Calcolo di residui sulla sfera di Riemann
Buon pomeriggio a tutti,
ho svolto il seguente esercizio, spero con profitto.
Svolgimento:
Ho pensato fosse opportuno scrivere la funzione come $f(z)=(e^(1/z))/(z^3-z^2) - (e)/(z^3-z^2)=g(z)-h(z)$ e usare il fatto che il residuo della differenza è la differenze del residuo .
Tratto prima la $g(z)$ e poi la $h(z)$.
La $g(z)$ presenta un singolarità in $z=0$.
Qui incontro subito la prima difficoltà: non saprei come determinarne il tipo: ho sviluppato in serie di Laurent e ho notato che il coefficiente $c_{-1}$ è nullo, pertanto $Res(g(z),z=0)=0$. Altri metodi non ce ne sono, vero?
L'altra singolarità è in $z=1$, ed è di tipo polo semplice. Per trovarne il residuo potrei calcolare il rapporto tra $(e^(1/z))/(3z^2 -2z)$ in $z=1$, oppure facendone il limite: in ogni caso, il risultato è $Res(g(z),z=1)=e$.
Ora passo alla $h(z)$.
Qui ho un polo doppio in $z=0$ e una polo semplice per $z=1$.
Per $z=0$: $ lim_(z -> 0) d/dz(z^2*e/(z^2(z-1)))=-e $, da cui $Res(h(z),z=0)=-e$
Per $z=1$, polo semplice, effettuo il rapporto tra numeratore e derivata del denominatore in $1$ e trovo $Res(h(z),z=1)=e$.
Perciò, il residuo in $0$ della funzione è dato da :
Mentre il residuo in $1$ è
Per quanto riguarda il residuo all'infinito, questo si traduce nel calcolare $Res(f(1/w)*(-1/w^2), w=0)$. [Calcolo il residuo nella singolarità indotta dal cambio di variabile].
Pertanto, devo calcolare il residuo della funzione $((e^w - w)*w)/(1-w)$ in $w=0$. Ho sviluppato ancora l'esponenziale e mi pare che il coeffciente $c_{-1}=0$.
Infatti:
$ (w(e^w-e))/(1-w)=(we(e^{w-1}-1))/(1-w)=w/-(w-1)(w-1 + (w-1)^2+...) $
Spero di non aver scritto castronerie
ho svolto il seguente esercizio, spero con profitto.
Classificare le singolarità isolate sulla sfera di Riemann $\mathbb{C} \cup {\infty}$ della funzione $f(z)=(e^(1/z) - e)/(z^3 - z^2)$, e calcolarne i residui corrispondenti
Svolgimento:
Ho pensato fosse opportuno scrivere la funzione come $f(z)=(e^(1/z))/(z^3-z^2) - (e)/(z^3-z^2)=g(z)-h(z)$ e usare il fatto che il residuo della differenza è la differenze del residuo .
Tratto prima la $g(z)$ e poi la $h(z)$.
La $g(z)$ presenta un singolarità in $z=0$.
Qui incontro subito la prima difficoltà: non saprei come determinarne il tipo: ho sviluppato in serie di Laurent e ho notato che il coefficiente $c_{-1}$ è nullo, pertanto $Res(g(z),z=0)=0$. Altri metodi non ce ne sono, vero?
L'altra singolarità è in $z=1$, ed è di tipo polo semplice. Per trovarne il residuo potrei calcolare il rapporto tra $(e^(1/z))/(3z^2 -2z)$ in $z=1$, oppure facendone il limite: in ogni caso, il risultato è $Res(g(z),z=1)=e$.
Ora passo alla $h(z)$.
Qui ho un polo doppio in $z=0$ e una polo semplice per $z=1$.
Per $z=0$: $ lim_(z -> 0) d/dz(z^2*e/(z^2(z-1)))=-e $, da cui $Res(h(z),z=0)=-e$
Per $z=1$, polo semplice, effettuo il rapporto tra numeratore e derivata del denominatore in $1$ e trovo $Res(h(z),z=1)=e$.
Perciò, il residuo in $0$ della funzione è dato da :
$Res(g(z),z=0) - Res(h(z),z=0) = 0-(-e)=e$.
Mentre il residuo in $1$ è
$Res(g(z),z=1) - Res(h(z),z=1) = e - (e)=0$.
Per quanto riguarda il residuo all'infinito, questo si traduce nel calcolare $Res(f(1/w)*(-1/w^2), w=0)$. [Calcolo il residuo nella singolarità indotta dal cambio di variabile].
Pertanto, devo calcolare il residuo della funzione $((e^w - w)*w)/(1-w)$ in $w=0$. Ho sviluppato ancora l'esponenziale e mi pare che il coeffciente $c_{-1}=0$.
