Teoria delle distribuzioni - Come si dimostra se una distribuzione è continua?

[rino.f.95]

Data una funzione \( f \) localmente integrabile, una distribuzione \( T \) ad essa associata ed una funzione \( \varphi \in \mathcal{D}\) (con \( \mathcal{D} \) spazio delle funzioni test), si definisce la distribuzione di \( T \) associata ad \( f \) come \( T_{f} = \int ^{a} _{b} f(x) \varphi (x) dx \) e, per essere tale, deve rispettare i vincoli di essere lineare e continua.
Per la linearità non ho grossi problemi perché è abbastanza intuitiva, ma per la continuità? Dal punto di vista pratico (non stando troppo attaccati alla definizione di continuità di una distribuzione...) come si fa a dimostrare che una distriuzione è continua?
Vi propongo un esercizio:

"Verificare che la funzione \( f(x) = e^{x^{2}} \) determina una distribuzione.
...
Per verificare la continuità della distribuzione \( T_{f} \) si utilizza il seguente metodo:
\( || \leq C_{k} || D^\alpha \varphi ||_{\infty} \), dove \( C_{k} \) è una costante che dipende da \( k \), con \( k \) insieme compatto tale che \( Supp(\varphi) \subseteq k \), mentre col simbolo \( D^{\alpha} \) indichiamo la derivata alf-esima della funzione \( \varphi \).
Per cui abbiamo, con \( \alpha = 0 \):

\( || \leq \int ^{+\infty} _{-\infty} e^{x^{2}} |\varphi (x) | dx \leq || \varphi ||_{\infty} \int _{k} e^{x^{2}} dx \leq || \varphi||_{\infty} C_{k}\).

La continuità di \( T_{f} \) è così verificata."

1. Il fatto di far vedere che il modulo della distribuzione sia limitato superiormente da un valore finito, cosa ha a che fare col fatto che essa possa essere o no continua?
2. Qual è il significato di introdurre \( D^{\alpha}\) e poi porre \( \alpha = 0 \)?

In sostanza, perché il metodo usato in questo esercizio mi garantisce che la mia distribuzione sia continua?

[dissonance]

Non è che "la distribuzione è continua": ti esprimi male. Stai dimostrando che il funzionale lineare $T_f$ è continuo rispetto alla topologia di \(\mathcal D\). Ti può sembrare una pignoleria ma io avevo capito che volessi dimostrare tutta un'altra cosa, e cioè: data una distribuzione dimostrare che essa è associata ad una funzione continua.

Quanto alla domanda, stai verificando il criterio che ti è proposto dal libro: il funzionale $T_f$ è continuo su \(\mathcal{D}\) se e solo se per ogni $K$ e per ogni $\alpha$ esiste una costante \(C_{k, \alpha}\) (secondo me la costante dipende anche da \(\alpha\)) tale che eccetera eccetera. E questo è esattamente quello che viene fatto dopo.