Integrale con teorema dei residui
Ciao ragazzi, ho bisogno del vostro aiuto. Non riesco a impostare il seguente integrale, qualcuno può aiutarmi?
$ int_{+delD}z/sin^3(z/2) dz $
dove $ D={zinC : |z|<=1} $
Ho difficoltà del capire come "semplificare" quel seno per poterne calcolare i poli.
$ int_{+delD}z/sin^3(z/2) dz $
dove $ D={zinC : |z|<=1} $
Ho difficoltà del capire come "semplificare" quel seno per poterne calcolare i poli.
Risposte
Devi calcolare gli zeri del seno, non i poli. Gli zeri di \(\sin^3\) sono gli stessi di \(\sin\). Individua quelli che cadono in \(|z|\le 1\).
Allora, gli zeri di $sin$, che sono uguali a $sin^3$ sono: $ -pi, 0, pi, 2pi $ .
Il grafico della funzione da considerare risulta essere questo:
Come faccio ora a capire quali zeri considerare?
Il grafico della funzione da considerare risulta essere questo:
Come faccio ora a capire quali zeri considerare?
"dissonance":
Devi calcolare gli zeri del seno, non i poli. Gli zeri di \(\sin^3\) sono gli stessi di \(\sin\). Individua quelli che cadono in \(|z|\le 1\).
ci aiuteresti a capire come procedere?
Ragazzi, scusate se mi intrometto, ma dissonance è solito lasciare a me i lavori di bassa manovalanza. Ebbene, vi assicuro che non lo deluderò. Insomma, siamo amici di vecchia data. 
Poiché:
$[sin(z/2)=0] rarr [z/2=n\pi] rarr [z=2n\pi]$
$[z=0]$ è l'unica singolarità interna al dominio. Inoltre, poiché:
$lim_(z->0)z^2*z/sin^3(z/2)=lim_(z->0)8*(z/2)/sin(z/2)*(z/2)/sin(z/2)*(z/2)/sin(z/2)=8$
$[z=0]$ è un polo del 2° ordine. Per concludere, è necessario calcolarne il residuo:
$lim_(z->0)(d)/(dz)z^3/sin^3(z/2)=$
$=lim_(z->0)(3z^2sin^3(z/2)-3/2z^3sin^2(z/2)cos(z/2))/sin^6(z/2)=$
$=lim_(z->0)(3z^2[2sin(z/2)-zcos(z/2)])/(2sin^4(z/2))=$
$=lim_(z->0)(3z^2[2[z/2-1/48z^3+o(z^3)]-z[1-1/8z^2+o(z^2)]])/(2[z/2+o(z)]^4)=$
$=lim_(z->0)(3z^2[z-1/24z^3+o(z^3)-z+1/8z^3+o(z^3)])/(1/8z^4+o(z^4))=$
$=lim_(z->0)(3z^2[1/12z^3+o(z^3)])/(1/8z^4+o(z^4))=$
$=lim_(z->0)(1/4z^5+o(z^5))/(1/8z^4+o(z^4))=$
$=lim_(z->0)(1/4z+o(z))/(1/8+o(1))=0$
Giova sottolineare che si sarebbe potuto procedere in modo più immediato calcolando direttamente lo sviluppo in serie di Laurent (Wolfram):
In questo caso, non sarebbe stato necessario calcolare nessuno dei due limiti precedenti. In definitiva:
$int_\gammaz/sin^3(z/2)dz=0$
Poiché:
$[sin(z/2)=0] rarr [z/2=n\pi] rarr [z=2n\pi]$
$[z=0]$ è l'unica singolarità interna al dominio. Inoltre, poiché:
$lim_(z->0)z^2*z/sin^3(z/2)=lim_(z->0)8*(z/2)/sin(z/2)*(z/2)/sin(z/2)*(z/2)/sin(z/2)=8$
$[z=0]$ è un polo del 2° ordine. Per concludere, è necessario calcolarne il residuo:
$lim_(z->0)(d)/(dz)z^3/sin^3(z/2)=$
$=lim_(z->0)(3z^2sin^3(z/2)-3/2z^3sin^2(z/2)cos(z/2))/sin^6(z/2)=$
$=lim_(z->0)(3z^2[2sin(z/2)-zcos(z/2)])/(2sin^4(z/2))=$
$=lim_(z->0)(3z^2[2[z/2-1/48z^3+o(z^3)]-z[1-1/8z^2+o(z^2)]])/(2[z/2+o(z)]^4)=$
$=lim_(z->0)(3z^2[z-1/24z^3+o(z^3)-z+1/8z^3+o(z^3)])/(1/8z^4+o(z^4))=$
$=lim_(z->0)(3z^2[1/12z^3+o(z^3)])/(1/8z^4+o(z^4))=$
$=lim_(z->0)(1/4z^5+o(z^5))/(1/8z^4+o(z^4))=$
$=lim_(z->0)(1/4z+o(z))/(1/8+o(1))=0$
Giova sottolineare che si sarebbe potuto procedere in modo più immediato calcolando direttamente lo sviluppo in serie di Laurent (Wolfram):
In questo caso, non sarebbe stato necessario calcolare nessuno dei due limiti precedenti. In definitiva:
$int_\gammaz/sin^3(z/2)dz=0$
Non è questione di bassa manovalanza, al contrario, sei molto più preparato di me su parecchie cose, come questa. Ottima risposta
Troppo buono.
