Integrale con punti di ramificazione

[feddy]

Buon pomeriggio a tutti,

sto affrontando lo studio dei punti di ramificazione e il calcolo di integrali in presenza di tali punti. Avrei bisogni di sapere se il mio ragionamento nel calcolo di tali integrali è corretto. Gli esercizi e la teoria sono del libro Complex Analysis - Mathews, Howell.

"Exercise":
Compute the following integral using residues:
$ int_(0)^(infty) dx/(x^(2/3)*(1+x)) $

Nel libro c'è una formula per questa specie di integrali, tuttavia a lezione non l'abbiamo mai usata, anche perché si ricava esattamente con il ragionamento che seguirò qui sotto.


$Gamma_{R,\epsilon}$ è il circuito totale. Il raggio $r$ in figura, io lo chiamerò $\epsilon$. Ovviamente di tutte le $z_k$ presenti io ho solo $z=-1$. Inoltre, dei due segmenti che stanno a distanza $\epsilon$ dall'asse $x$ chiamo $L_{2pi}$ quello sotto l'asse, percorso da destra verso sinistra. L'altro invece lo chiamo $L_0$.
L'idea è che nello svolgimento si sotto-intendono limiti per $epsilon \rarr 0, R \rarr infty$, in modo da ottedere l'intervallo di integrazione richiesto dal problema.

Considero un circuito $Gamma_{R,\epsilon}$ come in figura, con la parametrizzazione standard in senso antiorario, perciò, per il thm. dei residui: $ int_(Gamma_{R,epsilon}) f(z)dz = 2*pi*i*Res(f(z),z=-1)=2*pi*i*(e^(-2/3*pi*i)) $.

Ma $Gamma_{R,epsilon}=C_R \cup C_{epsilon} \cup L_0 \cup L_{2pi}$.
Pertanto, per l'additività dell'integrale di linea, ho che $ int_(Gamma_{R,epsilon}) f(z)dz $ è uguale alla somma di ciascun contributo lungo quei 4 pezzi.

1. Per il lemma del grande arco di cerchio, visto che $ lim_(z -> +infty) z*f(z)=0 $ , allora $ lim_(R -> +infty) int_{C_R} f(z)dz=0 $. Pertanto il contributo dell'integranda lungo il cerchio grande è nullo.


2. Qui vorrei mostrare che tale integrale, per $epsilon \rarr 0$, è nullo.
A tal fine pensavo di usare la disuguaglianza ML:
Si ha che il modulo dell'integrale è maggiorato da $2*pi*\epsilon *(1/epsilon^(1/3))$ e per $epsilon \rarr 0 $ questo integrale risulta nullo.
[piò andare oppure è necessario fare altre osservazioni?]

3. Il segmento percorso da sinistra verso destra, che ho chiamato $L_{0}={z=re^{i*o^+}}$, porge: $ int_(L_{0})f(z)dz=int_{epsilon}^{R} (dr)/((1+r)*r^(2/3) $ e prendendo i limiti per $epsilon \rarr 0$ e $R \rarr infty$, si ha $ int_{0}^{infty} (dr)/((1+r)*r^(2/3) $, che definisco come $I$.


4. Il segmento $L_{2pi}$ è percorso da destra verso sinistra. Perciò, al fine di prenderne la parametrizzazione da sinistra verso destra $L_{2_pi}={z=re^(2pi*i), epsilon
[/list:u:1auafws8]

Per questo ho che la somma dei quattro contributi è data da: $0 + 0 + I(1-1/(e^(4/3pi*i)))$.
Ricordando che questa somma deve essere uguale al risultato dell'integrale di circuitazione $2*pi*i*Res(f,z=-1)$, allora


$I=(2pii*e^(-2/3 pi i))/(1-1/(e^(4/3pi*i)))=2*pi/sqrt(3)$
, risultato che mi è conferamato anche da wolfram.

Mi rendo conto della lunghezza del post, ma, a costo di essere troppo prolisso, vorrei essere certo di aver capito questo concetto

[Studente Anonimo]

Ciao feddy. Mi sembra corretto. Includo due versioni dei lemmi del grande cerchio e del piccolo cerchio piuttosto completi.

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