Segmenti in integrale con punti di ramificazione
Come avrete notato in questi giorni sono alle prese con integrali e valor principale. Non sono certo della correttezza del seguente esercizio:
Svolgimento:
Considero il logaritmo principale, definito da $log(z)=log(|z|) + i*Arg(z)$, con $Arg(z) \in [-pi,pi]$.
Considero un circuito come in figura. NOTA: Il $C_r$ in figura lo chiamo $C_epsilon$
Per il teorema dei residui, $int_{RR} log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1))=2*pi*i Res(f(z);z=i)$, visto che l'unica singolarità racchiusa da $C$ è $z=i$.
Calcolando tale residuo, allora l'integrale su $RR$ vale $1/2 * e^(ipi/4)*pi^2$.
Ma, come si nota dalla figura e per al'additività dell'integrale di linea, $C=C_{epsilon} \cup C_R \cup L_1 \cup L_2$. $L_1$ è il segmento che va da $[-R,-epsilon]$ e $L_2$ il segmento che va da $[epsilon,R]$.
Per il lemma del cerchio grande, l'integrale $ oint_(C_R) f(z)dz=0 $, e, tramite disuguaglianza ML maggiorando l'integrale sul cerchio piccolo $C_epsilon$ e prendendo il limite per $epsilon \rarr 0$, si vede che $ oint_(C_epsilon) f(z)dz=0 $.
Per cui, vanno considerati solo i contributi lungo i due segmenti.
Ora arrivano i dolori: non riesco a venirne fuori su come trattare i due segmenti.
La parametrizzazione di $L_1$ è data da $L_1={z \in RR: z=re^(ipi), -R
La parametrizzazione di $L_2$ è molto simile $L_2={z \in RR: z=re^(ipi), epsilon
Pertanto, devo calcolare la somma tra $ -int_{-infty}^{0}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr - int_{0}^{\infty}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr $.
Dovrei riuscire ad avere gli stessi estremi, ma così facendo questo termine mi si annulla.
Una volta risolto questo il problema è risolto, visto che ho anche già calcolato, come chiedeva il testo, $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx = pi/(sqrt(2))$.
Grazie a chiunque mi possa illuminare
Una volta calcolato $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $ , calcolare
$ int_(0)^(+infty) log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx $
Svolgimento:
Considero il logaritmo principale, definito da $log(z)=log(|z|) + i*Arg(z)$, con $Arg(z) \in [-pi,pi]$.
Considero un circuito come in figura. NOTA: Il $C_r$ in figura lo chiamo $C_epsilon$
Per il teorema dei residui, $int_{RR} log(x)/(sqrt(x)*(x^2+1))=2*pi*i Res(f(z);z=i)$, visto che l'unica singolarità racchiusa da $C$ è $z=i$.
Calcolando tale residuo, allora l'integrale su $RR$ vale $1/2 * e^(ipi/4)*pi^2$.
Ma, come si nota dalla figura e per al'additività dell'integrale di linea, $C=C_{epsilon} \cup C_R \cup L_1 \cup L_2$. $L_1$ è il segmento che va da $[-R,-epsilon]$ e $L_2$ il segmento che va da $[epsilon,R]$.
Per il lemma del cerchio grande, l'integrale $ oint_(C_R) f(z)dz=0 $, e, tramite disuguaglianza ML maggiorando l'integrale sul cerchio piccolo $C_epsilon$ e prendendo il limite per $epsilon \rarr 0$, si vede che $ oint_(C_epsilon) f(z)dz=0 $.
Per cui, vanno considerati solo i contributi lungo i due segmenti.
Ora arrivano i dolori: non riesco a venirne fuori su come trattare i due segmenti.
La parametrizzazione di $L_1$ è data da $L_1={z \in RR: z=re^(ipi), -R
La parametrizzazione di $L_2$ è molto simile $L_2={z \in RR: z=re^(ipi), epsilon
Pertanto, devo calcolare la somma tra $ -int_{-infty}^{0}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr - int_{0}^{\infty}(log(r)+ipi)/(sqrt(r)*(r^2+1))dr $.
