Operatore di chiusura
Ciao!
sono alle prese con questo esercizio che mi sta dando dei grattacapi: intanto definisco cosa si intende sul Manetti 'Operatore di chiusura'
Si chiede di dimostrare che per ogni struttura topologica l'applicazione $C:A|-> overline(A)$ sia un operatore di chiusura. Viceversa si chiede di dimostrare che per ogni operatore di chiusura $C$ su $X$ esiste un'unica struttura topologica rispetto alla quale $C(A)=overline(A)$.
La prima parte è banale, basta ricordare qualche proprietà della chiusura. L'altra parte mi sta dando un po' di fastidio: non so se l'idea di fondo sia giusta.
Pensavo di estrapolare una topologia definendo i chiusi. Ossia dato l'operatore di chiusura $C:P(X)->P(X)$ definire l'insieme dei chiusi come $tau_c={C(A) in P(X)| A in P(X)}$
Ho dimostrato che valgono due proprietà dei chiusi ossia che $emptyset, X$ stanno in $tau_c$ e la chiusura per unioni di famiglie finite di elementi. Mi resterebbe da dimostrare che intersezioni arbitrarie di quegli elementi stiano ancora lì dentro, ma ci sto perdendo un po' di tempo quindi vorrei dapprima sapere se quantomeno si tratti della strada giusta.
sono alle prese con questo esercizio che mi sta dando dei grattacapi: intanto definisco cosa si intende sul Manetti 'Operatore di chiusura'
Si chiede di dimostrare che per ogni struttura topologica l'applicazione $C:A|-> overline(A)$ sia un operatore di chiusura. Viceversa si chiede di dimostrare che per ogni operatore di chiusura $C$ su $X$ esiste un'unica struttura topologica rispetto alla quale $C(A)=overline(A)$.
La prima parte è banale, basta ricordare qualche proprietà della chiusura. L'altra parte mi sta dando un po' di fastidio: non so se l'idea di fondo sia giusta.
Pensavo di estrapolare una topologia definendo i chiusi. Ossia dato l'operatore di chiusura $C:P(X)->P(X)$ definire l'insieme dei chiusi come $tau_c={C(A) in P(X)| A in P(X)}$
Ho dimostrato che valgono due proprietà dei chiusi ossia che $emptyset, X$ stanno in $tau_c$ e la chiusura per unioni di famiglie finite di elementi. Mi resterebbe da dimostrare che intersezioni arbitrarie di quegli elementi stiano ancora lì dentro, ma ci sto perdendo un po' di tempo quindi vorrei dapprima sapere se quantomeno si tratti della strada giusta.
Risposte
L'idea è giusta, ma penso che sarebbe venuto un po' più facile definendo i chiusi come i punti fissi dell'operatore di chiusura. Ad ogni modo deve funzionare anche come stai facendo tu, dopo averci provato, se proprio non ti riesce, puoi guardare sul Dugundji 
Ah, tra l'altro questo risultato porta in maniera abbastanza naturale a collegarsi con altre cose molto carine, ad esempio innanzitutto si osserva che questo risultato ci dà un modo diverso ma (ed è questa la cosa importante ) equivalente a quello con gli aperti. Inoltre questo è solo uno dei possibili altri modi di trattare gli spazi topologici. Poi ci sono delle generalizzazioni come questa, che porta agli spazi pretopologici, una generalizzazione degli spazi topologici che in realtà è abbastanza inutile. Una generalizzazione molto più interessante è questa, ma qui si fa a finire fuori dalla topologia, sto divagando...
Ti piace parecchio devo dire 
[ot]Sto provando a ragionarci in silenzio con faccia da Poker face ma con i miei amici che parlano non riesco a ragionare
[/ot]
[ot]Sto provando a ragionarci in silenzio con faccia da Poker face ma con i miei amici che parlano non riesco a ragionare
[/ot]
Ci ho pensato un po' prima di aprire qualche libro o di usare hint e sono arrivato a questo:
mi mancava di dimostrare che $tau_c$ fosse chiusa per intersezioni arbitrarie
sia ${A_i}_(i in I) subset tau_c$ allora da un lato poiché $bigcap_(i in I)A_i in P(X)$ allora $C(bigcap_(i in I)A_i) in tau_c$
dall'altro avremo che $A_i=C(B_i)$ per qualche ${B_i}_(i in I) subset P(X)$ pertanto dalla proprietà di idempotenza
per la proprietà secondo cui $AsubsetC(A)$ avremo che
viceversa considerando che $bigcap_(i in I)A_i subset A_j subset, forall j in I$ avremo che
pertanto $C(bigcap_(i in I)A_i)=bigcap_(i in I)C(A_i)$ da cui $bigcap_(i in I)C(A_i) in tau_c$
quindi considerando $tau={ A^c | A in tau_c}$ abbiamo che $(X,tau)$ è uno spazio topologico.
