sottoporvi un esercizio che mi ha creato alcune difficoltà e che non sono sicuro di aver svolto correttamente:
Si studi la risolubilità del sistema lineare parametrico
$\{(3x + 2by + z = 1),(bx + y + 2z = 0),(-2x + 2y + 4z = 4):}$.
Ho proceduto in questo modo:
Sia $A = ((3,2b,1),(b,1,2),(-2,2,4))$ la matrice incompleta del sistema e
$A|b = ((3,2b,1,1),(b,1,2,0),(-2,2,4,4))$ la matrice completa,
ho considerato il caso in cui $"*"det(A) = -8b^2 - 6b + 2 != 0$, da cui si ha $rk(A) = min(3,3) = rk(A|b) = min(3,4) = 3$ e percui il sistema ammette una ...
Salve, volevo sapere per quale ragione il nucleo di un monomorfismo (omomorfismo iniettivo) è necessariamente costituito dal solo vettore nullo.
Buongiorno a tutti,
Parto a bomba sperando di non dilungarmi troppo.
Voglio determinare le relazioni che mi permettono di calcolare i coefficienti alpha, beta e gamma di una circonferenza su un piano avendo come dati di input le coordinate $x$ ed $y$ di 3 punti sul piano.
Queste equazioni verranno inserite in un foglio di calcolo che acquisisce le coordinate dei punti in base a dei parametri che cambiano sempre. Quindi il mio bisogno nasce dal fatto che voglio ...
Ciao,
sto cercando di migliorare in topologia algebrica: ho un problema con la formalizzazione quando calcolo il gruppo fondamentale di uno spazio topologico.
Il testo dell'esercizio è il seguente
Calcolare il gruppo fondamentale del complementare in $\mathbb{R^3}$ di $\{ (x, y, z) | y = 0, x^2 + z^2 = 1 \} \cup \{(x, y, z) | y = z = 0, x >= 1 \}$
Questo è il mio tentativo di soluzione: sia $X$ lo spazio dell'esercizio, consideriamo gli aperti $A = X - \{ (x, y, z) | y = 0, x^2 + z^2 <= 1 \}$ e $B$ l'aperto ottenuto facendo ...
Buona sera,
ho un piccolo problema con questo esercizio:
Sia T:R4-->R4 l'applicazione lineare definita dalla legge:
T=(2X1 -2X2 +X4 ; -2X1 -2X2 -2X3 -X4; -2X1 -X3 -X4; -2X2 -X3)
Determinare
1) matrice associata alla base can. di R4 e risol a scala
2)una base e dimensione Ker
3)Una base, la dimensione ed equazioni cartesiane di Im(T)
4)i valori di h€R t.c il vett v=(2h -h -h 0) appartenga a Im(T)
Per quanto riguarda i primi due punti tutto ok
Base e dimensione di Im(T) anche; i problemi ...
Buonasera, vi chiedo chiarimenti circa un dubbio che mi è sorto nel risolvere un esercizio.
Nel calcolare
$det(A) = [[1,-1,1,2],[2,1,1,0],[-1,1,0,-2],[2,1,2,0]]$
ho eseguito le seguenti operazioni al fine di diagonalizzare: $Row_2(A) = Row_2(A) + 2*Row_3(A), Row_3(A) = Row_3(A) + Row_1(A)$ ottenendo la seguente matrice:
$[[1,-1,1,2],[0,3,1,-4],[0,0,1,0],[2,1,2,0]]$.
A tal punto, avendo anche incontrato difficoltà nel continuare, ho ipotizzato che il determinate fosse nullo e ne ho avuto la conferma sbirciando il risultato dell'esercizio. Mi chiedo quindi come si possa, in un caso del genere, prevedere ...
Salve, volevo sapere una cosa, anche se probabilmente la risposta è abbastanza banale... la formula di Grassmann per la somma di sottospazi vettoriali segue esattamente la stessa logica del principio d'inclusione esclusione? In soldoni, se dovessi sommare più di 2 sottospazi vettoriali potrei eseguire un procedimento analogo al calcolo della cardinalità della somma di vari insiemi?
Buonasera.
Devo dimostrare la seguente proposizione:
"Se un sistema è compatibile, le sue soluzioni sono tutte e sole le n-uple ottenute sommando a una qualsiasi di esse una soluzione del sistema omogeneo associato."
Il libro di testo denota con \(\displaystyle \Sigma \subseteq K^n \) l'insieme delle soluzioni di un generico sistema lineare, mentre con \(\displaystyle \Sigma_0 \subseteq K^n \) l'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo associato al suddetto generico sistema. Procede poi ...
Salve, avrei un pesantissimo dubbio circa un esercizio svolto (sul web) che riguarda il concetto di sistema di generatori. In fondo al post ho linkato il sito, tuttavia devo spiegare il punto su cui non riesco a convergere.
Dunque, non capisco perchè i 3 vettori indicati nell'esercizio (in fondo alla pagina che ho postato) fanno ad essere parte di un sistema di generatore per il sottospazio ottenuto, visto che non è possibile ottenere le basi (nella fattispecie (-1/2,1,0) e (2,0,1), che ...
Salve ragazzi, avrei bisogno di una mano con l'esercizio in questione capitatomi durante una prova d'esame.
Assegnato il seguente sottospazio:
U={(x,y,z,t) $ in $ R^4/x-y=0 , z-t=0}
a) determinare la dimensione e una base di U
b) determinare, se esistono, tre sottospazi Wi, i=1,2,3: dim(U $ nn $ Wi)=i
c) determinare, se esiste, una base per U $ nn $Wi per i=1,2,3.
a. per ricavare la dimensione e la base:
ricavo la matrice $ ( ( 1 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 , -1 ) ) $ con due pivot, ...
Salve, alla fine di un esercizio in cui si chiede di determinare tutte le applicazioni $\xi$ tali che $\xi$ composto (non trovo il simbolo) $\pi = \phi$ , ottengo che $\xi = \phi + n$ al variare di $n$ in ${ f in Hom_QQ (v,w) | ker f supe U}$ dove $U$ è il sottospazio di dimensione 3 con base $<(1,0,0,-1,0),(0,1,1,0,0),(0,-2,0,1,1)>$ . Ora devo determinare tutte le matrici di questo sottospazio (?) ma non capisco bene come fare. Credo di dover trovare combinazioni lineari di ...
Buona sera. Chiedo un parere su come è svolto questo esercizio
Dimostrare che
a) Se $f$ è localmente costante allora $f$ è continua
b) Se $f$ è localmente costante e $X$ è connesso allora $f$ è costante
a) Sia $f:X rarr Y$ una funzione localmente costante. Allora $ AA x in X $ esiste un intorno $U$ di $x$ tale che $ f_(|U)(x)=k $ . Allora la controimmagine di un intorno ...
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