Equazioni cartesiane da un sistema di generatori

[Daken97]

Dati i vettori [2,0,0], [0,1,0], [1,0,3], [5,4,1], come faccio a individuare un sistema di equazioni cartesiane che definisce lo span di questo insieme di vettori ? Ho provato ad applicare il "metodo delle matrici complete e incomplete", ma questo sistema non riesce...

[anto_zoolander]

Ciao Daken! Intanto ti consiglierei di diminuire il numero di vettori
Quelli sono sicuramente linearmente dipendenti, no?

[axpgn]

Intendi questo $alpha[(2),(0),(0)]+beta[(0),(1),(0)]+gamma[(1),(0),(3)]+delta[(5),(4),(1)]=[(z_1),(z_2),(z_3)]$ ?

Ovvero ${(alpha*2+beta*0+gamma*1+delta*5=z_1),(alpha*0+beta*1+gamma*0+delta*4=z_2),(alpha*0+beta*0+gamma*3+delta*1=z_3):}$

[Daken97]

"anto_zoolander":Ciao Daken! Intanto ti consiglierei di diminuire il numero di vettori
Quelli sono sicuramente linearmente dipendenti, no?

E qui ritorniamo al solito discorso... parliamo di un sistema di generatori, che non è necessariamente una base.

Infatti nell'esempio che ho visto (se volete posto il link) vengono presi in considerazione 3 vettori linearmente dipendenti, solo che non mi riesce il metodo di cui hanno parlato.

[Daken97]

"axpgn":Intendi questo $alpha[(2),(0),(0)]+beta[(0),(1),(0)]+gamma[(1),(0),(3)]+delta[(5),(4),(1)]=[(z_1),(z_2),(z_3)]$ ?

Ovvero ${(alpha*2+beta*0+gamma*1+delta*5=z_1),(alpha*0+beta*1+gamma*0+delta*4=z_2),(alpha*0+beta*0+gamma*3+delta*1=z_3):}$

Leggi sopra... purtroppo non mi riferisco a questo.

[Magma1]

Per il lemma di Steinitz, sappiamo che in $RR^n$ i vettori l.i. sono al più $n$. I vettori dati appartengono a $RR^3$, quindi per il lemma di eliminazione possiamo sopprimere i vettori l.d. senza alterare lo spazio generato dai vettori; in particolare notiamo che

$ [(5),(4),(1)]=7/3 [(2),(0),(0)]+4[(0),(1),(0)]+1/3[(1),(0),(3)] $

ottenendo quindi l'insieme

$mathcalA:={((2),(0),(0)),((0),(1),(0)),((1),(0),(3))}$

i cui vettori sono l.i., inoltre sappiamo che sono generatori (lo dice la traccia ) e sono $3=dim(RR^3$), quindi $A$ è una base di $RR^3$: ovvero il numero sufficiente e necessario per descrivere uno spazio di tale dimensione.

"Daken97":[quote="anto_zoolander"]Ciao Daken! Intanto ti consiglierei di diminuire il numero di vettori
Quelli sono sicuramente linearmente dipendenti, no?

E qui ritorniamo al solito discorso... parliamo di un sistema di generatori, che non è necessariamente una base.[/quote]
Se vuoi un'equazione cartesiana dell'insieme di partenza perché non ti piace il suggerimento di @axpgn ?

EDIT: errato

Un'equazione cartesiana potrebbe essere

$((2,0,1),(0,1,0),(0,0,3))((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$

[Daken97]

Non è che non mi piace, è che mi serve tutt'altra cosa... in breve, un sistema lineare omogeneo che è soddisfatto dai vettori in questione. Fra l'altro sto parlando di un sottospazio di R3, ed esso (non coincidendo con R3 stesso) ha dimensione inferiore a 3...


Per rendervene conto, guardate l'ultimo esempio del seguente link:


https://www.****.it/lezioni/algebra- ... atori.html

[Magma1]

Ho corretto il post precedente perché l'equazione da me scritta è sbagliata. Il metodo che vuoi usare non sempre sortisce l'effetto richiesto: funziona bene per gli sottospazi di $RR^n$, mentre non è in grado di generare un'equazione del medesimo spazio vettoriale; infatti la matrice

$A:=((2,0,1),(0,1,0),(0,0,3))$

ha rango

$r(A)=3$

e l'aggiunta di una qualsiasi colonna non può che essere C.L. delle precedenti

$A|x:=((2,0,1,x),(0,1,0,y),(0,0,3,z))$

ovvero sappiamo a priori che

$r(A|x)=3$

P.S.
Inoltre, Kronecker-Rouché-Capelli ci dicono che affinché un sistema lineare omogeneo abbia $oo^3$ soluzioni, deve essere composto da $3$ equazioni indipendenti in $6$ incognite.