Nonostante io non veda errori, c'è qualcosa che non mi convince. Dovendo poi risultare $C(A)=overline(A)$ significherebbe che
e questo, in generale, non è vero. Basta prendere $(0,1)$ e $(1,2)$ in $RR$ con topologia Euclidea: l'intersezione delle chiusure è ${1}$ mentre la chiusura dell'intersezione è $emptyset$
Ma non trovando errori suppongo che sia dovuto al fatto che per ipotesi tutti quegli insiemi fossero quelli che sarebbero divenuti i chiusi dello spazio topologico.
mi mancava di dimostrare che $tau_c$ fosse chiusa per intersezioni arbitrarie
sia ${A_i}_(i in I) subset tau_c$ allora da un lato poiché $bigcap_(i in I)A_i in P(X)$ allora $C(bigcap_(i in I)A_i) in tau_c$
dall'altro avremo che $A_i=C(B_i)$ per qualche ${B_i}_(i in I) subset P(X)$ pertanto dalla proprietà di idempotenza
$C(A_i)=C(C(B_i))=C(B_i)=A_i => bigcap_(i in I)C(A_i)=bigcap_(i in I)A_i$
per la proprietà secondo cui $AsubsetC(A)$ avremo che
$bigcap_(i in I)A_i subset C(bigcap_(i in I)A_i) => bigcap_(i in I)C(A_i) subsetC(bigcap_(i in I)A_i)$
viceversa considerando che $bigcap_(i in I)A_i subset A_j subset, forall j in I$ avremo che
$C(bigcap_(i in I)A_i)subsetC(A_j), forall j in I => C(bigcap_(i in I)A_i)subset bigcap_( i in I) C(A_i)$
NB: questo posso farlo poichè $AsubsetB => C(A)subsetC(B)$ visto che
$C(A)subsetC(A)cupC(B)=C(AcupB)=C(B) => C(A)subsetC(B)$
pertanto $C(bigcap_(i in I)A_i)=bigcap_(i in I)C(A_i)$ da cui $bigcap_(i in I)C(A_i) in tau_c$
quindi considerando $tau={ A^c | A in tau_c}$ abbiamo che $(X,tau)$ è uno spazio topologico.
Nonostante io non veda errori, c'è qualcosa che non mi convince. Dovendo poi risultare $C(A)=overline(A)$ significherebbe che
$bigcap_(i in I)overline(A_i)=bigcap_(i in I)C(A_i)=C(bigcap_(i in I)A_i)=overline(bigcap_(i in I)A_i)$
e questo, in generale, non è vero. Basta prendere $(0,1)$ e $(1,2)$ in $RR$ con topologia Euclidea: l'intersezione delle chiusure è ${1}$ mentre la chiusura dell'intersezione è $emptyset$
Ma non trovando errori suppongo che sia dovuto al fatto che per ipotesi tutti quegli insiemi fossero quelli che sarebbero divenuti i chiusi dello spazio topologico.
"anto_zoolander":
Dovendo poi risultare $C(A)=overline(A)$
Ma questo lo devi dimostrare.
significherebbe che
$bigcap_(i in I)overline(A_i)=bigcap_(i in I)C(A_i)=C(bigcap_(i in I)A_i)=overline(bigcap_(i in I)A_i)$
e questo, in generale, non è vero.
Questa cosa in effetti è strana, non capisco dove sta l'inghippo, ci devo pensare...
