Problema Variazionale
Ciao a tutti, sto frequentando il corso di modelli matematici e fisici e mi sono imbattuto in questo problema che fatico a risolvere, riporto la traccia e di seguito la mia strategia di risoluzione.
Problema:
Si consideri il problema variazionale $ \min_{A}F_{\lambda} $, dove il funzionle $F_{\lambda}$ e l'insieme delle funzioni ammissibili $A$ sono definiti come segue :
$ F_{\lambda}=\int_{0}^{1}[(1+u^{2})u'^{2}+\lambda \cos(u) ]dx $ , $A={u\in W^{1,2}(0,1): u(0)=u(1)=0}$
Determinare il valore critico $\lambda_{cr}$ del parametro reale non negativo $\lambda$ al quale un minimante non nullo $u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$
Tentativo di risoluzione:
Come primo passo vado a definire attraverso l'equazione di Eulero-Lagrange una condizione da soddisfare affinché una funzione generica $u\in A$ sia minimante del funzionale. In altre parole proseguo con lo sviluppo della seguente equazione differenziale :
$\frac{\d }{\dx}\frac{\partial f }{\partial u'}-\frac{\partial f }{\partial u}=0$ dove $f=(1+u^{2})u'^{2}+\lambda \cos(u)$
ottenendo :
$2u''(1+u^{2})+2u(u')^{2}+\lambda \sin(u)=0$
Quindi tutte le soluzioni di tale equazione differenziale(dipendenti dal parametro \lambda) con le condizioni al contorno " $u(0)=u(1)=0$ " sono un minimante del funzionale.
Mi sono concentrato a questo punto sulla seconda parte della richiesta ossia quella della presenza della biforcazione.
Sono quindi passato dall'equazione differenziale del secondo ordine non lineare in un sistema di 2 equazioni del primo ordine attraverso la relazione :
${ ( u'=y ),( y'=-(u)/(1+u^{2})y^{2}-\lambda/(2(1+u^{2}))\sin(u)):}$
che ci porta alla definizione dei punti di equilibrio nel piano delle fasi:
${ ( y=0 ),( u=0+k\pi):}$
Arrivato qui non so più come proseguire o meglio ho tentato di linearizzare il sistema intorno al punto stabile (0,0) ho scritto lo Jacobiano e ho visto per quale $\lambda$ ho una modifica nella parte reale del segno degli autovalori . Tuttavia proseguendo in tale modo arrivo a dire che $\lambda_{cr}=0$ e non sono convinto di tale risultato.
volevo quindi chiedere se qualcuno riesce a risolvere tale problema e riesce a spiegarmi bene cosa significa la richiesta del problema ossia il significato di "$u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$"
Grazie a tutti
Problema:
Si consideri il problema variazionale $ \min_{A}F_{\lambda} $, dove il funzionle $F_{\lambda}$ e l'insieme delle funzioni ammissibili $A$ sono definiti come segue :
$ F_{\lambda}=\int_{0}^{1}[(1+u^{2})u'^{2}+\lambda \cos(u) ]dx $ , $A={u\in W^{1,2}(0,1): u(0)=u(1)=0}$
Determinare il valore critico $\lambda_{cr}$ del parametro reale non negativo $\lambda$ al quale un minimante non nullo $u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$
Tentativo di risoluzione:
Come primo passo vado a definire attraverso l'equazione di Eulero-Lagrange una condizione da soddisfare affinché una funzione generica $u\in A$ sia minimante del funzionale. In altre parole proseguo con lo sviluppo della seguente equazione differenziale :
$\frac{\d }{\dx}\frac{\partial f }{\partial u'}-\frac{\partial f }{\partial u}=0$ dove $f=(1+u^{2})u'^{2}+\lambda \cos(u)$
ottenendo :
$2u''(1+u^{2})+2u(u')^{2}+\lambda \sin(u)=0$
Quindi tutte le soluzioni di tale equazione differenziale(dipendenti dal parametro \lambda) con le condizioni al contorno " $u(0)=u(1)=0$ " sono un minimante del funzionale.
Mi sono concentrato a questo punto sulla seconda parte della richiesta ossia quella della presenza della biforcazione.