Infatti:
$ (w(e^w-e))/(1-w)=(we(e^{w-1}-1))/(1-w)=w/-(w-1)(w-1 + (w-1)^2+...) $
Spero di non aver scritto castronerie
Risposte
"feddy":
L'altra singolarità è in $[z=1]$, ed è di tipo polo semplice.
Non proprio. Probabilmente non ti sei accorto che:
$lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=0/0$
Ad ogni modo, per dimostrare che $[z=1]$ è una singolarità eliminabile, invece di procedere come di consueto, ti propongo una scorciatoia piuttosto elegante.
Intanto:
$[f(z)=e^(1/z)] rarr [f'(z)=-1/z^2e^(1/z)]$
Inoltre:
$[lim_(z->z_0)(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)=f'(z_0)] ^^ [z_0=1] rarr [lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z-1)=-e]$
Infine:
$lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=lim_(z->1)1/z^2*lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z-1)=-e$
Ciao S.E.
Proprio per aggirare quell'ostacolo avevo pensato di spezzare come somma di due funzioni, non può funzionare?
Quindi per mostrare che è eliminabile, invece di sviluppare l'esponenziale,eccecc, hai mostrato che il limite della funzione in $1$ è finito?
Immagino quindi che anche il resto dell'esercizio non vada bene.
Proprio per aggirare quell'ostacolo avevo pensato di spezzare come somma di due funzioni, non può funzionare?
Quindi per mostrare che è eliminabile, invece di sviluppare l'esponenziale,eccecc, hai mostrato che il limite della funzione in $1$ è finito?
Immagino quindi che anche il resto dell'esercizio non vada bene.
Ciao feddy.
Eviterei. Devi solo fare un po' di esperienza.
Per dimostrare che $[z=1]$ è una singolarità eliminabile, puoi procedere in due modi:
Mentre il primo comprende praticamente il secondo, non è vero il viceversa. Proprio per questo dovrebbe essere più immediato procedere mediante il secondo. Tuttavia, senza le osservazioni del mio messaggio precedente:
è necessario procedere in un modo più consueto. Poiché svolgere il limite sviluppando in serie significherebbe adottare, anche se solo in parte, il primo modo, ti propongo di utilizzare un limite notevole:
Se sei interessato anche allo sviluppo in serie, le cose si complicano. Ma ne vale senz'altro la pena:
Per dimostrare che $[z=0]$ è una singolarità essenziale:
Per quanto riguarda il residuo:
Non credo valga la pena seguire il tuo procedimento. Soprattutto perché ho l'impressione che il tuo residuo in $[z=0]$ non torni. Ad ogni modo, data l'ultima trattazione piuttosto avanzata, limitatamente al calcolo del residuo, può convenire affrontare prima lo studio del punto all'infinito e servirsi del seguente teorema:
Concordo pienamente:
Tuttavia:
Non è assolutamente necessario in quanto $[(\omega(e^\omega-e))/(1-\omega)]$ è olomorfa per $[\omega=0]$ e il suo residuo non può che essere nullo. Infine, per classificare il punto all'infinito, si può sviluppare in serie la seguente funzione per $[\omega=0]$:
In definitiva, come si poteva facilmente presumere senza nemmeno scomodare il cambiamento di variabile:
il punto all'infinito è una radice di ordine tre.
"feddy":
Proprio per aggirare quell'ostacolo avevo pensato di spezzare come somma di due funzioni, non può funzionare?
Eviterei. Devi solo fare un po' di esperienza.
"feddy":
Quindi, per mostrare che è eliminabile, invece di sviluppare l'esponenziale hai mostrato che il limite della funzione in $1$ è finito?
