Dubbio su algebra lineare
Salve, avrei un pesantissimo dubbio circa un esercizio svolto (sul web) che riguarda il concetto di sistema di generatori. In fondo al post ho linkato il sito, tuttavia devo spiegare il punto su cui non riesco a convergere.
Dunque, non capisco perchè i 3 vettori indicati nell'esercizio (in fondo alla pagina che ho postato) fanno ad essere parte di un sistema di generatore per il sottospazio ottenuto, visto che non è possibile ottenere le basi (nella fattispecie (-1/2,1,0) e (2,0,1), che soddisfano il sistema ottenuto) mediante combinazione lineare di quei vettori. Io so che per essere un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione, e a quanto pare non è questo il caso.
Comunque il link in questione è il seguente, e dovete controllare l'esercizio finale.... https://www.****.it/lezioni/algebra- ... atori.html
Dunque, non capisco perchè i 3 vettori indicati nell'esercizio (in fondo alla pagina che ho postato) fanno ad essere parte di un sistema di generatore per il sottospazio ottenuto, visto che non è possibile ottenere le basi (nella fattispecie (-1/2,1,0) e (2,0,1), che soddisfano il sistema ottenuto) mediante combinazione lineare di quei vettori. Io so che per essere un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione, e a quanto pare non è questo il caso.
Comunque il link in questione è il seguente, e dovete controllare l'esercizio finale.... https://www.****.it/lezioni/algebra- ... atori.html
Risposte
Ciao!
Per le prossime volte ti chiedo il favore di scrivere l'esercizio: altrimenti chi ti aiuta deve stare con un occhio qui e uno sul link.
cosa significa questa frase?
ma infatti i vettori $(1,2,1)$ e $(3,2,2)$ soddisfano quella equazione e in più il terzo vettore dipende da questi due. Inoltre questi due vettori sono linearmente indipendenti, quindi a posto.
ogni sistema ${v_1,...,v_m} subseteqV$ di vettori linearmente indipendenti è una base dello spazio che generano(chiaramente deve essere $1leqmleqdimV$ per aver senso)
Per le prossime volte ti chiedo il favore di scrivere l'esercizio: altrimenti chi ti aiuta deve stare con un occhio qui e uno sul link.
"Draken97":
visto che non è possibile ottenere le basi
cosa significa questa frase?
"Draken97":
un sistema d generatori, deve essere in grado di generare qualunque vettore che soddisfa il sistema in questione
ma infatti i vettori $(1,2,1)$ e $(3,2,2)$ soddisfano quella equazione e in più il terzo vettore dipende da questi due. Inoltre questi due vettori sono linearmente indipendenti, quindi a posto.
ogni sistema ${v_1,...,v_m} subseteqV$ di vettori linearmente indipendenti è una base dello spazio che generano(chiaramente deve essere $1leqmleqdimV$ per aver senso)
Purtroppo (o per fortuna) 5 minuti dopo aver scritto questo quesito mi sono accorto che avevo commesso un grossolano errore di trascrizione, e perciò i conti non tornavano (senza avere la possibilità di cancellare la discussione, visto che prima deve essere approvata)... comunque volevo chiedere un'altra cosa: dato un sottospazio vettoriale e un insieme di vettori, c'è un modo per capire se essi formano un sistema di generatori per quel sottospazio? Io questa verifica la so effetturare solo per spazi vettoriali di tipo Rn.
"Daken97":
dato un sottospazio vettoriale e un insieme di vettori, c'è un modo per capire se essi formano un sistema di generatori per quel sottospazio? Io questa verifica la so effetturare solo per spazi vettoriali di tipo Rn.
Quindi lo sai già.
Devono essere indipendenti e tanti quanti la dimensione dello spazio in questione, no?
Io per verificare se un insieme di vettori è un sistema di generatori di Rn, gli associo una matrice (inserendo i vettori per colonna) e guardo il rango... se esso è massimo, allora la risposta è positiva, in caso contrario negativa.