Grazie!!
Buongiorno ragazzi, grazie per la risposta siete gentilissimi, ho solo qualche dubbio, spero mi potete ancora aiutare, non mi è ben chiaro perche $ z=0 $ è polo del secondo ordine, e anche perchè $ z^3 $ .
mi sono fatta un'idea sul perchè $ z=0 $ è polo del secondo ordine, ed è: siccome l'unica singolarità che cade nel dominio è $ 0 $ essa è una singolarità di terzo grado per il denominatore, mentre $ 0 $ è una singolarità semplice per il numeratore, quindi $ 3-1= 2 $, quindi $ 0 $ è un polo di secondo ordine per la mia funzione. Giusto? (lo spero
).
Mentre $ z^3 $ al numeratore perchè?
mi sono fatta un'idea sul perchè $ z=0 $ è polo del secondo ordine, ed è: siccome l'unica singolarità che cade nel dominio è $ 0 $ essa è una singolarità di terzo grado per il denominatore, mentre $ 0 $ è una singolarità semplice per il numeratore, quindi $ 3-1= 2 $, quindi $ 0 $ è un polo di secondo ordine per la mia funzione. Giusto? (lo spero
).Mentre $ z^3 $ al numeratore perchè?
"Mischaviolett":
... siccome l'unica singolarità che cade nel dominio è ...
Giusto.
"Mischaviolett":
Mentre $z^3$ al numeratore ...
In che senso $z^3$ al numeratore? Se $z_0$ è un polo di ordine $n$ della funzione $f(z)$, per calcolare il residuo, senza ricorrere allo sviluppo in serie di Laurent, si può ricorrere alla seguente formula:
$lim_(z->z_0)(d^(n-1))/(dz^(n-1))[(z-z_0)^nf(z)]$
In questo caso:
$lim_(z->0)(d)/(dz)[z^2z/sin^3(z/2)]=lim_(z->0)(d)/(dz)[z^3/sin^3(z/2)]$
Insomma, $z^3$ compare al numeratore solo nella formula utilizzata per calcolare il residuo.
Giusto, hai ragione non ho considerato la formula per il calcolo dei residui di ordine n, ora mi è più chiaro!
Ti ringrazio
Ti ringrazio
Prima di tutto, grazie per il tempo dedicatoci.
Vorrei chiederti alcuni chiarimenti in merito agli sviluppi di $seno$ e $coseno$.
Perché hai sviluppato fino al terzo ordine il $seno$ e fino al secondo il $coseno$ (parlo del numeratore) mentre $seno$ al denominatore viene sviluppato al primo ordine?
Non avresti dovuto sviluppare i $seni$ allo stesso modo visto che entrambi hanno lo sviluppo del primo ordine (anche se poi giustamente il seno del numeratore deve essere elevato alla quarta)?
Vorrei chiederti alcuni chiarimenti in merito agli sviluppi di $seno$ e $coseno$.
"anonymous_0b37e9":
Ragazzi, scusate se mi intrometto, ma dissonance è solito lasciare a me i lavori di bassa manovalanza. Ebbene, vi assicuro che non lo deluderò. Insomma, siamo amici di vecchia data.
$=lim_(z->0)(3z^2[2[z/2-1/48z^3+o(z^3)]-z[1-1/8z^2+o(z^2)]])/(2[z/2+o(z)]^4)=$
Perché hai sviluppato fino al terzo ordine il $seno$ e fino al secondo il $coseno$ (parlo del numeratore) mentre $seno$ al denominatore viene sviluppato al primo ordine?
Non avresti dovuto sviluppare i $seni$ allo stesso modo visto che entrambi hanno lo sviluppo del primo ordine (anche se poi giustamente il seno del numeratore deve essere elevato alla quarta)?
Non esiste una regola fissa. Bisogna prestare attenzione a eventuali semplificazioni. Per esempio, al denominatore è sufficiente arrestarsi al primo ordine proprio perché non possono esserci. Viceversa, al numeratore, data la presenza di una somma, arrestando lo sviluppo del seno al primo ordine si ha un termine:
$2*[z/2+o(z)]=z+o(z)$
che si semplifica con il primo termine:
$-z*[1+o(1)]=-z+o(z)$
dello sviluppo del coseno. Insomma, non si potrebbe determinare l'ordine dell'infinitesimo. Solo aggiungendo un termine a entrambi gli sviluppi si riesce a determinarlo:
$2[z/2-1/48z^3+o(z^3)]-z[1-1/8z^2+o(z^2)]=1/12z^3+o(z^3)$
$2*[z/2+o(z)]=z+o(z)$
che si semplifica con il primo termine:
$-z*[1+o(1)]=-z+o(z)$
dello sviluppo del coseno. Insomma, non si potrebbe determinare l'ordine dell'infinitesimo. Solo aggiungendo un termine a entrambi gli sviluppi si riesce a determinarlo:
$2[z/2-1/48z^3+o(z^3)]-z[1-1/8z^2+o(z^2)]=1/12z^3+o(z^3)$
Tutto chiaro, grazie!
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