Per dimostrare che $[z=1]$ è una singolarità eliminabile, puoi procedere in due modi:
1. $(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=\sum_{n=0}^{+oo}a_n(z-1)^n$
2. $lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=l$
Mentre il primo comprende praticamente il secondo, non è vero il viceversa. Proprio per questo dovrebbe essere più immediato procedere mediante il secondo. Tuttavia, senza le osservazioni del mio messaggio precedente:
$[f(z)=e^(1/z)] rarr [f'(z)=-1/z^2e^(1/z)]$
$[lim_(z->z_0)(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)=f'(z_0)] ^^ [z_0=1] rarr [lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z-1)=-e]$
2. $lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=lim_(z->1)1/z^2*lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z-1)=-e$
è necessario procedere in un modo più consueto. Poiché svolgere il limite sviluppando in serie significherebbe adottare, anche se solo in parte, il primo modo, ti propongo di utilizzare un limite notevole:
$[lim_(x->x_0)f(x)=0] rarr [lim_(x->x_0)(e^(f(x))-1)/f(x)=1]$
2. $lim_(z->1)(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=lim_(z->1)(e(e^((1-z)/z)-1))/(-z^3*(1-z)/z)=lim_(z->1)[-e/z^3]*lim_(z->1)[(e^((1-z)/z)-1)/((1-z)/z)]=-e$
Se sei interessato anche allo sviluppo in serie, le cose si complicano. Ma ne vale senz'altro la pena:
Numeratore $[z rarr 1]$
$e^(1/z)-e=e(e^(-(z-1)/z)-1)=e(e^(-(z-1)/(1+z-1))-1)=e[e^(-(z-1)*[1-(z-1)+o(z-1)])-1]=$
$=e[e^(-(z-1)+(z-1)^2+o(z-1)^2]-1]=e[1-(z-1)+o(z-1)-1]=-e(z-1)+o(z-1)$
Denominatore $[z rarr 1]$
$1/(z^3-z^2)=1/((1+z-1)^3-(1+z-1)^2)=$
$=1/(1+3(z-1)+3(z-1)^2+(z-1)^3-1-2(z-1)-(z-1)^2)=$
$=1/((z-1)+2(z-1)^2+(z-1)^3)=1/(z-1)*1/(1+2(z-1)+(z-1)^2)=$
$=1/(z-1)*[1-2(z-1)+o(z-1)]=1/(z-1)-2+o(1)$
Frazione $[z rarr 1]$
1. $(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=[-e(z-1)+o(z-1)][1/(z-1)-2+o(1)]=-e+o(1)$
"feddy":
Immagino quindi che anche il resto dell'esercizio non vada bene.
Per dimostrare che $[z=0]$ è una singolarità essenziale:
$(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)=-(\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)-e)/(z^2(1-z))=-1/z^2*\sum_{n=0}^{+oo}z^n*(\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)-e)=$
$=-\sum_{n=0}^{+oo}z^(n-2)*(\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)-e)=$
$=e\sum_{n=0}^{+oo}z^(n-2)-\sum_{n=0}^{+oo}z^(n-2)*\sum_{n=0}^{+oo}z^(-n)/(n!)=$
è necessario introdurre il prodotto alla Cauchy di due serie:
di cui almeno una assolutamente convergente:
$=e\sum_{n=0}^{+oo}z^(n-2)-\sum_{n=0}^{+oo}[\sum_{k=0}^{n}z^(k-2)*z^(-n+k)/((n-k)!)]=e\sum_{n=0}^{+oo}z^(n-2)-\sum_{n=0}^{+oo}[\sum_{k=0}^{n}z^(-n-2+2k)/((n-k)!)]$
Per quanto riguarda il residuo:
$[-n-2+2k=-1] rarr [k=(n+1)/2] rarr [m=0,1,2,...] ^^ [n=2m+1] ^^ [k=m+1]$
$Res[(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2),0]=e-\sum_{m=0}^{+oo}1/(m!)=e-e=0$
"feddy":
Qui incontro subito la prima difficoltà ...
Non credo valga la pena seguire il tuo procedimento. Soprattutto perché ho l'impressione che il tuo residuo in $[z=0]$ non torni. Ad ogni modo, data l'ultima trattazione piuttosto avanzata, limitatamente al calcolo del residuo, può convenire affrontare prima lo studio del punto all'infinito e servirsi del seguente teorema:
"feddy":
Per quanto riguarda il residuo all'infinito mi pare che il coeffciente $c_{-1}=0$.
Concordo pienamente:
$Res[(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2),oo]=-Res[(\omega(e^\omega-e))/(1-\omega),0]=0$
Tuttavia:
"feddy":
Ho sviluppato ancora l'esponenziale ...
Non è assolutamente necessario in quanto $[(\omega(e^\omega-e))/(1-\omega)]$ è olomorfa per $[\omega=0]$ e il suo residuo non può che essere nullo. Infine, per classificare il punto all'infinito, si può sviluppare in serie la seguente funzione per $[\omega=0]$:
$f(1/\omega)=(\omega^3(e^\omega-e))/(1-\omega)=\omega^3[1-e+\omega+o(\omega)][1+o(1)]=(1-e)\omega^3+o(\omega^3)$
$f(z)=(1-e)/z^3+o(1/z^3)$
In definitiva, come si poteva facilmente presumere senza nemmeno scomodare il cambiamento di variabile:
$[f(z)=(e^(1/z)-e)/(z^3-z^2)] ^^ [lim_(z->oo)e^(1/z)-e=1-e]$
il punto all'infinito è una radice di ordine tre.
Non so davvero come ringraziarti... ho letto e approfonfito la tua risposta e ora mi torna tutto (tranne la parte sul prodotto di Cauchy, che non abbiamo fatto. Ho avuto la malsana idea di prendere un compito di anni passati dove questi argomenti erano stati fatti 
)
)
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo