Metodi Mat: Somma Diretta di Sottospazi in C([0,1])
Si consideri uno spazio di Banach $ C([[0,1]]) $ delle funz. continue nell'intervallo $ [[0,1]] $ a valori reali con norma:
$ || f|| = \su\p |f(x)| $ per $ x in [[0,1]] $
Appurato precedentemente che $ X={fin C([[0,1]]); f(0)=f(1)=0} $ è un sottospazio, dimostrare che $ C([[0,1]]) $ si scrive come somma diretta di $ X \oplus X segnat $ dove $ X segnat = {fin C([[0,1]]); f(x)=ax+b } $
Ora : io
$f(0)-f(1)=0$ e $f(x)=ax+b $ calcolo questa seconda funzione per i due valori di $x=0$ e $x=1 $ ottenendo $f(0)=b $ e $f(1)=a$
In riferimento alla prima funzione posso affermare che anche la seconda funzione appartiene a $X$ per $a=b=0$
Questo è l'unica cosa che sono riuscita a fare, ricordando che l'unione dei due non è un sottospazio mentre la loro intersezione lo è ed equivale all'insieme nullo (condizione per rendere unico l'elemento somma, se non erro...)
Il prof nel suo procedimento ha sommato un $f_0(x)$ alla funzione del sottosp $Xsegnat$ in questo modo $ f(x)=f_0(x)+ax+b$ per verificare che la somma delle due funzioni è ancora un sottospaz appartenente allo spazio di banach.
Posso chiedervi un chiarimento del perchè viene aggiunto? è vero che nella somma diretta devo assolutamente sommare gli elementi di ciascun sottospazio ma non capisco la modalità usata.
Inoltre il prof afferma che la loro intersezione è l'insieme nullo in quanto $ax+b$ appartiene al sottospazio $X$ se e solo se $ a=b=0$ .
Cosa sbaglio? Grazie
$ || f|| = \su\p |f(x)| $ per $ x in [[0,1]] $
Appurato precedentemente che $ X={fin C([[0,1]]); f(0)=f(1)=0} $ è un sottospazio, dimostrare che $ C([[0,1]]) $ si scrive come somma diretta di $ X \oplus X segnat $ dove $ X segnat = {fin C([[0,1]]); f(x)=ax+b } $
Ora : io
$f(0)-f(1)=0$ e $f(x)=ax+b $ calcolo questa seconda funzione per i due valori di $x=0$ e $x=1 $ ottenendo $f(0)=b $ e $f(1)=a$
In riferimento alla prima funzione posso affermare che anche la seconda funzione appartiene a $X$ per $a=b=0$
Questo è l'unica cosa che sono riuscita a fare, ricordando che l'unione dei due non è un sottospazio mentre la loro intersezione lo è ed equivale all'insieme nullo (condizione per rendere unico l'elemento somma, se non erro...)
Il prof nel suo procedimento ha sommato un $f_0(x)$ alla funzione del sottosp $Xsegnat$ in questo modo $ f(x)=f_0(x)+ax+b$ per verificare che la somma delle due funzioni è ancora un sottospaz appartenente allo spazio di banach.
Posso chiedervi un chiarimento del perchè viene aggiunto? è vero che nella somma diretta devo assolutamente sommare gli elementi di ciascun sottospazio ma non capisco la modalità usata.
Inoltre il prof afferma che la loro intersezione è l'insieme nullo in quanto $ax+b$ appartiene al sottospazio $X$ se e solo se $ a=b=0$ .
Cosa sbaglio? Grazie
Risposte
Presumo che lo spazio di cui si parla sia delle funzioni continue e lineari.
Si si. È specificato nel testo 
Basta osservare che il sottospazio $X$ è costituito dal solo vettore nullo. Del resto, una funzione continua e lineare che si annulla agli estremi dell'intervallo di definizione è ovunque nulla. Insomma, un qualsiasi spazio vettoriale è somma diretta di se stesso e del sottospazio vettoriale costituito dal solo vettore nullo.
