Esercizio base sull'anti-trasformata di Laplace
Buon pomeriggio a tutti.
Sono nuovo dell'argomento quindi ho un po di dubbi da chiarire. Stavo svolgendo un esercizio svolto presente sul libro ma non riesco a capire il ragionamento che hanno portato avanti gli autori. Di seguito traccia e svolgimento:
$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2))$
Alla fine dell'esercizio vanno a rifarsi alla seguente trasformata nota:
$1-cos (\omega t) = \omega^2 /(s(s^2 +\omega^2)$
Lo svolgimento da loro effettuato è il seguente:
$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) = 1/ \omega^2 1 /s - 1/ \omega^2 s/(s^2 (s^2+\omega^2)) = 1/ \omega^2(1-cos(\omega t))$
I miei dubbi in merito all'esercizio sono:
- Perchè hanno diviso per $1/ \omega^2$ ?
- Perchè c'è la $s$ al numeratore di $s/(s^2 (s^2+\omega^2))$ e non $1$?
Sono nuovo dell'argomento quindi ho un po di dubbi da chiarire. Stavo svolgendo un esercizio svolto presente sul libro ma non riesco a capire il ragionamento che hanno portato avanti gli autori. Di seguito traccia e svolgimento:
$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2))$
Alla fine dell'esercizio vanno a rifarsi alla seguente trasformata nota:
$1-cos (\omega t) = \omega^2 /(s(s^2 +\omega^2)$
Lo svolgimento da loro effettuato è il seguente:
$F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) = 1/ \omega^2 1 /s - 1/ \omega^2 s/(s^2 (s^2+\omega^2)) = 1/ \omega^2(1-cos(\omega t))$
I miei dubbi in merito all'esercizio sono:
- Perchè hanno diviso per $1/ \omega^2$ ?
- Perchè c'è la $s$ al numeratore di $s/(s^2 (s^2+\omega^2))$ e non $1$?
Risposte
C'e' qualche errorino e un po' di confusione...
$ F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) $
Adesso faccio solo un passaggio algebrico, la trasformata non c'entra nulla.
$ F(s)=1/\omega^2 (1/s -s/(s^2 +\omega ^2) )$
Poi applico la trasfromata inversa di funzioni elementari:
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_L ... transforms
\[ \displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\} \]
$f(t) = (u(t)) / \omega^2 (1-cos \omega t)$
Fine. E' tutto qui.
$ F(s)=1/(s(s^2 +\omega ^2)) $
Adesso faccio solo un passaggio algebrico, la trasformata non c'entra nulla.
$ F(s)=1/\omega^2 (1/s -s/(s^2 +\omega ^2) )$
Poi applico la trasfromata inversa di funzioni elementari:
https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_L ... transforms
\[ \displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\} \]
$f(t) = (u(t)) / \omega^2 (1-cos \omega t)$
Fine. E' tutto qui.
"Quinzio":
...
Grazie mille Quinzio. In pratica, quell'$1/\omega^2$ è una quantità utilizzata solo per "sistemare" la quantità seguente per portarla appunto ad una trasformata nota, mi confermi il ragionamento? Un po come accade per gli integrali quando diciamo "moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità".
"Bianchetto05":
Un po come accade per gli integrali quando diciamo "moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità".
Esatto.
"Quinzio":
[quote="Bianchetto05"]Un po come accade per gli integrali quando diciamo "moltiplichiamo e dividiamo per la stessa quantità".
Esatto.[/quote]
Il che non sorprende, dato che la trasformata di Laplace è un integrale.
"gugo82":
...
"Quinzio":
...
Grazie mille ad entrambi
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