"otta96":
Ma questo lo devi dimostrare.
infatti ho detto poi
"otta96":
Questa cosa in effetti è strana, non capisco dove sta l'inghippo, ci devo pensare...
penso non ci sia ed il motivo è dato dal fatto che per ipotesi ${A_i}_( i in I)$ quindi è chiaro che $C(A_i)=A_i$ poichè sarebbero i chiusi dello spazio topologico, infatti
se prendessimo $(X,tau)$ spazio topologico e ${A_i}$ famiglia di chiusi
$overline(bigcap_(i in I)A_i)=bigcap_(i in I)overline(A_i)$
poichè $bigcap_(i in I)A_i$ è intersezione arbitraria di chiusi e quindi chiusa e gli $A_i$ sono chiusi.
quindi dovrebbe tornare tutto.
Ti è stato suggerito di definire i chiusi della topologia indotta da un operatore di chiusura \(\complement : 2^X \to 2^X\) come i sottoinsiemi che sono punti fissi della funzione \(\complement\); non mi sembra sia quello che hai fatto dopo[1], e però questa scelta rende essenzialmente immediato concludere che tali punti fissi sono chiusi per intersezioni arbitrarie: se \(\{A_i\mid i\in I\}\) è una famiglia \(I\)-parametrica di tali punti fissi, devi dimostrare che tale è anche \(\bigcap_{i\in I} A_i\); del resto questo è evidente (doppia inclusione):
1. \(\bigcap_{i\in I} A_i \subseteq \complement\Big(\bigcap_{i\in I} A_i\Big)\) segue dal fatto che un operatore di chiusura è inflazionario;
2. \(\complement\Big(\bigcap_{i\in I} A_i\Big) \subseteq \bigcap_{i\in I} \complement A_i = \bigcap_{i\in I} A_i\).
[1] Hai, invece, definito dei wanna-be chiusi come \(\{\complement A\mid A \in 2^X\}\); questo non ha molto senso, proprio perché l'intersezione arbitraria di elementi nell'immagine di \(\complement\) può non essere uguale all'immagine dell'intersezione (per una funzione \(u : X\to Y\), l'uguaglianza \(u_*(\bigcap S_\alpha) = \bigcap u_*(S_\alpha)\) è vera quando $u$ è iniettiva, se \(u_* : 2^X \to 2^Y\) indica la funzione che manda $S\subseteq X$ in $u(S)$; ora, è chiaro che sottoinsiemi diversi possono avere la stessa chiusura).
1. \(\bigcap_{i\in I} A_i \subseteq \complement\Big(\bigcap_{i\in I} A_i\Big)\) segue dal fatto che un operatore di chiusura è inflazionario;
2. \(\complement\Big(\bigcap_{i\in I} A_i\Big) \subseteq \bigcap_{i\in I} \complement A_i = \bigcap_{i\in I} A_i\).
[1] Hai, invece, definito dei wanna-be chiusi come \(\{\complement A\mid A \in 2^X\}\); questo non ha molto senso, proprio perché l'intersezione arbitraria di elementi nell'immagine di \(\complement\) può non essere uguale all'immagine dell'intersezione (per una funzione \(u : X\to Y\), l'uguaglianza \(u_*(\bigcap S_\alpha) = \bigcap u_*(S_\alpha)\) è vera quando $u$ è iniettiva, se \(u_* : 2^X \to 2^Y\) indica la funzione che manda $S\subseteq X$ in $u(S)$; ora, è chiaro che sottoinsiemi diversi possono avere la stessa chiusura).
Ho voluto farlo senza suggerimenti e penso non ci siano errori.
Di fatto in un passaggio ho mostrato che gli insiemi che stanno lì dentro sono tutti punti fissi della mappa.
Il dubbio sulla liceità della cosa mi è sorto perché non avevo tenuto conto del fatto che gli elementi lì stessi prendendo tra quelli che sarebbero stati chiusi, quindi quella uguaglianza è lecita.
Di fatto otta mi ha suggerito principalmente di continuare con il mio metodo e vedere prima se arrivassi da qualche parte e non di cogliere per forza il suggerimento.
Non a caso ottieni la mia stessa uguaglianza
Di fatto in un passaggio ho mostrato che gli insiemi che stanno lì dentro sono tutti punti fissi della mappa.
Il dubbio sulla liceità della cosa mi è sorto perché non avevo tenuto conto del fatto che gli elementi lì stessi prendendo tra quelli che sarebbero stati chiusi, quindi quella uguaglianza è lecita.
