Esercizio Serie di Laurent
Ciao a tutti,
sottopongo questo esercizio che mi mette in difficoltà.
Devo esprimere in serie di Laurent, nell'intorno di $z=0$ e del punto infinito la seguente funzione:
$f(z)= sinz/(z(z^2+1)$
Nell'intorno di $z=0$ ho espresso $sinz$ come sviluppo in serie e $1/(z^2+1)$ come serie geometrica ottenendo:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n/((2n+1)!)*z^(2n+1)*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^(2n-1)$
Ho applicato la formula di Cauchy per il prodotto tra serie ma mi risulta una serie che non riesco a gestire e che comunque è lontano dal risultato richiesto:
$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1)$
Dove sbaglio? Avete qualche suggerimento?
E come potrei fare circa l'intorno del punto infinito con lo sviluppo di $sinz$? Ho provato esprimendo il seno complesso in termini esponenziali ma non mi sembra una buona strada....
Grazie a chi ha la pazienza di rispondermi!
sottopongo questo esercizio che mi mette in difficoltà.
Devo esprimere in serie di Laurent, nell'intorno di $z=0$ e del punto infinito la seguente funzione:
$f(z)= sinz/(z(z^2+1)$
Nell'intorno di $z=0$ ho espresso $sinz$ come sviluppo in serie e $1/(z^2+1)$ come serie geometrica ottenendo:
$\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n/((2n+1)!)*z^(2n+1)*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^(2n-1)$
Ho applicato la formula di Cauchy per il prodotto tra serie ma mi risulta una serie che non riesco a gestire e che comunque è lontano dal risultato richiesto:
$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1)$
Dove sbaglio? Avete qualche suggerimento?
E come potrei fare circa l'intorno del punto infinito con lo sviluppo di $sinz$? Ho provato esprimendo il seno complesso in termini esponenziali ma non mi sembra una buona strada....
Grazie a chi ha la pazienza di rispondermi!
Risposte
Non sbagli, nel libro hanno semplicemente fatto in modo esplicito la convoluzione dei due polinomi.
Invece nel tuo risultato ti sei limitato alla moltiplicazione dei due polinomi.
Cioe:'
$(\sum_{n=0}^\infty x^n a_n) (\sum_{n=0}^\infty x^n b_n) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n x^n a_n b_{n-k}$
Inoltre se provi a calcolare esplicitamente i primi termini della serie di Laurent del tuo risultato e del libro, vedrai che ottieni gli stessi valori.
Poi c'e' da dire che il risultato del libro si puo' ancora semplificare con poco sforzo, e non so perche' non l'hanno fatto.
$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1) =$
$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^n/((2k+1)!)*z^(2n)$
Invece nel tuo risultato ti sei limitato alla moltiplicazione dei due polinomi.
Cioe:'
$(\sum_{n=0}^\infty x^n a_n) (\sum_{n=0}^\infty x^n b_n) = \sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n x^n a_n b_{n-k}$
Inoltre se provi a calcolare esplicitamente i primi termini della serie di Laurent del tuo risultato e del libro, vedrai che ottieni gli stessi valori.
Poi c'e' da dire che il risultato del libro si puo' ancora semplificare con poco sforzo, e non so perche' non l'hanno fatto.
$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1) =$
$ \sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^n/((2k+1)!)*z^(2n)$
Ciao Quinzio,
grazie per la risposta.
Temo però di essermi spiegato male: la serie
$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1)$
è quanto sono riuscito a ricavare, mentre il risultato richiesto è:
$\sum_{n,k=0}^\infty\(-1)^(n+k)/((2n+1)!)*z^(2n+2k)$
Credo di non riuscire a ricavarlo per un problema di indici (a me spariscono le k).
Per quanto riguarda l'intorno del punto infinito il risultato è:
$\sum_{n,k=0}^\infty\(-1)^(n+k)/((2n+1)!)*z^(2n-2k-2)$
Qui invece non riesco a capire come trattare $sinz$.
Grazie ancora.
grazie per la risposta.
Temo però di essermi spiegato male: la serie
$\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^\n\(-1)^k/((2k+1)!)*z^(2k+1)*(-1)^(n-k)*z^(2(n-k)-1)$
è quanto sono riuscito a ricavare, mentre il risultato richiesto è:
$\sum_{n,k=0}^\infty\(-1)^(n+k)/((2n+1)!)*z^(2n+2k)$
Credo di non riuscire a ricavarlo per un problema di indici (a me spariscono le k).
Per quanto riguarda l'intorno del punto infinito il risultato è:
$\sum_{n,k=0}^\infty\(-1)^(n+k)/((2n+1)!)*z^(2n-2k-2)$
Qui invece non riesco a capire come trattare $sinz$.
Grazie ancora.
Ciao ravanello,
Però ti conviene fare come hai scritto, quindi prima scrivere lo sviluppo in serie di $(sin z)/z = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n/((2n+1)!) z^{2n}$ poi lo sviluppo in serie di $1/(1 + z^2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n z^{2n}$ poi li moltiplichi fra loro osservando che $(-1)^n z^{2n} $ è comune ai due sviluppi in serie...
"ravanello":
Nell'intorno di $z=0$ ho espresso $sin z$ come sviluppo in serie e $1/(z^2+1) $ come serie geometrica ottenendo:
$ \sum_{n=0}^\infty\(-1)^n/((2n+1)!)*z^(2n+1)*\sum_{n=0}^\infty\(-1)^n*z^(2n-1) $
Però ti conviene fare come hai scritto, quindi prima scrivere lo sviluppo in serie di $(sin z)/z = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n/((2n+1)!) z^{2n}$ poi lo sviluppo in serie di $1/(1 + z^2) = \sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n z^{2n}$ poi li moltiplichi fra loro osservando che $(-1)^n z^{2n} $ è comune ai due sviluppi in serie...
Perché stai contando in modo poco furbo.
\[\begin{align*}
\frac{\sin z}{z(z^2+1)} = \frac{\sin z}{z}\cdot \frac{1}{z^2+1} &= \left(\sum_{p\ge0} \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}z^{2p}\right)\left(\sum_{q\ge0} (-1)^q z^{2q}\right)\\
&=\sum_{n\ge0}\left(\sum_{p+q=n} \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}(-1)^q\right )z^{2n}\\
&=\sum_{n\ge0}\left((-1)^n\sum_{p=0}^n \frac{1}{(2p+1)!}\right )z^{2n}
\end{align*}\] che è la stessa cosa che hai scritto tu.
\[\begin{align*}
\frac{\sin z}{z(z^2+1)} = \frac{\sin z}{z}\cdot \frac{1}{z^2+1} &= \left(\sum_{p\ge0} \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}z^{2p}\right)\left(\sum_{q\ge0} (-1)^q z^{2q}\right)\\
&=\sum_{n\ge0}\left(\sum_{p+q=n} \frac{(-1)^p}{(2p+1)!}(-1)^q\right )z^{2n}\\
&=\sum_{n\ge0}\left((-1)^n\sum_{p=0}^n \frac{1}{(2p+1)!}\right )z^{2n}
\end{align*}\] che è la stessa cosa che hai scritto tu.
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