Aplicazione lineare

[marco224]

Buona sera,
ho un piccolo problema con questo esercizio:

Sia T:R4-->R4 l'applicazione lineare definita dalla legge:
T=(2X1 -2X2 +X4 ; -2X1 -2X2 -2X3 -X4; -2X1 -X3 -X4; -2X2 -X3)

Determinare
1) matrice associata alla base can. di R4 e risol a scala
2)una base e dimensione Ker
3)Una base, la dimensione ed equazioni cartesiane di Im(T)
4)i valori di h€R t.c il vett v=(2h -h -h 0) appartenga a Im(T)

Per quanto riguarda i primi due punti tutto ok

Base e dimensione di Im(T) anche; i problemi sorgono per le eq cartesiane.
ho visto altri post simili e li ho anche letti più volte, ma proprio non riesco a capire come fare.
Per quanto riguarda il punto 4 peggio che sopra.
Spero mi possiate aiutare, grazie

[Bokonon]

"marco22":
Base e dimensione di Im(T) anche; i problemi sorgono per le eq cartesiane.
ho visto altri post simili e li ho anche letti più volte, ma proprio non riesco a capire come fare.
Per quanto riguarda il punto 4 peggio che sopra.
Spero mi possiate aiutare, grazie

Io ho scelto la prima e terza colonna come base dell'immagine ed ho "semplificato" i due vettori.
Lo spazio che generano è il piano $ {( ( x ),( y ),( w ),( z ) ) = t( ( 1 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ) )+ s( ( 0 ),( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) $
Se risolvi il sistema otterrai un sistema a due equazioni cartesiane a "piacere" fra 4 possibli equazioni.
Il vettore $b= h( ( 2 ),( -1 ),( -1 ),( 0 ) )$ appartiene all'immagine solo quando $h=0$...lo si vede ad occhio nudo guardando la forma parametrica. Affinchè la quarta componente sia zero, allora $s=0$ e quindi b dovrebbe essere combinazione lineare solo del primo vettore. Ma è evidente che l'unico valore per cui sono uguale è $h=t=0$.
Alternativamente puoi inserire il vettore b nelle due equazioni cartesiane e scoprire per quale valore di h le soddisfa entrambe.