ODE del secondo ordine in $CC$ nell'intorno di un punto regolare dell'equazione
Salve,
sto studiando sul Rossetti (quì) da pag. 464 , cercando di capire la dimostrazione dell'esistenza ,e dell'olomorfismo, della soluzione di un'equazione differenziale del secondo ordine nell'intorno di un punto regolare.
Vado subito al punto non chiaro. Abbiamo il sistema di equazioni :
$\{(u'=etau+rhov),(v'=varphiv+chiu),(u(z_0)=alpha),(v(z_0)=beta):}$
siamo in un cerchio di centro $z_0$ in cui le funzioni che moltiplicano $u,v$ sono olomorfe , e pongo
$M=max{|eta|,|rho|,|varphi|,|chi|}\quad,\quad m>={|alpha|,|beta|}\quad,\quad r=|z-z_0|$
Ci si può ricondurre a un sistema di equazioni integrali equivalente al sistema di eq. differenziali, che però ora non scrivo.
Adesso si definisce la successione:
$u_0=alpha\qquad ..\qquad u_{n}=alpha+\int_{z_0}^{z}[etau_{n-1}+rhov_{n-1}]dz'$ (analogamente per $v$)
A questo punto Rossetti fa vedere che
$|u_1-u_0|<=2mMr$ (stessa cosa per $v$) e fin quì ci sono, poi dice che $|u_2-u_1|<=m(2Mr)^2/(2!)$ e a me non torna quel $2!$. Svolgendo i calcoli:
$|u_2-u_1|<=\int_{z_0}^{z}|eta(u_1-u_0)|dz'+\int_{z_0}^{z}|rho(v_1-v_0)|dz'<=2mMr\int_{z_0}^{z}|eta|dz'+2mMr\int_{z_0}^{z}|rho|dz'<=2mMr*M\int_{z_0}^{z}dz'+2mMr*M\int_{z_0}^{z}dz'=m(2Mr)^2$
e appunto mi manca quel $2$ a denominatore.
Avevo anche pensato che bisognava integrare anche $r$ , ma in questo caso per come viene posta la questione da Rossetti non è chiaro come integrare, perchè $r$ non è olomorfa, quindi non posso integrare come mi pare, e non riesco a trovare l'errore nei calcoli...
sto studiando sul Rossetti (quì) da pag. 464 , cercando di capire la dimostrazione dell'esistenza ,e dell'olomorfismo, della soluzione di un'equazione differenziale del secondo ordine nell'intorno di un punto regolare.
Vado subito al punto non chiaro. Abbiamo il sistema di equazioni :
$\{(u'=etau+rhov),(v'=varphiv+chiu),(u(z_0)=alpha),(v(z_0)=beta):}$
siamo in un cerchio di centro $z_0$ in cui le funzioni che moltiplicano $u,v$ sono olomorfe , e pongo
$M=max{|eta|,|rho|,|varphi|,|chi|}\quad,\quad m>={|alpha|,|beta|}\quad,\quad r=|z-z_0|$
Ci si può ricondurre a un sistema di equazioni integrali equivalente al sistema di eq. differenziali, che però ora non scrivo.
Adesso si definisce la successione:
$u_0=alpha\qquad ..\qquad u_{n}=alpha+\int_{z_0}^{z}[etau_{n-1}+rhov_{n-1}]dz'$ (analogamente per $v$)
A questo punto Rossetti fa vedere che
$|u_1-u_0|<=2mMr$ (stessa cosa per $v$) e fin quì ci sono, poi dice che $|u_2-u_1|<=m(2Mr)^2/(2!)$ e a me non torna quel $2!$. Svolgendo i calcoli:
$|u_2-u_1|<=\int_{z_0}^{z}|eta(u_1-u_0)|dz'+\int_{z_0}^{z}|rho(v_1-v_0)|dz'<=2mMr\int_{z_0}^{z}|eta|dz'+2mMr\int_{z_0}^{z}|rho|dz'<=2mMr*M\int_{z_0}^{z}dz'+2mMr*M\int_{z_0}^{z}dz'=m(2Mr)^2$
e appunto mi manca quel $2$ a denominatore.
Avevo anche pensato che bisognava integrare anche $r$ , ma in questo caso per come viene posta la questione da Rossetti non è chiaro come integrare, perchè $r$ non è olomorfa, quindi non posso integrare come mi pare, e non riesco a trovare l'errore nei calcoli...
Risposte
Ha l'aria di essere un fattore ininfluente per il calcolo che segue. Sostituisci tutti i $2$ e $2!$ con una costante $C>0$ e vedi se riesci a concludere la dimostrazione lo stesso.
Il problema è che poi usa tutto questo per far vedere che la seri è assolutamente convergente in quanto maggiorata da
$me^(2Mr)=\sum_{n=0}^\infty\(m(2Mr)^n)/(n!)$ , se al posto di $n!$ metto una costante positiva qualsiasi come dici tu posso arrivare alla stessa conclusione?
Ho trovato sull' " Ivanovic Smirnow-Corso di matematica superiore" lo stesso procedimento. Lui pone $z_0=0 \quad,\quad z=rhoe^(iphi) \quad,\quad dz=e^(iphi) drho$
e dice di integrare lungo un segmento che va da $0$ a $z$, e scrive l'integrale che ha come estremi $0$ e $rho$
Poi facendo i moduli e le maggiorazioni gli esponenziali spariscono e restano integrali del tipo $int_0^(rho) (rho')^adrho'$ nelle iterazioni successive, che permette di avere quei fattoriali a denominatore.
Anche se non ricordo perfettamente come si fanno gli integrali in $CC$ (e in generale gli integrali di linea
), sono abbastanza sicuro che si debba parametrizzare la curva, e gli estremi di integrazione saranno gli estremi dell'intervallo in cui varia il parametro che descrive la curva e non $rho$.
Quindi il suo ragionamento non mi torna..
$me^(2Mr)=\sum_{n=0}^\infty\(m(2Mr)^n)/(n!)$ , se al posto di $n!$ metto una costante positiva qualsiasi come dici tu posso arrivare alla stessa conclusione?
Ho trovato sull' " Ivanovic Smirnow-Corso di matematica superiore" lo stesso procedimento. Lui pone $z_0=0 \quad,\quad z=rhoe^(iphi) \quad,\quad dz=e^(iphi) drho$
e dice di integrare lungo un segmento che va da $0$ a $z$, e scrive l'integrale che ha come estremi $0$ e $rho$
Poi facendo i moduli e le maggiorazioni gli esponenziali spariscono e restano integrali del tipo $int_0^(rho) (rho')^adrho'$ nelle iterazioni successive, che permette di avere quei fattoriali a denominatore.
Anche se non ricordo perfettamente come si fanno gli integrali in $CC$ (e in generale gli integrali di linea
), sono abbastanza sicuro che si debba parametrizzare la curva, e gli estremi di integrazione saranno gli estremi dell'intervallo in cui varia il parametro che descrive la curva e non $rho$.Quindi il suo ragionamento non mi torna..
"Cuppls":E no, ovviamente no. Quel $n!$ è essenziale per la convergenza della serie e quindi è essenziale per tutto.
Il problema è che poi usa tutto questo per far vedere che la seri è assolutamente convergente in quanto maggiorata da
$me^(2Mr)=\sum_{n=0}^\infty\(m(2Mr)^n)/(n!)$ , se al posto di $n!$ metto una costante positiva qualsiasi come dici tu posso arrivare alla stessa conclusione?
Ti ringrazio innanzitutto per le risposte.
Sto pensando che in realtà ho detto una fesseria, perchè l'integrale è calcolato bene, tiene fisso l'angolo e fa variare il parametro $rho'$ lungo il segmento da $0$ a $rho$ (di solito ero abituato a parametrizzarci archi di circonferenze con $z=rhoe^(iphi)$ e mi sono fatto fregare).
Però resta comunque qualcosa che non mi convince..
Perchè magari se decidessi di integrare lungo un altro percorso cambierebbe tutto
Sto pensando che in realtà ho detto una fesseria, perchè l'integrale è calcolato bene, tiene fisso l'angolo e fa variare il parametro $rho'$ lungo il segmento da $0$ a $rho$ (di solito ero abituato a parametrizzarci archi di circonferenze con $z=rhoe^(iphi)$ e mi sono fatto fregare).
Però resta comunque qualcosa che non mi convince..
Perchè magari se decidessi di integrare lungo un altro percorso cambierebbe tutto
se decidessi di integrare lungo un altro percorso cambierebbe tuttoE che fa? L'importante è avere una formulazione integrale per la tua equazione. Una volta che ce l'hai, inneschi la macchina delle iterate successive.
[NOTA] Quello che stai leggendo è evidentemente un argomento reale: chi scrive ha in mente che la variabile indipendente sia reale e sta cercando di rifare il teorema di esistenza e unicità locale per le equazioni differenziali ordinarie. Mi ricordo che c'era un vecchio post di Gugo che spiegava i conti della dimostrazione di quel teorema molto nel dettaglio.
"dissonance":
E che fa? L'importante è avere una formulazione integrale per la tua equazione. Una volta che ce l'hai, inneschi la macchina delle iterate successive.
Non so, magari se trovo un percorso lungo il quale il risultato non è sufficiente a far convergere la serie?
Purtroppo non ho trovato il post di gugo
mica per caso ce l'hai sottomano? 
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