Funzione $max$
Salve a tutti,
ho trovato il seguente risultato: data
$J_n(t)=(1/t\int_0^t f(s)^n ds)^{1/n}$
con $f(s)>0, \forall s$, segue
$\lim_{n->oo} J_n(t)=\max_{0\leq s \leq t} f(s)$
e
${d J_n(t)}/{dt} = {J_n(t)^{1-n} }/{nt}(f(t)^n-J_n(t)^n)$
Avete idea di come si possano dimostrare queste uguaglianze? Per il limite, ho provato ad usare de l'Hopital ma non credo sia la strada giusta...
Grazie
ho trovato il seguente risultato: data
$J_n(t)=(1/t\int_0^t f(s)^n ds)^{1/n}$
con $f(s)>0, \forall s$, segue
$\lim_{n->oo} J_n(t)=\max_{0\leq s \leq t} f(s)$
e
${d J_n(t)}/{dt} = {J_n(t)^{1-n} }/{nt}(f(t)^n-J_n(t)^n)$
Avete idea di come si possano dimostrare queste uguaglianze? Per il limite, ho provato ad usare de l'Hopital ma non credo sia la strada giusta...
Grazie
Risposte
Supponendo che $f$ sia continua e non negativa in $[0,t]$, hai ovviamente \(J_n(t)\leq \max_{[0,t]} f\)... Quindi è probabile che si possa trovare una minorazione adeguata all'applicazione del Teorema dei Carabinieri.
Ci si deve pensare un po'.
La faccenda della derivazione è più semplice. Infatti dal teorema di derivazione della funzione composta e dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale discende che:
\[
\begin{split}
J_n^\prime (t) &= \frac{1}{n}\ \left(\frac{1}{t} \int_0^t f^n(s)\ \text{d} s\right)^{\frac{1}{n} -1} \cdot \left( -\frac{1}{t^2}\ \int_0^t f^n(s)\ \text{d} s + \frac{1}{t}\ f^n(t)\right)\\
&= \frac{1}{n}\ J_n^{1-n}(t)\cdot \left( - \frac{1}{t}\ J_n^n(t) + \frac{1}{t}\ f^n(t)\right)\\
&= \frac{1}{nt}\ J_n^{1-n}(t)\cdot \left( f^n(t) - J_n^n(t)\right)\; .
\end{split}
\]
Ci si deve pensare un po'.
La faccenda della derivazione è più semplice. Infatti dal teorema di derivazione della funzione composta e dal teorema fondamentale del Calcolo Integrale discende che:
\[
\begin{split}
J_n^\prime (t) &= \frac{1}{n}\ \left(\frac{1}{t} \int_0^t f^n(s)\ \text{d} s\right)^{\frac{1}{n} -1} \cdot \left( -\frac{1}{t^2}\ \int_0^t f^n(s)\ \text{d} s + \frac{1}{t}\ f^n(t)\right)\\
&= \frac{1}{n}\ J_n^{1-n}(t)\cdot \left( - \frac{1}{t}\ J_n^n(t) + \frac{1}{t}\ f^n(t)\right)\\
&= \frac{1}{nt}\ J_n^{1-n}(t)\cdot \left( f^n(t) - J_n^n(t)\right)\; .
\end{split}
\]
Grazie mille! La derivata non mi veniva perché (idiotamente per errore) la stavo calcolando rispetto a n
Il primo fatto è una conseguenza di un fatto più generale, ossia del fatto che se $\mu$ è una misura su uno spazio $\Omega$ e se $f\in L^p(\mu)$ per ogni $p$ "sufficientemente grande" ed $f\in L^oo(\mu)$ (qualche ipotesi è forse di troppo...) allora:
\[
\lim_{p\to \infty} \| f\|_{p,\Omega} = \| f\|_{\infty, \Omega}\; ,
\]
cioè:
\[
\lim_{p\to \infty} \left( \int_\Omega |f|^p\ \text{d} \mu \right)^{1/p} = \operatorname{esssup}_{\Omega} |f|\; .
\]
In particolare, nel tuo caso, stai considerando una funzione $f\geq 0$ che è in $L^n(\mu)$, sullo spazio $\Omega =[0,t]$ ($t>0$ è fissato) con misura $\mu(E) = \frac{1}{t} "m"(E)$ (in cui $"m"(*)$ è l'usuale misura di Lebesgue, di modo che nell'integrale che definisce la $p$-norma hai \(\text{d}\mu = \frac{1}{t}\ \text{d} \text{m} = \frac{1}{t}\ \text{d} s\)), per ogni $n\in \NN$ ed in $L^oo(\mu)$ (ad esempio, una funzione continua va benissimo).
\[
\lim_{p\to \infty} \| f\|_{p,\Omega} = \| f\|_{\infty, \Omega}\; ,
\]
cioè:
\[
\lim_{p\to \infty} \left( \int_\Omega |f|^p\ \text{d} \mu \right)^{1/p} = \operatorname{esssup}_{\Omega} |f|\; .
\]
In particolare, nel tuo caso, stai considerando una funzione $f\geq 0$ che è in $L^n(\mu)$, sullo spazio $\Omega =[0,t]$ ($t>0$ è fissato) con misura $\mu(E) = \frac{1}{t} "m"(E)$ (in cui $"m"(*)$ è l'usuale misura di Lebesgue, di modo che nell'integrale che definisce la $p$-norma hai \(\text{d}\mu = \frac{1}{t}\ \text{d} \text{m} = \frac{1}{t}\ \text{d} s\)), per ogni $n\in \NN$ ed in $L^oo(\mu)$ (ad esempio, una funzione continua va benissimo).
Grande gugo82!
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