Problema di Dirichlet nel cerchio
Salve, come da titolo, vorrei chiarire dei dubbi circa l'equazione di Dirichlet nel cerchio
La prima equazione vale su $B={z \in \mathbb{C}: |z| <1}$, mentre la seconda vale su $partialB$.
Indicherò tra parentesi quadre [ ] ciò che mi "turba".
Il problema di Dirichlet è ben posto
Se $u$ è soluzione del problema, allora deve essere necessariamente $u \in C^2(B) \cap C^{0}(\bar(B_1))$, cioè al bordo deve essere almeno continua. Inoltre, per definizione, $u$ è una funzione armonica. Pertanto, detta $v$ l'armonica coniugata, si ha che $f=u+ \mathbb{i}v$ è olomorfa in $B_1$.
Pertanto $u=\Re(f)$, dove $f=sum_{k=0}^{\infty}c_k z^k, c_k=a_k - i b_k$. [Domanda: questa espressione per $f$ vale poiché $f$ è olomorfa nel cerchio (e quindi analitica) e dunque vale l'espansione in serie, right?
Non mi torna però il motivo di quel meno tra i due coefficienti]
Vista la simmetria radiale del problema, uso coordinate polari e dunque, posto $z=re^{i\theta}$, per $r \in [0,1]$, ricavo che $u(r,theta)=sum_{k=0}^{\infty}r^k(a_k cos(k\theta) + b_k sin(k\theta))$.
Va imposta anche la condizione sulla frontiera del disco, ossia $u(1,theta)=g(theta)$, da cui si ricava che $g(theta)=sum_{k=0}^{\infty}(a_k cos(k\theta) + b_k sin(k\theta))$. Da questo segue che se $g \in L^1(partialB)$, allora la serie converge uniformemente su $[0,2pi]$ a $g(theta)$.
La motivazione di questo è che se esiste finito l'integrale $ int_(0)^(2pi) |g(theta)| d theta $, allora i coefficienti $a_k,b_k$ (che sono i classici integrali per ricavare i coefficienti di una serie di Fourier) sono maggiorati dall'integrale di $g$, che è convergente.
Osservazione
Se $g \in C^{0](partialB)$ e $g' \in L^{2}(partialB)$, allora $sum_{k} |a_k| + |b_k| < +\infty$. [non riesco a comprendere il motivo per cui $g$ deve proprio stare in $L^2$].
Segue quindi tramite le ovvie maggiorazioni con seni e coseni che la serie che rappresenta $u(r,theta)$ converge totalmente, e dunque uniformemente su tutto $bar(B)=B \cup partial B$.
Qualsiasi referenza o consiglio è ben accetto
$ { ( Delta u=0 ),( u=g):} $
La prima equazione vale su $B={z \in \mathbb{C}: |z| <1}$, mentre la seconda vale su $partialB$.
Indicherò tra parentesi quadre [ ] ciò che mi "turba".
Il problema di Dirichlet è ben posto
Se $u$ è soluzione del problema, allora deve essere necessariamente $u \in C^2(B) \cap C^{0}(\bar(B_1))$, cioè al bordo deve essere almeno continua. Inoltre, per definizione, $u$ è una funzione armonica. Pertanto, detta $v$ l'armonica coniugata, si ha che $f=u+ \mathbb{i}v$ è olomorfa in $B_1$.
Pertanto $u=\Re(f)$, dove $f=sum_{k=0}^{\infty}c_k z^k, c_k=a_k - i b_k$. [Domanda: questa espressione per $f$ vale poiché $f$ è olomorfa nel cerchio (e quindi analitica) e dunque vale l'espansione in serie, right?
Non mi torna però il motivo di quel meno tra i due coefficienti]
Vista la simmetria radiale del problema, uso coordinate polari e dunque, posto $z=re^{i\theta}$, per $r \in [0,1]$, ricavo che $u(r,theta)=sum_{k=0}^{\infty}r^k(a_k cos(k\theta) + b_k sin(k\theta))$.
Va imposta anche la condizione sulla frontiera del disco, ossia $u(1,theta)=g(theta)$, da cui si ricava che $g(theta)=sum_{k=0}^{\infty}(a_k cos(k\theta) + b_k sin(k\theta))$. Da questo segue che se $g \in L^1(partialB)$, allora la serie converge uniformemente su $[0,2pi]$ a $g(theta)$.
La motivazione di questo è che se esiste finito l'integrale $ int_(0)^(2pi) |g(theta)| d theta $, allora i coefficienti $a_k,b_k$ (che sono i classici integrali per ricavare i coefficienti di una serie di Fourier) sono maggiorati dall'integrale di $g$, che è convergente.
Osservazione
Se $g \in C^{0](partialB)$ e $g' \in L^{2}(partialB)$, allora $sum_{k} |a_k| + |b_k| < +\infty$. [non riesco a comprendere il motivo per cui $g$ deve proprio stare in $L^2$].
Segue quindi tramite le ovvie maggiorazioni con seni e coseni che la serie che rappresenta $u(r,theta)$ converge totalmente, e dunque uniformemente su tutto $bar(B)=B \cup partial B$.
Qualsiasi referenza o consiglio è ben accetto
Risposte
Ciao feddy.
Certamente.
Proprio per la presenza di quel segno negativo vale:
Infatti:
Per quanto riguarda il resto, se non dovesse interviene nessuno, si vedrà.
"feddy":
... questa espressione per $f$ vale poiché $f$ è olomorfa nel cerchio ...
Certamente.
"feddy":
... non mi torna però il motivo di quel meno tra i due coefficienti ...
Proprio per la presenza di quel segno negativo vale:
$u(r,\theta)=Re[f(z)]=sum_{k=0}^{+\infty}r^k(a_kcosk\theta+b_ksink\theta)$
Infatti:
$[f(z)=sum_{k=0}^{+\infty}c_kz^k] ^^ [c_k=a_k-ib_k] ^^ [z=re^(i\theta)] rarr$
$rarr f(z)=sum_{k=0}^{+\infty}(a_k-ib_k)r^ke^(ik\theta)=sum_{k=0}^{+\infty}(a_k-ib_k)r^k(cosk\theta+isink\theta)=$
$=sum_{k=0}^{+\infty}r^k[(a_kcosk\theta+b_ksink\theta)+i(a_ksink\theta-b_kcosk\theta)] rarr$
$rarr u(r,\theta)=Re[f(z)]=sum_{k=0}^{+\infty}r^k(a_kcosk\theta+b_ksink\theta)$
Per quanto riguarda il resto, se non dovesse interviene nessuno, si vedrà.
ciao.
Certo, anche io avevo ricavato la stessa espressione con conti identici ai tuoi:) Quello che mi turbava era se vi fosse un possibile motivo alla base di quel segno "meno".
Per quanto riguarda l'osservazione, sicuramente mi sta sfuggendo qualcosa riguardo alla serie di Fourier, ma non riesco a capire dove...
Certo, anche io avevo ricavato la stessa espressione con conti identici ai tuoi:) Quello che mi turbava era se vi fosse un possibile motivo alla base di quel segno "meno".
Per quanto riguarda l'osservazione, sicuramente mi sta sfuggendo qualcosa riguardo alla serie di Fourier, ma non riesco a capire dove...
Credo di esserci: posso usare l'identità di Parseval per la derivata, così mostro che se $f \in C^{0}$ e $f' \in L^2$, allora la serie di Fourier converge ad $f$ in ogni compatto in cui la $f$ è continua.
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