Sono quindi passato dall'equazione differenziale del secondo ordine non lineare in un sistema di 2 equazioni del primo ordine attraverso la relazione :
${ ( u'=y ),( y'=-(u)/(1+u^{2})y^{2}-\lambda/(2(1+u^{2}))\sin(u)):}$
che ci porta alla definizione dei punti di equilibrio nel piano delle fasi:
${ ( y=0 ),( u=0+k\pi):}$
Arrivato qui non so più come proseguire o meglio ho tentato di linearizzare il sistema intorno al punto stabile (0,0) ho scritto lo Jacobiano e ho visto per quale $\lambda$ ho una modifica nella parte reale del segno degli autovalori . Tuttavia proseguendo in tale modo arrivo a dire che $\lambda_{cr}=0$ e non sono convinto di tale risultato.
volevo quindi chiedere se qualcuno riesce a risolvere tale problema e riesce a spiegarmi bene cosa significa la richiesta del problema ossia il significato di "$u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$"
Grazie a tutti
Risposte
Ci tengo a dire che sono un principiante,però vorrei chiederti una cosa,che non mi risulta chiara nel tuo procedimento,ho rifatto i conti per l'equazione di Eulero Lagrange e ho trovato:
$ (partialf)/(partialu)-d/dx((partialf)/(partialu'))=2u(u')^2-lambdasin(u)-(d(2u'(1+u^2)))/dx $
ora poichè sia $u$ che $u'$ sono in funzione di $x$ come fa
$ (d(2u'(1+u^2)))/dx $ ad essere uguale a $ 2u''(1+u^2) $ ?
la domanda mi sorge perchè la derivata del prodotto $2u^2u'$
dovrebbe essere :
$ 2u^2u''+2u'd/dx(u^2)$
ora
$d(u^2)/dx=2u'u$
e quindi $(d(2u'(1+u^2)))/dx$ è uguale a:
$2u''+2u^2u''+4(u')^2u$
sostituendo,l'equazione di Eulero Lagrange diventa:
$ 2u(u')^2-lambdasin(u)-2u''-2u^2u''-4u(u')^2=0 $
e semplificando
$ lambdasin(u)+2u^2u''+2u(u')^2+2u''=0 $
Quindi se il mio ragionamento è esatto,significa che devi provare a trovare una soluzione usando l'ultima equazione differenziale che ti ho scritto
$ (partialf)/(partialu)-d/dx((partialf)/(partialu'))=2u(u')^2-lambdasin(u)-(d(2u'(1+u^2)))/dx $
ora poichè sia $u$ che $u'$ sono in funzione di $x$ come fa
$ (d(2u'(1+u^2)))/dx $ ad essere uguale a $ 2u''(1+u^2) $ ?
la domanda mi sorge perchè la derivata del prodotto $2u^2u'$
dovrebbe essere :
$ 2u^2u''+2u'd/dx(u^2)$
ora
$d(u^2)/dx=2u'u$
e quindi $(d(2u'(1+u^2)))/dx$ è uguale a:
$2u''+2u^2u''+4(u')^2u$
sostituendo,l'equazione di Eulero Lagrange diventa:
$ 2u(u')^2-lambdasin(u)-2u''-2u^2u''-4u(u')^2=0 $
e semplificando
$ lambdasin(u)+2u^2u''+2u(u')^2+2u''=0 $
Quindi se il mio ragionamento è esatto,significa che devi provare a trovare una soluzione usando l'ultima equazione differenziale che ti ho scritto
Ci ho pensato un po', ma il testo mi pare strano...
Infatti, dato che per ogni fissato $lambda in RR$ l'integrando:
\[
f(x,u,\xi)= f(u,\xi):=(1+u^2)\xi^2 + \lambda \cos u
\]
è di classe $C^\infty$, soddisfa la limitazione:
\[
f(x,u,\xi)\geq \xi^2-\lambda
\]
per ogni $(x,u,xi) in (0,1)xxRR^2$ e che la funzione parziale \(\xi\mapsto f(x,u,\xi)\) è strettamente convessa in $RR$ per ogni $(x,u) in (0,1)xx RR$, il problema variazionale ha un'unica soluzione in $W_0^(1,2)(0,1)$ che è pure regolare in $(0,1)$ (cfr. questo mio altro post).
Quindi la soluzione dell'equazione di Eulero-Lagrange con condizioni al bordo è unica per ogni valore del parametro $lambda$.
Dato che \(\bar{u}(x):=0\) risolve l'equazione di Eulero-Lagrange con condizioni al bordo per ogni $lambda$, essa è l'unica soluzione del problema... Dunque non vedo perché ci dovrebbe essere una biforcazione.
***
Domanda Bonus:
Sfruttando la condizione di minimo, provare che l'unica soluzione \(\bar{u}\) del problema \(\min_A F_\lambda\) ha il grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione $x=1/2$.
Infatti, dato che per ogni fissato $lambda in RR$ l'integrando:
\[
f(x,u,\xi)= f(u,\xi):=(1+u^2)\xi^2 + \lambda \cos u
\]
è di classe $C^\infty$, soddisfa la limitazione:
\[
f(x,u,\xi)\geq \xi^2-\lambda
\]
per ogni $(x,u,xi) in (0,1)xxRR^2$ e che la funzione parziale \(\xi\mapsto f(x,u,\xi)\) è strettamente convessa in $RR$ per ogni $(x,u) in (0,1)xx RR$, il problema variazionale ha un'unica soluzione in $W_0^(1,2)(0,1)$ che è pure regolare in $(0,1)$ (cfr. questo mio altro post).
Quindi la soluzione dell'equazione di Eulero-Lagrange con condizioni al bordo è unica per ogni valore del parametro $lambda$.
Dato che \(\bar{u}(x):=0\) risolve l'equazione di Eulero-Lagrange con condizioni al bordo per ogni $lambda$, essa è l'unica soluzione del problema... Dunque non vedo perché ci dovrebbe essere una biforcazione.
***
Domanda Bonus:
Sfruttando la condizione di minimo, provare che l'unica soluzione \(\bar{u}\) del problema \(\min_A F_\lambda\) ha il grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione $x=1/2$.
Qualche osservazione:
Questo francamente mi ha fatto un po' sorridere, non te la prendere. Se non sai cosa significa "biforca", come fai a stabilire la "esistenza della biforcazione"? Un matematico non è in grado di procedere così: se le definizioni non sono chiare, si blocca.
Infine:
[ot]@Gugo: molto bello l'esercizio (dico sul serio). Peccato che la soluzione è molto più fessa di quanto avessi immaginato, visto che l'unica soluzione del problema per ogni \(\lambda\) è \(u=0\), e quindi chiaramente è simmetrica rispetto a quello che vuoi.
[/ot]
"daniele21":Non è ancora detto. L'implicazione è: SE $u$ è minimante ALLORA $u$ verifica l'equazione, ma nessuno ti dice che valga il viceversa. È lo stesso problema di quando calcoli massimi e minimi delle funzioni: non basta annullare la derivata prima, bisogna fare qualcos'altro per stabilire se i punti critici sono massimi, minimi, selle...
Tentativo di risoluzione:
Come primo passo vado a definire attraverso l'equazione di Eulero-Lagrange una condizione da soddisfare affinché una funzione generica $u\in A$ sia minimante del funzionale. [...]
$2u''(1+u^{2})+2u(u')^{2}+\lambda \sin(u)=0$
Quindi tutte le soluzioni di tale equazione differenziale(dipendenti dal parametro \lambda) con le condizioni al contorno " $u(0)=u(1)=0$ " sono un minimante del funzionale.[...]
Mi sono concentrato a questo punto sulla seconda parte della richiesta ossia quella della presenza della biforcazione.
[...]
spiegarmi bene cosa significa la richiesta del problema ossia il significato di "$u_{\lambda}$ biforca da $u_{0}\equiv 0$"
Questo francamente mi ha fatto un po' sorridere, non te la prendere. Se non sai cosa significa "biforca", come fai a stabilire la "esistenza della biforcazione"? Un matematico non è in grado di procedere così: se le definizioni non sono chiare, si blocca.
Infine:
[ot]@Gugo: molto bello l'esercizio (dico sul serio). Peccato che la soluzione è molto più fessa di quanto avessi immaginato, visto che l'unica soluzione del problema per ogni \(\lambda\) è \(u=0\), e quindi chiaramente è simmetrica rispetto a quello che vuoi.
[/ot]
@dissonance:
[ot]Ma l'intenzione era quella di dimostrare la cosa senza sapere chi era la soluzione del problema...
[/ot]
[ot]Ma l'intenzione era quella di dimostrare la cosa senza sapere chi era la soluzione del problema...
[/ot]
"gugo82":
Domanda Bonus:
Sfruttando la condizione di minimo, provare che l'unica soluzione \(\bar{u}\) del problema \(\min_A F_\lambda\) ha il grafico simmetrico rispetto alla retta di equazione $x=1/2$.
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