Un sistema di generatori deve semplicemente soddisfare il requisito di saturare il sottospazio.
Chiaramente c’è qualche teorema di caratterizzazione: se conosci la dimensione di un sottospazio e trovi un sistema di vettori linearmente indipendenti pari alla dimensione, trovi una base e quindi dei generatori.
Per esempio nello spazio delle funzioni $C^(infty)(RR^(RR))$ un sistema di generatori è dato da $S={x^k: k inNN}$ in quanto ogni funzione classe $C^(infty)$ si scrive come
In genere i generatori te li devi andare a cercare
Chiaramente c’è qualche teorema di caratterizzazione: se conosci la dimensione di un sottospazio e trovi un sistema di vettori linearmente indipendenti pari alla dimensione, trovi una base e quindi dei generatori.
Per esempio nello spazio delle funzioni $C^(infty)(RR^(RR))$ un sistema di generatori è dato da $S={x^k: k inNN}$ in quanto ogni funzione classe $C^(infty)$ si scrive come
$sum_(k=0)^(+infty)(f^((k))(0))/(k!)*x^k$
In genere i generatori te li devi andare a cercare
Va benissimo... comunque sbaglio, oppure c'è una piccola inasettezza in quello che ha scritto l'utente Bokonon? Nel senso che il criterio che ha citato lui serve per stabilire se un insieme di vettori è una base di uno spazio vettoriale, e un sistema di generatori non è necessariamente tale (mentre una base è sempre un insieme di generatori).
E' corretto quello che dice.
E' vero che se hai una spazio vettoriale e $v_1,...,v_n$ vettori indipendenti di $V$ con $dimV=n$ allora essi sono generatori, perchè formano una base.
di fatto se non lo fossero avresti che per almeno un $v in V$ il sistema ${v,v_1,...,v_n}$ sarebbe linearmente indipendente, cosa impossibile essendo $n$ la sua dimensione.
Quello che dici tu però è anche vero, nel senso: se hai un sistema di generatori, non hai necessariamente a che fare con una base. Però sicuramente da quel sistema una base puoi estrarla.
E' vero che se hai una spazio vettoriale e $v_1,...,v_n$ vettori indipendenti di $V$ con $dimV=n$ allora essi sono generatori, perchè formano una base.
di fatto se non lo fossero avresti che per almeno un $v in V$ il sistema ${v,v_1,...,v_n}$ sarebbe linearmente indipendente, cosa impossibile essendo $n$ la sua dimensione.
Quello che dici tu però è anche vero, nel senso: se hai un sistema di generatori, non hai necessariamente a che fare con una base. Però sicuramente da quel sistema una base puoi estrarla.
Eh appunto... ad esempio l'insieme {[1,0],[0,2],[6,6]} di R2 è un sistema di generatori per quello spazio, ma non una base, perchè il terzo vettore dipende linearmente dai primo e dal secondo. Difatti R2 ha dimensione 2, mentre il sistema di generatori è composto da 3 vettori. Non è una base, ma un sistema di generatori sì! Pertanto il suo criterio serve per verificare se abbiamo a che fare con una base, ma non (necessariamente) con un generico insieme di generatori.
"Daken97":
[…] dato un sottospazio vettoriale e un insieme di vettori, c'è un modo per capire se essi formano un sistema di generatori per quel sottospazio?
Dalla definizione di generatori di uno spazio vettoriale finito si ha
$mathcal(L){v_1,...,v_n}=V hArr AA v in V, EE alpha_1,...,alpha_n in RR \text{ tale che } v=alpha_1v_1+...+alpha_nv_n$
dovresti dimostrare che ogni vettore $v in V$ può essere scritto come C.L. dei generatori di $V$; cosa poco fattibile!
"Daken97":
Io per verificare se un insieme di vettori è un sistema di generatori di $RR^n$, gli associo una matrice (inserendo i vettori per colonna) e guardo il rango...