Di fatto otta mi ha suggerito principalmente di continuare con il mio metodo e vedere prima se arrivassi da qualche parte e non di cogliere per forza il suggerimento.
Non a caso ottieni la mia stessa uguaglianza
Il problema è che quel che vuoi definire non ha senso: i chiusi di uno spazio non sono gli elementi nell'immagine dell'operatore di chiusura che ne definisce la topologia; sono piuttosto i punti fissi di tale endofunzione (proprio perché stai formalizzando il fatto che un sottoinsieme è chiuso sse coincide con la sua chiusura).
Incentivo il desiderio di voler ragionare senza accettare suggerimenti, ma a un certo punto devi accettarne qualcuno se fai degli errori (specie se li fai senza accorgertene): il tuo messaggio precedente
è una continua petizione di principio, e una costante confusione tra ciò che devi dimostrare e ciò che ti è consentito assumere.
[1] Non è affatto chiaro, ed è falso senza assumere che sia vero
[2] "dello"? Di quale? Come l'hai definito? Non c'è scritto in nessun posto come siano definiti i suoi chiusi; o meglio, li hai definiti come gli elementi dell'immagine dell'operatore di chiusura che ti hanno dato, io ti ho mostrato che questa posizione non dà luogo a una topologia, proprio perché l'assioma che hai cercato di dimostrare è falso.
[3] Questo è vero, ma non c'entra nulla con la tesi. Tu non hai già dei chiusi; devi definire chi sono.
In sostanza, tu hai un insieme $X$ e un operatore di chiusura \(\complement\) su di lui; devi definire una topologia. E' una buona idea definirla mediante i chiusi; sei libero di arrivare da solo al fatto che devi definire tali chiusi come i punti fissi di \(\complement\), ma devi appunto definirli così, perché tutto quello che hai sono $X$ e \(\complement\).
Incentivo il desiderio di voler ragionare senza accettare suggerimenti, ma a un certo punto devi accettarne qualcuno se fai degli errori (specie se li fai senza accorgertene): il tuo messaggio precedente
per ipotesi $ {A_i}_( i in I) $ quindi è chiaro[1] che $ C(A_i)=A_i $ poichè sarebbero i chiusi dello[2] spazio topologico, infatti
[3]se prendessimo $ (X,tau) $ spazio topologico e $ {A_i} $ famiglia di chiusi
$ overline(bigcap_(i in I)A_i)=bigcap_(i in I)overline(A_i) $
poichè $ bigcap_(i in I)A_i $ è intersezione arbitraria di chiusi e quindi chiusa e gli $ A_i $ sono chiusi.
quindi dovrebbe tornare tutto.
è una continua petizione di principio, e una costante confusione tra ciò che devi dimostrare e ciò che ti è consentito assumere.
[1] Non è affatto chiaro, ed è falso senza assumere che sia vero
[2] "dello"? Di quale? Come l'hai definito? Non c'è scritto in nessun posto come siano definiti i suoi chiusi; o meglio, li hai definiti come gli elementi dell'immagine dell'operatore di chiusura che ti hanno dato, io ti ho mostrato che questa posizione non dà luogo a una topologia, proprio perché l'assioma che hai cercato di dimostrare è falso.
[3] Questo è vero, ma non c'entra nulla con la tesi. Tu non hai già dei chiusi; devi definire chi sono.
In sostanza, tu hai un insieme $X$ e un operatore di chiusura \(\complement\) su di lui; devi definire una topologia. E' una buona idea definirla mediante i chiusi; sei libero di arrivare da solo al fatto che devi definire tali chiusi come i punti fissi di \(\complement\), ma devi appunto definirli così, perché tutto quello che hai sono $X$ e \(\complement\).
Ciao, usando la definizione di Anto di \( \tau_c \) bisogna far vedere che se
\[ \{ A_i \}_{i \in I} \subseteq \tau_c \Rightarrow \bigcap_{i \in I} A_i \in \tau_c \]
che equivale a dimostrare che
\[ \{ A_i \}_{i \in I} \subseteq \tau_c \Rightarrow \exists \, B \subseteq X \mid C(B) = \bigcap_{i \in I} A_i \]
cosa che anto ha fatto vedere, infatti ha dimostrato che
\[ C \biggl ( \bigcap_{i \in I}A_i \biggr ) =\bigcap_{i \in I}C(A_i) = \bigcap_{ i \in I} A_i \]
ovvero basta prendere \( B = \bigcap_{ i \in I} A_i \).