Dovrei riuscire ad avere gli stessi estremi, ma così facendo questo termine mi si annulla.
Una volta risolto questo il problema è risolto, visto che ho anche già calcolato, come chiedeva il testo, $ int_(0)^(+infty) 1/(sqrt(x)*(x^2+1)) dx = pi/(sqrt(2))$.
Grazie a chiunque mi possa illuminare
Risposte
"feddy":
La parametrizzazione di $L_1$ è data da $L_1={z=re^(ipi) : -R lt r lt -epsilon}$ ...
Ciao feddy. Devi apportare almeno una piccola correzione a quella parametrizzazione. Come ben sai:
$[z=re^(ipi)] harr [r gt= 0]$
Se il problema è solo un segno, dovresti essere a cavallo.
SE non so nemmeno come ringraziarti per la tua disponibilità nel rispondere.
Ma certo. Solo che non so come, credo saranno conti, ma non mi torna il risultato finale.
Parametrizzando $L_1 ={z=re^(ipi), epsilon<|r|
Il risultato per $L_2$ è analogo, visto che la parametrizzazione è uguale: pertanto l'integrale su $L_1$ è uguale a quello su $L_2$.
Pertanto questi due integrali devono sommarsi e risulta, prendendo i limiti per $epsilon$ e $R$:
Con $I$ che è l'integrale che devo trovare, e $int_{0}^{+infty} (pi*i)/(sqrt(r)*(1+r^2))=i*pi^2/sqrt(2)$
Questo va posto uguale a $2*pi*iRes(f;z=i)=1/2 e^((ipi)/4) pi^2$
Eppure non riesco ancora a trovare il risultato desiderato: Wolfram, che è $[-pi^2/(2sqrt(2))]$
"anonymous_0b37e9":
Devi apportare almeno una piccola correzione a quella parametrizzazione
Ma certo. Solo che non so come, credo saranno conti, ma non mi torna il risultato finale.
Parametrizzando $L_1 ={z=re^(ipi), epsilon<|r|
Il risultato per $L_2$ è analogo, visto che la parametrizzazione è uguale: pertanto l'integrale su $L_1$ è uguale a quello su $L_2$.
Pertanto questi due integrali devono sommarsi e risulta, prendendo i limiti per $epsilon$ e $R$:
$ -2/i*int_{epsilon}^{R}(log(z)+ipi)/(sqrt(r)*(1+r^2))dr \rarr $$ -2/i*[I+ int_{0}^{+infty} (pi*i)/(sqrt(r)*(1+r^2))] $
Con $I$ che è l'integrale che devo trovare, e $int_{0}^{+infty} (pi*i)/(sqrt(r)*(1+r^2))=i*pi^2/sqrt(2)$
Questo va posto uguale a $2*pi*iRes(f;z=i)=1/2 e^((ipi)/4) pi^2$
Eppure non riesco ancora a trovare il risultato desiderato: Wolfram, che è $[-pi^2/(2sqrt(2))]$
"feddy":
... non so nemmeno come ringraziarti per la tua disponibilità nel rispondere ...
Lo faccio volentieri. Devi cambiare il percorso di integrazione:
Integrale taglio superiore
$int_(r)^(R)logx/(sqrtx(x^2+1))dx$
Integrale taglio inferiore
$-int_(r)^(R)(logx+2\pii)/(-sqrtx(x^2+1))dx$
Somma integrali
$2int_(r)^(R)(logx+\pii)/(sqrtx(x^2+1))dx$
Se quello fosse il percorso, allora no problem.
MA perché dovrei cambiare il percorso di integrazione? Ci ho pensato un po' ma non riesco a capire il perché: forse perché prendendo il logaritmo principale, allora $Arg(z) \in (\pi,\pi)$ (qui tu hai preso $(0,2pi)$, ma quello che importa è che sia un intervallo di lunghezza $2pi$.