Così verifichi l'indipendenza lineare dei generatori; inoltre, se il rango è massimo, sfruttando il lemma di Steinitz, trovi proprio che sono una base.
Infatti, quello che vuole dirti @anto è che se dimostri che
$mathcal(E)={((1),(0)),((0),(1))}$ è una base di $RR^2$, allora $mathcalE$ è anche un insieme di generatori di $RR^2$ ([nota]Per definizione di base![/nota])
In sostanza l'insieme delle basi di un sottospazio vettoriale finitamente generato è l'intersezione dell'insieme dei generatori con l'insieme dei vettori linearmente indipendenti.
@magma
Questo l'ho capito, più che altro contestavo l'affermazione dell'altro utente, visto che i vettori di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti (ciò escluderebbe soltanto che si tratta di una base)... hoanche mostrato un esempio a riguardo.
Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.
Questo l'ho capito, più che altro contestavo l'affermazione dell'altro utente, visto che i vettori di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti (ciò escluderebbe soltanto che si tratta di una base)... hoanche mostrato un esempio a riguardo.
Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.
"Daken97":
Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.
La domanda da me quotata era più generale
Così sei sceso nel particolare e immagino che la risposta da te trovata sia quella di risolvere il sistema lineare omogeneo 
"Magma":
[quote="Daken97"]
Riguardo al discorso iniziale, un modo per capire se un insieme di vettori è un sistema di generatori di un sottospazio definito da un equazione (come l'esercizio del link che ho postato a inizio discussione) l'ho trovato.
La domanda da me quotata era più generale
Così sei sceso nel particolare e immagino che la risposta da te trovata sia quella di risolvere il sistema lineare omogeneo [/quote]Dunque, se devo verificare che un insieme di vettori è un sistema di generatori per Rn (R2,R3, ecc.), associo a tale sistema una matrice e vedo se il rango è massimo... invece se devo effettuare una verifica su un sottospazio definito da un' equazione, diciamo che ricorro a un sistema piuttosto laborioso (se sei curioso posto l'esempio), che però consiste sostanzialmente in quello che hai detto.
Considera che preso un $K-$spazio vettoriale $V$ e una matrice $A in K^(mtimesn)$ un sistema omogeneo di $M$ equazioni in $n$ incognite è equivalente a $A*X=0$. Preso un riferimento $B={v_1,...,v_n}$ di $V$ il 'sottospazio' definito da un sistema altro non è che
dove $C_B:V->K^n$ è l'isomorfismo delle coordinate
non è difficile mostrare che $W$ sia un sottospazio di $V$
E' chiaro che se ti spunta una cosa del tipo $A*X=0$ e ti devi uscire il sottospazio ti basta considerare che $X=C_B(v)$ quindi $v=C_B^(-1)(X)$ quindi in questo caso il sottospazio sarà semplicemente
il secondo è più utile ai fini pratici, non hai la rottura di doverti scrivere $v$ in coordinate generiche e poi ti trovi semplicemente $C_B^(-1)(X)$
quindi una matrice identifica un sottospazio vettoriale. Lo identifica univocamente? Ovvero possono esserci due sottospazi distinti individuati da una stessa matrice(un sistema)? no
qual è la sua dimensione? beh se consideri l'applicazione $L:V->K^n$ definita come $L(v)=A*C_B(v)$ è chiaramente una applicazione lineare che ha come nucleo $W$ quindi per la relazione dimensionale $dimV=dimW+dimL(V)$ da cui $dimW=n-dimL(V)$
considerando che $C_B(v_j)=E^j$ ossia $E^j=(0,...,1,...,0)$ dove l'$1$ è nella $j-$esima posizione e che $A*E^j$ coincide con $j-$esima colonna di $A$ allora $L(V)=$ e quindi $dimL(V)=r(A)$ da cui il noto $dimW=n-r$
L'altra domanda può essere posta al contrario: ma se avessi un sottospazio vettoriale $W$ esiste una matrice tale per cui si abbia l'uguaglianza di cui sopra? Si e trovarla in particolare è facile, però il ragionamento generale è un po' noioso.
$W={v in V: A*C_B(v)=0}$
dove $C_B:V->K^n$ è l'isomorfismo delle coordinate
non è difficile mostrare che $W$ sia un sottospazio di $V$
E' chiaro che se ti spunta una cosa del tipo $A*X=0$ e ti devi uscire il sottospazio ti basta considerare che $X=C_B(v)$ quindi $v=C_B^(-1)(X)$ quindi in questo caso il sottospazio sarà semplicemente
$W={C_B^(-1)(X) in V: AX=0}$
il secondo è più utile ai fini pratici, non hai la rottura di doverti scrivere $v$ in coordinate generiche e poi ti trovi semplicemente $C_B^(-1)(X)$
quindi una matrice identifica un sottospazio vettoriale. Lo identifica univocamente? Ovvero possono esserci due sottospazi distinti individuati da una stessa matrice(un sistema)? no
qual è la sua dimensione? beh se consideri l'applicazione $L:V->K^n$ definita come $L(v)=A*C_B(v)$ è chiaramente una applicazione lineare che ha come nucleo $W$ quindi per la relazione dimensionale $dimV=dimW+dimL(V)$ da cui $dimW=n-dimL(V)$
considerando che $C_B(v_j)=E^j$ ossia $E^j=(0,...,1,...,0)$ dove l'$1$ è nella $j-$esima posizione e che $A*E^j$ coincide con $j-$esima colonna di $A$ allora $L(V)=
L'altra domanda può essere posta al contrario: ma se avessi un sottospazio vettoriale $W$ esiste una matrice tale per cui si abbia l'uguaglianza di cui sopra? Si e trovarla in particolare è facile, però il ragionamento generale è un po' noioso.
@anto_zoolander
Perfetto, diciamo che sei andato sul generale, ma la risposta che inizialmente attendevo è questa... riguardo al discorso delle basi e dei sistemi di generatori, è un fatto puramente logico: ad esempio il sistema {[1,0],[0,2],[6,6]} ha il terzo vettore che dipende linearmente dai primi 2, ma in realtà è proprio un sistema di generatori... casomai non è una base di R2.
Perfetto, diciamo che sei andato sul generale, ma la risposta che inizialmente attendevo è questa... riguardo al discorso delle basi e dei sistemi di generatori, è un fatto puramente logico: ad esempio il sistema {[1,0],[0,2],[6,6]} ha il terzo vettore che dipende linearmente dai primi 2, ma in realtà è proprio un sistema di generatori... casomai non è una base di R2.
E' vero che un sistema di generatori può tranquillamente non essere una base.
Quello che non si capisce è cosa tu voglia affermare
Quello che non si capisce è cosa tu voglia affermare
"anto_zoolander":
E' vero che un sistema di generatori può tranquillamente non essere una base.
Quello che non si capisce è cosa tu voglia affermare
L'utente Bokonon ha affermato che i vettori di un insieme devono essere indipendenti per far sì che il sistema a cui appartengono sia un insieme di generatori.... io invece sostengo che quella condizione non è necessaria, perchè i vettori che fanno parte di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti fra loro, e infatti ho considerato un esempio. Se invece dovessi stabilire che il sistema in questione è proprio una base, il discorso cambierebbe.
"Daken97":
L'utente Bokonon ha affermato che i vettori di un insieme devono essere indipendenti per far sì che il sistema a cui appartengono sia un insieme di generatori
E lo confermo.
L'utente Bokonon ha risposto alla tua domanda
Rileggi cosa ho quotato nel post precedente.
"Daken97":
.... io invece sostengo che quella condizione non è necessaria, perchè i vettori che fanno parte di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti fra loro, e infatti ho considerato un esempio. Se invece dovessi stabilire che il sistema in questione è proprio una base, il discorso cambierebbe.
