Dubbio amletico a0 trasformata di Fourier

[ramama]

Ciao a tutti! Sto facendo un esercizio (molto semplice) sulla trasformata di Fourier, dove secondo me la soluzione fornita dal docente non è corretta. Secondo voi quant'è il coeff a0 ? Grazie mille a tutti!

[dissonance]

Dipende dalla definizione di coefficiente \(a_0\). Ci sono varie possibilità per la normalizzazione. In ogni caso sarà un multiplo di \(2\pi^2\), che è l'integrale di \(f\) su \([-\pi, \pi]\).

[ramama]

Sbagliavo clamorosamente l'integrale! Grazie mille!

[dissonance]

L'integrale è facile da calcolare perché puoi scrivere \(f\) come segue:
\[
f(x)=x + 2\pi\mathbf 1_{-\pi< x<0}, \]
dove \(\mathbf 1_A\) è la funzione che vale \(1\) su \(A\) e \(0\) altrimenti. Da cui
\[
\int_{-\pi}^\pi f(x)\, dx = \int_{-\pi}^0 2\pi\, dx=2\pi^2.\]

[ramama]

Grazie di nuovo, io avevo risolto sommando i due integrali e prendendoli in due intervalli separati! Quindi posso risolvere con un unico integrale (l'ultimo a destra..)?
Non mi è ben chiaro questo passaggio, potresti rispiegarlo se hai due minuti? Come unisci le "due funzioni" (x+2pi) ed (x) e definisci l'intervallo dell'integrale risultante?

Effettivamente è molto comodo, soprattutto per la risoluzione degli an e bn, perchè avrei solo un integrale e una funzione...

[dissonance]

"ramama":Come unisci le "due funzioni"

Veramente l'ho già scritto sopra. Lo dico con altre parole, forse ti è più chiaro. Scrivi \(f(x)\) come una somma
\[
f(x)= x+ \begin{cases} 2\pi, & x\in(-\pi,0) \\ 0, & x\in [0, \pi),\end{cases} \]
poi usa la linearità dell'integrale.