Il mio sconcerto nasce dal fatto che a lezione abbiamo visto solamente l'esempio con integranda $log(x)*f(x)$, con $f(x)$ funzione pari: mi viene il sospetto che il mio circuito (in foto nel primo post) sia dovuto a questo caso "speciale" in cui $f$ è pari. Anche se ora non ne vedo bene il motivo.
MA perché dovrei cambiare il percorso di integrazione? Ci ho pensato un po' ma non riesco a capire il perché: forse perché prendendo il logaritmo principale, allora $Arg(z) \in (\pi,\pi)$ (qui tu hai preso $(0,2pi)$, ma quello che importa è che sia un intervallo di lunghezza $2pi$.
Il mio sconcerto nasce dal fatto che a lezione abbiamo visto solamente l'esempio con integranda $log(x)*f(x)$, con $f(x)$ funzione pari: mi viene il sospetto che il mio circuito (in foto nel primo post) sia dovuto a questo caso "speciale" in cui $f$ è pari. Anche se ora non ne vedo bene il motivo.
Ciao feddy. Ricapitolando, utilizzando il percorso di integrazione circolare, non si hanno cancellazioni ed è possibile concludere che:
Perché con quel percorso non si hanno cancellazioni. Se, utilizzando un certo percorso di integrazione, si hanno delle cancellazioni, è necessario escogitarne un altro. Inoltre, se si ha esperienza sufficiente, non è necessario applicare alcuno schema.
Certamente. Potrebbe essere il primo modello di uno schema. Mentre con il percorso di integrazione circolare si hanno cancellazioni:
con quello semicircolare non si hanno:
Ad ogni modo, se hai tempo, puoi dare un'occhiata a queste discussioni piuttosto interessanti:
viewtopic.php?f=54&t=179133&p=8300697&hilit=grande+cerchio#p8300619
viewtopic.php?f=54&t=176566&p=8286339&hilit=grande+cerchio#p8286270
viewtopic.php?f=54&t=175592&p=8281691&hilit=grande+cerchio#p8281675
viewtopic.php?f=54&t=175068&p=8280000&hilit=grande+cerchio#p8279384
$int_(0)^(+oo)logx/(sqrtx(x^2+1))dx=-sqrt2/4\pi^2$
$int_(0)^(+oo)1/(sqrtx(x^2+1))dx=sqrt2/2\pi$
"feddy":
Ma perché dovrei cambiare il percorso di integrazione?
Perché con quel percorso non si hanno cancellazioni. Se, utilizzando un certo percorso di integrazione, si hanno delle cancellazioni, è necessario escogitarne un altro. Inoltre, se si ha esperienza sufficiente, non è necessario applicare alcuno schema.
"feddy":
... mi viene il sospetto che il mio circuito sia dovuto a questo caso "speciale" in cui $f$ è pari ...
Certamente. Potrebbe essere il primo modello di uno schema. Mentre con il percorso di integrazione circolare si hanno cancellazioni:
$int_(r)^(R)f_p(x)logxdx-int_(r)^(R)f_p(x)[logx+2\pii]dx=-2\piiint_(r)^(R)f_p(x)dx$
con quello semicircolare non si hanno:
$int_(r)^(R)f_p(x)logxdx+int_(-R)^(-r)f_p(x)[log(-x)+i\pi]dx=int_(r)^(R)f_p(x)(2logx+i\pi)dx$
Ad ogni modo, se hai tempo, puoi dare un'occhiata a queste discussioni piuttosto interessanti:
viewtopic.php?f=54&t=179133&p=8300697&hilit=grande+cerchio#p8300619
viewtopic.php?f=54&t=176566&p=8286339&hilit=grande+cerchio#p8286270
viewtopic.php?f=54&t=175592&p=8281691&hilit=grande+cerchio#p8281675
viewtopic.php?f=54&t=175068&p=8280000&hilit=grande+cerchio#p8279384
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