L'esempio che hai portato non aveva senso. Se ti danno 3 vettori di $R^2$ al minimo uno sarà combinazione lineare di altri 2. Quindi troverai o una base di tutto $R^2$, oppure una base per un sottospazio di $R^2$ di dimensione 1 (ovvero una retta). Non ci sono altre possibilità. Non esistono generatori "linearmente dipendenti".
Ripeto, se ti danno tre vettori di $R^2$ non saranno MAI linearmente indipendenti fra di loro e non sono "generatori" di un bel nulla. Secondo me non ti è chiaro il concetto di "generatore".
Proviamo con un esempio.
Un vettore (non nullo) di $R^3$ genera una retta.
Due vettori dipendenti di $R^3$ non generano "nulla" insieme, ognuno di essi genera la medesima retta.
Due vettori indipendenti di $R^3$ generano un piano.
Tre vettori indipendenti di $R^3$ generano tutto $R^3$.
4 vettori ignoti (ovvero di cui non conosci le dipendenze o meno) di $R^3$ non generano nulla: l'unica garanzia che hai è che almeno uno dipenderà dagli altri.
Ok?
Non ha senso parlare di n (grande a piacere) vettori appartenenti ad uno spazio di dimensione m
"Bokonon":
[quote="Daken97"]
L'utente Bokonon ha affermato che i vettori di un insieme devono essere indipendenti per far sì che il sistema a cui appartengono sia un insieme di generatori
E lo confermo.
L'utente Bokonon ha risposto alla tua domanda
Rileggi cosa ho quotato nel post precedente.
"Daken97":
.... io invece sostengo che quella condizione non è necessaria, perchè i vettori che fanno parte di un insieme di generatori possono anche essere linearmente dipendenti fra loro, e infatti ho considerato un esempio. Se invece dovessi stabilire che il sistema in questione è proprio una base, il discorso cambierebbe.
L'esempio che hai portato non aveva senso. Se ti danno 3 vettori di $R^2$ al minimo uno sarà combinazione lineare di altri 2. Quindi troverai o una base di tutto $R^2$, oppure una base per un sottospazio di $R^2$ di dimensione 1 (ovvero una retta). Non ci sono altre possibilità. Non esistono generatori "linearmente dipendenti".
Ripeto, se ti danno tre vettori di $R^2$ non saranno MAI linearmente indipendenti fra di loro e non sono "generatori" di un bel nulla. Secondo me non ti è chiaro il concetto di "generatore".
[/quote]
Il sesto senso di Daken97 ha avuto ragione...
Fai pure finta che l'utente Bokonon non abbia scritto.
"Magma":
Il sesto senso di Daken97 ha avuto ragione...
Ok, Magma adesso adesso ci illustra il concetto di insieme di generatori dipendenti.
Certo che sei tanto triste, te lo dico dal cuore.
@bokonon
Dunque, dopo una serie di verifiche devo ammettere che avevi ragione, tuttavia sono abbastanza arrabbiato per una cosa... reputavo la pagina **** affidabilissimo, dato che tra parentesi parliamo di una "testata" registrata. Per quell'esempio ho preso spunto da loro, visto che sostenevano che quell'insieme fosse un sistema di generatori, poi ho verificato che in realtà non è così... comunque questo è il link "incriminato" (in fondo alla pagina c'è l'esempio di cui ho parlato):
link: ****
Dunque, dopo una serie di verifiche devo ammettere che avevi ragione, tuttavia sono abbastanza arrabbiato per una cosa... reputavo la pagina **** affidabilissimo, dato che tra parentesi parliamo di una "testata" registrata. Per quell'esempio ho preso spunto da loro, visto che sostenevano che quell'insieme fosse un sistema di generatori, poi ho verificato che in realtà non è così... comunque questo è il link "incriminato" (in fondo alla pagina c'è l'esempio di cui ho parlato):
link: ****
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