@SergeantElias: Non credo che sia *tanto* banale (facile, si). Lo spazio $X$ contiene tutte le funzioni continue (ma non necessariamente lineari) che si annullano sul bordo. Lo spazio $\bar X$ contiene i polinomi di primo grado. Se \(f\in C([0, 1])\) allora essa può essere decomposta in somma come segue:
\[
f(x)= f_0(x) + \left( -f(b) \frac{x-a}{b-a} - f(a)\frac{x-b}{b-a} \right). \]
È chiaro che $f_0\in X$ e che il polinomio in parentesi appartiene a \(\overline{X}\), perciò abbiamo dimostrato che \(C([0, 1])=X+\overline{X}\). Tocca mostrare che la somma è diretta, ovvero, che questa decomposizione è unica. E qui entra in gioco l'algebra lineare e ci dice che la somma è diretta se e solo se \(X\cap \overline{X}=\{0\}\), dove \(0\) sta per la funzione identicamente nulla. Eccetera.
\[
f(x)= f_0(x) + \left( -f(b) \frac{x-a}{b-a} - f(a)\frac{x-b}{b-a} \right). \]
È chiaro che $f_0\in X$ e che il polinomio in parentesi appartiene a \(\overline{X}\), perciò abbiamo dimostrato che \(C([0, 1])=X+\overline{X}\). Tocca mostrare che la somma è diretta, ovvero, che questa decomposizione è unica. E qui entra in gioco l'algebra lineare e ci dice che la somma è diretta se e solo se \(X\cap \overline{X}=\{0\}\), dove \(0\) sta per la funzione identicamente nulla. Eccetera.
Grazie ragazzi per i vostri interventi molto utili.
Posso chiedervi ulteriori spiegazioni?
Il prof lo svolge in questo modo che apparentemente sembra semplice ma poi non mi ritrovo col ragionamento e calcoli:
Si veri ca facilmente che ogni funzione $f$ appartenente a $C([0,1])$ può essere scritta come: $f(x) = f_0(x) + a x + b$
con: $a = f(1)-f(0)$ e $b = f(0)$ ;
$f(0)= f_0(x) - (ax+b)$
Ne segue che $C([0,1])$ è somma diretta di X e Xsegnat.
Inoltre l'intersezione di $X$ e $Xsegnat$ è = ${0}$ in quanto $ax + b$ appartiene a $X$ se e solo se $a = b = 0$.
Ci sono passaggi e ragionamenti che non mi tornano. Ho capito grazie al vostro intervento che aggiunge $f_0(x)$ come simbolo del vettore nullo del sottospazio $X$, ma non capisco perché essendo nullo a volte lo considera e a volte no, come nel caso di $a$ e $b$.
Sicuramente sono passaggi banali ma al momento la mia mente è piuttosto annebbiata/stanca. Grazie!
Posso chiedervi ulteriori spiegazioni?
Il prof lo svolge in questo modo che apparentemente sembra semplice ma poi non mi ritrovo col ragionamento e calcoli:
Si veri ca facilmente che ogni funzione $f$ appartenente a $C([0,1])$ può essere scritta come: $f(x) = f_0(x) + a x + b$
con: $a = f(1)-f(0)$ e $b = f(0)$ ;
$f(0)= f_0(x) - (ax+b)$
Ne segue che $C([0,1])$ è somma diretta di X e Xsegnat.
Inoltre l'intersezione di $X$ e $Xsegnat$ è = ${0}$ in quanto $ax + b$ appartiene a $X$ se e solo se $a = b = 0$.
Ci sono passaggi e ragionamenti che non mi tornano. Ho capito grazie al vostro intervento che aggiunge $f_0(x)$ come simbolo del vettore nullo del sottospazio $X$, ma non capisco perché essendo nullo a volte lo considera e a volte no, come nel caso di $a$ e $b$.
Sicuramente sono passaggi banali ma al momento la mia mente è piuttosto annebbiata/stanca. Grazie!
@ dissonance
Avevo capito che lo spazio vettoriale di partenza fosse quello delle sole funzioni continue e lineari definite in un intervallo chiuso e limitato. Se, viceversa, lo spazio vettoriale di partenza è quello delle funzioni continue definite nel medesimo intervallo, come dovrebbe più realisticamente essere (sarebbe bastato leggere più attentamente la consegna), hai senz'altro ragione.
Tuttavia, non si comprende come la tesi di cui sopra possa essere dimostrata nel caso più generale. Insomma, ho l'impressione che la consegna non sia del tutto chiara. Magari mi sfugge qualcosa.
Avevo capito che lo spazio vettoriale di partenza fosse quello delle sole funzioni continue e lineari definite in un intervallo chiuso e limitato. Se, viceversa, lo spazio vettoriale di partenza è quello delle funzioni continue definite nel medesimo intervallo, come dovrebbe più realisticamente essere (sarebbe bastato leggere più attentamente la consegna), hai senz'altro ragione.
"mic_1":
... dimostrare che $C([[0,1]])$ si scrive come somma diretta di $ X \oplus X segnat$ dove $X segnat = {fin C([[0,1]]);f(x)=ax+b }
...$
Tuttavia, non si comprende come la tesi di cui sopra possa essere dimostrata nel caso più generale. Insomma, ho l'impressione che la consegna non sia del tutto chiara. Magari mi sfugge qualcosa.
@mic: È esattamente la stessa cosa del mio post precedente. E $f_0$ NON è assolutamente il vettore nullo. Invece $f_0$ è la proiezione di $f$ su $X$, se proprio vuoi dargli un nome. Sospetto che tu non abbia chiaro il concetto di "somma diretta", meglio andarlo a rivedere sui libri di algebra lineare.
@SergeantElias: A me sembra che fili tutto. Anche la notazione è standard (tranne ovviamente $X$ e $\bar{X}$ che sono ad hoc). Si tratta di un problema di algebra lineare mascherato da problema di analisi.
@SergeantElias: A me sembra che fili tutto. Anche la notazione è standard (tranne ovviamente $X$ e $\bar{X}$ che sono ad hoc). Si tratta di un problema di algebra lineare mascherato da problema di analisi.
"anonymous_0b37e9":
Basta osservare che il sottospazio $X$ è costituito dal solo vettore nullo. Del resto, una funzione continua e lineare che si annulla agli estremi dell'intervallo di definizione è ovunque nulla. Insomma, un qualsiasi spazio vettoriale è somma diretta di se stesso e del sottospazio vettoriale costituito dal solo vettore nullo.
Ti ringrazio per l'intervento. Il fatto che X avesse il solo vettore nullo lo avevo capito anche perchè è chiaro quando si presenta una funzione del tipo f(0)=f(1)=0.
Non capivo più che altro la forma usata dal prof e in seguito al calcolo di a e b. (Nota: all'orale ci verranno richiesti i soli esercizi presenti nella documentazione del prof.)
Quello che non capisco è proprio nel calcolo della somma diretta. Vengono calcolati a e b, oltre che affermare che la funzione f(x)=ax+b appartiene a X quando a=b=0. Questo a cosa serve? Per l'intersezione forse?
Io devo dimostrare che X+Xsegnat in somma diretta appartenga allo spazio delle funzioni continue e che pertanto possa essere a sua volta decomposto nella somma univoca di un elemento di X e un elemento di Xsegnat grazie al fatto che l'intersezione dei due sottospazi è un sottospazio costituito dal solo vettore nullo. Giusto?
@dissonance: se non ricordo male è subentrata la somma diretta una volta scoperta che l'unione di due sottospazi non è un sottospazio a differenza della loro intersezione.
Inoltre, ho provato a guardarmi qualche video su youtube ma viene affrontato come esame di algebra lineare e geometria...i concetti saranno pure gli stessi ma la forma cambia molto ed io ho bisogno di seguire la traccia attuale.
Grazie ragazzi
"mic_1":
Inoltre, ho provato a guardarmi qualche video su youtube ma viene affrontato come esame di algebra lineare e geometria
Video su youtube?!?? Lo so che oggi fate tutti così ma è assolutamente un modo *pessimo* di studiare. Devi andarti a leggere la definizione su un libro, e si, sarà un libro di algebra lineare visto che è un concetto di algebra lineare. Dopo devi scervellarti per capire come applicarla al problema in questione.
Ormai hai tutti gli strumenti per farlo da solo, la mia risposta precedente contiene già una soluzione completa.
@ dissonance
Ho preso un abbaglio.