@fmnq
Penso che anto in [1] volesse dire che siccome \( \{ A_i \}_{i \in I} \subseteq \tau_c \) allora esiste \( \{B_i\}_{i \in I} \subset \mathcal{P}(X) \) tale che \( A_i = C(B_i) \) e per definizione di operatore di chiusura \( C(A_i) = C(C(B_i)) = C(B_i)=A_i \).
@anto e otta: la cosa che non vi torna: credo sia semplicemente perché l'uguaglianza vale se gli $A_i$ sono chiusi e nell'esempio fatto da anto non lo sono.
Concordo infine che sia stato fatto un po' di casino dicendo cose come "dovendo poi risultare \( C( \cdot) = \overline{ \cdot} \)".
Al netto di tutto ciò la dimostrazione di anto mi sembra funzionare e non vedo quale sia il problema (e qua mi rivolgo a fmnq) dato un insieme $X$ e un operatore di chiusura $C$ su $X$ a definire una topologia su $X$ dicendo che i chiusi solo gli elementi dell'immagine di \( \mathcal{P}(X) \) attraverso $C$.
Forse non ho capito qualcosa...
EDIT: spostata una "a" nel testo che rendeva incomprensibile il penultimo periodo.
\[ \{ A_i \}_{i \in I} \subseteq \tau_c \Rightarrow \bigcap_{i \in I} A_i \in \tau_c \]
che equivale a dimostrare che
\[ \{ A_i \}_{i \in I} \subseteq \tau_c \Rightarrow \exists \, B \subseteq X \mid C(B) = \bigcap_{i \in I} A_i \]
cosa che anto ha fatto vedere, infatti ha dimostrato che
\[ C \biggl ( \bigcap_{i \in I}A_i \biggr ) =\bigcap_{i \in I}C(A_i) = \bigcap_{ i \in I} A_i \]
ovvero basta prendere \( B = \bigcap_{ i \in I} A_i \).
@fmnq
Penso che anto in [1] volesse dire che siccome \( \{ A_i \}_{i \in I} \subseteq \tau_c \) allora esiste \( \{B_i\}_{i \in I} \subset \mathcal{P}(X) \) tale che \( A_i = C(B_i) \) e per definizione di operatore di chiusura \( C(A_i) = C(C(B_i)) = C(B_i)=A_i \).
@anto e otta: la cosa che non vi torna: credo sia semplicemente perché l'uguaglianza vale se gli $A_i$ sono chiusi e nell'esempio fatto da anto non lo sono.
Concordo infine che sia stato fatto un po' di casino dicendo cose come "dovendo poi risultare \( C( \cdot) = \overline{ \cdot} \)".
Al netto di tutto ciò la dimostrazione di anto mi sembra funzionare e non vedo quale sia il problema (e qua mi rivolgo a fmnq) dato un insieme $X$ e un operatore di chiusura $C$ su $X$ a definire una topologia su $X$ dicendo che i chiusi solo gli elementi dell'immagine di \( \mathcal{P}(X) \) attraverso $C$.
Forse non ho capito qualcosa...
EDIT: spostata una "a" nel testo che rendeva incomprensibile il penultimo periodo.
"fmnq":
l'intersezione arbitraria di elementi nell'immagine di \(\complement\) può non essere uguale all'immagine dell'intersezione (per una funzione \(u : X\to Y\), l'uguaglianza \(u_*(\bigcap S_\alpha) = \bigcap u_*(S_\alpha)\) è vera quando $u$ è iniettiva, se \(u_* : 2^X \to 2^Y\) indica la funzione che manda $S\subseteq X$ in $u(S)$; ora, è chiaro che sottoinsiemi diversi possono avere la stessa chiusura).
Inoltre qua non è che stai confondendo una funzione definita sugli elementi di $X$ e una definita sul suo insieme delle parti?