[axpgn]

@Daken97
Io non ho ben capito quale sia il tuo obiettivo però dato un sistema di generatori, un vettore appartenente al suo span non è altro che una combinazione lineare dei vettori del sistema di generatori; quindi dato un sistema lineare come quello postato sopra non devi fare altro che trovare una soluzione generale che lo renda sempre compatibile, come viene fatto nell'esempio linkato.
IMHO

Cordialmente, Alex

[Daken97]

"Magma":Ho corretto il post precedente perché l'equazione da me scritta è sbagliata. Il metodo che vuoi usare non sempre sortisce l'effetto richiesto: funziona bene per gli sottospazi di $RR^n$, mentre non è in grado di generare un'equazione del medesimo spazio vettoriale; infatti la matrice

$A:=((2,0,1),(0,1,0),(0,0,3))$

ha rango

$r(A)=3$

e l'aggiunta di una qualsiasi colonna non può che essere C.L. delle precedenti

$A|x:=((2,0,1,x),(0,1,0,y),(0,0,3,z))$

ovvero sappiamo a priori che

$r(A|x)=3$

P.S.
Inoltre, Kronecker-Rouché-Capelli ci dicono che affinché un sistema lineare omogeneo abbia $oo^3$ soluzioni, deve essere composto da $3$ equazioni indipendenti in $6$ incognite.

Io infatti sto cercando un sistema di equazioni cartesiane che definisce un sottospazio di R3, come nell'esercizio che c'è nel link postato... non è che forse non è sempre possibile rappresenta un sottospazio vettoriale in tal modo ?

[Daken97]

Alex guarda l'ultimo esercizio del link che ho postato...

[Magma1]

"axpgn":@Daken97
Io non ho ben capito quale sia il tuo obiettivo [...]

Io capito che voglia un sistema lineare omogeneo che abbia come soluzioni $S$ lo span generato dai vettori di partenza cioè

$S=mathcalL{((2),(0),(0)),((0),(1),(0)),((1),(0),(3))} $

[Daken97]

"Magma":[quote="axpgn"]@Daken97
Io non ho ben capito quale sia il tuo obiettivo [...]

Io capito che voglia un sistema lineare omogeneo che abbia come soluzioni $S$ lo span generato dai vettori di partenza cioè

$S=mathcalL{((2),(0),(0)),((0),(1),(0)),((1),(0),(3))} $

[/quote]


Esatto... ma siamo sicuri che ogni sottospazio vettoriale possa essere rappresentato da equazioni cartesiane?

[Magma1]

Certo, ma devi avere un numero opportuno di parametri. Ad esempio $Vsub RR^6$, con $dim(V)=3$, è descritto benissimo da un sistema cartesiano

[axpgn]

Provate a guardare questo link, in particolare cliccate su "Example ISSI"

[Daken97]

"Magma":Certo, ma devi avere un numero opportuno di parametri. Ad esempio $Vsub RR^6$, con $dim(V)=3$, è descritto benissimo da un sistema cartesiano

L'esempio del link è un sottospazio di dimensione 2 di R3 rappresentato da 3 vettori.

[Magma1]

@axpgn: Esatto, in sostanza un sistema lineare omeogeneo tale che $n-r=3$, dove $n=dim(RR^n)$ ovvero il numero di incognite totali e $r$ il numero di incognite dipendenti.

"Daken97":L'esempio del link è un sottospazio di dimensione $2$ di $RR^3$ rappresentato da $3$ vettori.

Quindi? Non capisco a cosa tu voglia alludere…

[Daken97]

"Daken97":L'esempio del link è un sottospazio di dimensione $2$ di $RR^3$ rappresentato da $3$ vettori.

Quindi? Non capisco a cosa tu voglia alludere…[/quote]


Alludo al fatto che lui è riuscito a scrivere tale sistema, solo che il metodo che ha spiegato in questo caso è inefficiente...

[Magma1]

Ma non è contraddizione con quello che ho detto fin ora. Anzi, per essere più precisi il metodo che vuoi usare funziona bene per gli sottospazi di $RR^n $ che hanno $dim

Cita

Segnala

[anto_zoolander]

Ma grazie che è inefficiente. Uno spazio di dimensione $k$ sarà rappresentato da $n-k$ equazioni cartesiane quindi se $k=n$ non ne ha

[Daken97]

"Magma":Ma non è contraddizione con quello che ho detto fin ora. Anzi, per essere più precisi il metodo che vuoi usare funziona bene per gli sottospazi di $RR^n $ che hanno $dim


Però aspetta... l'insieme di vettori che ho indicato all'inizio sicuramente NON è un sistema di generatori di R3, perciò lo span di quei vettori rappresenta un sottospazio di R3...

EDIT: Sbagliavo, e di brutto... esso non costituisce una base, ma un sistema di generatori per R3.