@ mic_1
Meglio se rifletti sui contenuti esposti da dissonance. Io ho spudoratamente banalizzato il problema.
Ho preso un abbaglio.
@ mic_1
Meglio se rifletti sui contenuti esposti da dissonance. Io ho spudoratamente banalizzato il problema.
"dissonance":
[quote="mic_1"]
Inoltre, ho provato a guardarmi qualche video su youtube ma viene affrontato come esame di algebra lineare e geometria
Video su youtube?!?? Lo so che oggi fate tutti così ma è assolutamente un modo *pessimo* di studiare. Devi andarti a leggere la definizione su un libro, e si, sarà un libro di algebra lineare visto che è un concetto di algebra lineare. Dopo devi scervellarti per capire come applicarla al problema in questione.
Ormai hai tutti gli strumenti per farlo da solo, la mia risposta precedente contiene già una soluzione completa.[/quote]
Ho solo le dispense del prof. e posso approfondire solo ricercando del materiale online. Non posso fare altrimenti. Grazie cmq.
Biblioteche? Esistono ancora ... ... e libri e dispense ci sono anche online ...
... e libri e dispense ci sono anche online ...
La biblioteca del mio paese non è fornita. Cmq si online c'è di tutto ma se avessi risolto da solo non avrei aperto un post.
Cmq grazie per le dritte o presunte tali...
NB: i post si aprono proprio quando non si hanno ben chiari certi argomenti che sia di teoria o di pratica. Fa niente... grazie cmq...
Cmq grazie per le dritte
o presunte tali...NB: i post si aprono proprio quando non si hanno ben chiari certi argomenti che sia di teoria o di pratica. Fa niente... grazie cmq...
Non è neanche giusto che adesso ti prendi la colpa di tutti, io penso che studiare su YouTube sia una cattiva idea, non ho niente contro di te in particolare.
Quello che volevo dire è che se hai difficoltà con questo esercizio è perché non hai chiaro il concetto di "somma diretta", che avresti dovuto sapere dal corso di algebra lineare. Sono cose che succedono. Quello che dovresti fare ora è recuperare questa lacuna. Fare qualche vecchio esercizio sull'argomento è una buona idea.
La cosa più importante è che tu capisca la definizione: uno spazio vettoriale, come per esempio $C[0,1]$ è "somma diretta" dei suoi sottospazi $X, \bar{X}$ se e solo se succedono queste due cose:
\[
i)\ C[0, 1]=X+\bar{X} \qquad ii)\ X\cap \bar{X}=\{0\}.\]
(Dove \(0\) si riferisce alla funzione identicamente nulla). Per verificare la i) si procede come nel mio post precedente, che è sostanzialmente lo stesso di ciò che ha fatto il prof. Devi dimostrare che ogni funzione \(f\in C[0,1]\) si può scrivere come somma di un elemento di \(X\) e di uno di \(\bar{X}\). Per verificare la ii) tocca mostrare che se un elemento di \(\bar{X}\) è anche elemento di \(X\) allora esso è la funzione identicamente nulla.
Quello che volevo dire è che se hai difficoltà con questo esercizio è perché non hai chiaro il concetto di "somma diretta", che avresti dovuto sapere dal corso di algebra lineare. Sono cose che succedono. Quello che dovresti fare ora è recuperare questa lacuna. Fare qualche vecchio esercizio sull'argomento è una buona idea.
La cosa più importante è che tu capisca la definizione: uno spazio vettoriale, come per esempio $C[0,1]$ è "somma diretta" dei suoi sottospazi $X, \bar{X}$ se e solo se succedono queste due cose:
\[
i)\ C[0, 1]=X+\bar{X} \qquad ii)\ X\cap \bar{X}=\{0\}.\]
(Dove \(0\) si riferisce alla funzione identicamente nulla). Per verificare la i) si procede come nel mio post precedente, che è sostanzialmente lo stesso di ciò che ha fatto il prof. Devi dimostrare che ogni funzione \(f\in C[0,1]\) si può scrivere come somma di un elemento di \(X\) e di uno di \(\bar{X}\). Per verificare la ii) tocca mostrare che se un elemento di \(\bar{X}\) è anche elemento di \(X\) allora esso è la funzione identicamente nulla.
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