Voglio dire, secondo me presa $u: X \to Y$ e una famiglia \( \{A_i\}_{i \in I} \subset \mathcal{P}(X) \) hai ragione a dire che
\[ u \biggl ( \bigcap_{ i \in I} A_i \biggr ) = \bigcap_{ i \in I} u(A_i) \]
se e solo se $u$ è ingettiva. In particolare qua stiamo intendendo
\[ u(A_i) := \bigcup \{ u(x) \mid x \in A_i \} \]
Ma questo non si applica se consideriamo
\[ u : \mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y) \]
dove stavolta \( u(A_i) \) ha un significato diverso.
O no?
"anto_zoolander":
se prendessimo $(X,tau)$ spazio topologico e ${A_i}$ famiglia di chiusi
$overline(bigcap_(i in I)A_i)=bigcap_(i in I)overline(A_i)$
poichè $bigcap_(i in I)A_i$ è intersezione arbitraria di chiusi e quindi chiusa e gli $A_i$ sono chiusi.
quindi dovrebbe tornare tutto.
Si hai ragione.
"fmnq":
Ti è stato suggerito di definire i chiusi della topologia indotta da un operatore di chiusura \( \complement : 2^X \to 2^X \) come i sottoinsiemi che sono punti fissi della funzione \( \complement \); non mi sembra sia quello che hai fatto dopo[1]
Vabbè era solo un suggerimento, mica un ordine
Hai, invece, definito dei wanna-be chiusi come \( \{\complement A\mid A \in 2^X\} \)
In realtà lui ha definito l'insieme dei chiusi come l'immagine dell'operatore di chiusura, non ci vedo nulla di male, perché se in uno spazio topologico si considerano tutte le chiusure dei sottoinsiemi si ottiene precisamente quello.
"fmnq":
Il problema è che quel che vuoi definire non ha senso: i chiusi di uno spazio non sono gli elementi nell'immagine dell'operatore di chiusura che ne definisce la topologia
Invece sì, è una formulazione equivalente.
EDIT: oops Bremen mi ha preceduto, ora guardo che ha detto.
Il suggerimento che ti dò io è di fare pulizia su un foglio bianco e scrivere la definizione di due insiemi:
Un insieme $\text{ClOp}(X)$ degli operatori di chiusura su $X$, definiti come funzioni \(\complement : 2^X \to 2^X\) che soddisfano le tre proprietà di inflazione, monotonìa e idempotenza.
Un insieme \(\boldsymbol\tau(X)\) delle topologie su $X$.
Questi due insiemi sono in biiezione, perché esiste una funzione
\[
\boldsymbol\tau(X) \to \text{ClOp}(X)
\] che manda una topologia \(\tau\) nell'operatore di chiusura definito da \(\complement U := \bigcap_{C\supseteq U} C\) al variare di $C$ nei chiusi di $\tau$. L'inversa di questa funzione è
\[
\text{ClOp}(X) \to \boldsymbol\tau(X)
\] e manda un operatore di chiusura \(\complement\) nella topologia i cui chiusi sono i punti fissi di \(\complement\).
Ovviamente devi ancora dimostrare che queste funzioni sono ben poste (cioè che cadi davvero negli operatori di chiusura e nelle topologie su $X$) e mutuamente inverse! Per fare una parte di queste verifiche, si fa qualcosa di simile a quello che ti ho sketchato.
Non c'è nessun problema; mi devi solo convincere che i punti fissi di \(\complement\) coincidono con quelli nell'immagine di \(\complement\). Tu l'hai fatto, lui no.
Un insieme $\text{ClOp}(X)$ degli operatori di chiusura su $X$, definiti come funzioni \(\complement : 2^X \to 2^X\) che soddisfano le tre proprietà di inflazione, monotonìa e idempotenza.
Un insieme \(\boldsymbol\tau(X)\) delle topologie su $X$.
Questi due insiemi sono in biiezione, perché esiste una funzione
\[
\boldsymbol\tau(X) \to \text{ClOp}(X)
\] che manda una topologia \(\tau\) nell'operatore di chiusura definito da \(\complement U := \bigcap_{C\supseteq U} C\) al variare di $C$ nei chiusi di $\tau$. L'inversa di questa funzione è
\[
\text{ClOp}(X) \to \boldsymbol\tau(X)
\] e manda un operatore di chiusura \(\complement\) nella topologia i cui chiusi sono i punti fissi di \(\complement\).
Ovviamente devi ancora dimostrare che queste funzioni sono ben poste (cioè che cadi davvero negli operatori di chiusura e nelle topologie su $X$) e mutuamente inverse! Per fare una parte di queste verifiche, si fa qualcosa di simile a quello che ti ho sketchato.
dato un insieme $ X $ e un operatore di chiusura $ C $ su $ X $ definire una topologia su $ X $ dicendo che i chiusi solo gli elementi dell'immagine di \( \mathcal{P}(X) \) attraverso $ C $
Non c'è nessun problema; mi devi solo convincere che i punti fissi di \(\complement\) coincidono con quelli nell'immagine di \(\complement\). Tu l'hai fatto, lui no.
"Bremen000":
Inoltre qua non è che stai confondendo una funzione definita sugli elementi di $X$ e una definita sul suo insieme delle parti?
Ogni funzione tra insiemi definisce una connessione di Galois tra i loro insiemi delle parti; io sto prendendo l'immagine diretta, proprio quella che manda un sottoinsieme nella sua immagine mediante $u$.
Invece sì, è una formulazione equivalente.
Non l'avrei mai immaginato, prima di oggi.
Ciao, guarda purtroppo non ho idea né di cosa sia una connessione di Galois né l'immagine diretta. Non so però se mi serve per dirti che probabilmente la cosa che hai detto prima sull'intersezione è giusta, ma non si applica al nostro caso. Perché l'operatore di chiusura di anto non è indotto da nessuna applicazione $u: X \to X$.
"Bremen000":
Ciao, guarda purtroppo non ho idea né di cosa sia una connessione di Galois né l'immagine diretta.
Ogni funzione $u : X\to Y$ definisce una coppia di funzioni \(u^*\dashv u_*\) tali per cui
\[
u^*(A)\subseteq B \iff A\subseteq u_*(B)
\] Ogni coppia di funzioni monotone con questa proprietà si dice una connessione di Galois (perché l'archetipo di questo oggetto è la coppia di corrispondenze antitòne tra i campi intermedi di un'estensione \(E/F\) e i sottogruppi di \(\text{Aut}_E(F) = \{\sigma : F \overset{\cong}\to F \,\text{ t.c. }\, \sigma|_{E}=1_E\}\)).
l'operatore di chiusura di anto non è indotto da nessuna applicazione $u: X \to X$.
E' vero, non c'è ragione che \(\complement\) sia della forma \(u_*\).
Facendo questa discussione mi è tornato in mente un fatto carino che avevo notato tempo fa e che c'entra qualcosa in tutto questo discorso, cioè che per una funzione $f:X->X$ con $X$ insieme, $f$ idempotente $=>f(X)={x\inX|x=f(x)}$, di facile dimostrazione.
"otta96":
Facendo questa discussione mi è tornato in mente un fatto carino che avevo notato tempo fa e che c'entra qualcosa in tutto questo discorso, cioè che per una funzione $f:X->X$ con $X$ insieme, $f$ idempotente $=>f(X)={x\inX|x=f(x)}$, di facile dimostrazione.
Infatti, è proprio questo che fa girare l'equivalenza tra punti fissi e immagine di \(\complement\). Tutti i punti fissi stanno nell'immagine (ovviamente) e dato $y = f(x)$ questo è $f$-fisso perché $ff=f$.
Grazie, sono felice che sia corretto.
Appena torno metto l’ultimo pezzo
Appena torno metto l’ultimo pezzo
concludo
0. sia $A in tau_c$ allora $C(A)=A$
------------------------
1. mostrare che $C(A)=overline(A)$
questo è vero per definizione di $overline(A)$ che è intersezione di chiusi quindi è chiuso ed è un punto fisso.
0. sia $A in tau_c$ allora $C(A)=A$
sia $A in tau_c$ allora esiste $B in P(X): A=C(B)$ quindi $C(A)=C(C(B))=C(B)=A$
------------------------
1. mostrare che $C(A)=overline(A)$
sia $A in P(X)$ allora $Asubset overline(A) => C(A) subset C(overline(A))=overline(A)$
questo è vero per definizione di $overline(A)$ che è intersezione di chiusi quindi è chiuso ed è un punto fisso.
$AsubsetC(A)$ dunque $C(A)$ è un chiuso contente $A$ quindi $overline(A)subsetC(A)$
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo