Ordine infinitesimo funzione integrale
Ciao,
devo chiedervi un chiarimento.
Il quesito è:
Sia $ k in N $ e sia $ f $ la funzione definita in un intorno di zero dalla formula
$ f(x) = int_(0)^(x) (e^(-t^2)-t^k-1) dt $
a) Per quali $ k $ l'ordine di infinitesimo di $ f $ in $ x_0=0 $ è $ 3 $ ?
b) Per quali $ k $ risulta che $ lim_(x -> 0) (f(x)+f(-x))/(absx^alpha)=0 $ per ogni $ alpha > 0 $ ?
Per la prima domanda ho provato a svolgere l'integrale ma non ci sono riuscito. Ho trovato qui sul forum che dovrebbe risultare una certa sommatoria con un n fattoriale (questo perché $ sum(a^n/(n!)) = e^a $ ) ma poi non so come usare questo per l'integrale.
La seconda domanda non so da dove partire, probabilmente perché mi sono bloccato alla prima e sono collegate.
Le soluzioni sono $ k>=2 $ e $ k $ pari
Grazie!
devo chiedervi un chiarimento.
Il quesito è:
Sia $ k in N $ e sia $ f $ la funzione definita in un intorno di zero dalla formula
$ f(x) = int_(0)^(x) (e^(-t^2)-t^k-1) dt $
a) Per quali $ k $ l'ordine di infinitesimo di $ f $ in $ x_0=0 $ è $ 3 $ ?
b) Per quali $ k $ risulta che $ lim_(x -> 0) (f(x)+f(-x))/(absx^alpha)=0 $ per ogni $ alpha > 0 $ ?
Per la prima domanda ho provato a svolgere l'integrale ma non ci sono riuscito. Ho trovato qui sul forum che dovrebbe risultare una certa sommatoria con un n fattoriale (questo perché $ sum(a^n/(n!)) = e^a $ ) ma poi non so come usare questo per l'integrale.
La seconda domanda non so da dove partire, probabilmente perché mi sono bloccato alla prima e sono collegate.
Le soluzioni sono $ k>=2 $ e $ k $ pari
Grazie!
Risposte
"alessioben":
ho provato a svolgere l'integrale ma non ci sono riuscito.
Ci credo, $e^{-t^2}$ non è elementarmente integrabile.
Prima, cerchiamo di rispondere ad (a). Dividi per $x^3$ e applica De L'Hôpital.
Ma se non devo calcolarne il limite perché De L'Hopital?
Comunque mi risulta $ (e^(-x^2)-x^k-1)/(kx^(k-1)) $
Facendo $ k-1 = 3 $ però esce $ k = 4 $
Comunque mi risulta $ (e^(-x^2)-x^k-1)/(kx^(k-1)) $
Facendo $ k-1 = 3 $ però esce $ k = 4 $
"alessioben":
Ma se non devo calcolarne il limite perché De L'Hopital?
Qual è la definizione di ordine di infinitesimo?
Giuusto 
$ lim_(x -> x_0) f(x)/abs(x-x_0)^n $ che esista finito diverso da 0. L'ordine infinitesimo è n
$ lim_(x -> x_0) f(x)/abs(x-x_0)^n $ che esista finito diverso da 0. L'ordine infinitesimo è n
Esatto! Quindi?
Non capisco, perché dato che al numeratore ho l' $ x $ di esponente $ k $ mentre al denominatore di esponente $ k -1 $ mi risulta in ogni caso al numeratore una $ x $ di grado 1 che mi porta il limite a 0 perché la $ x $ del limite tende a 0
Non si capisce nulla. Al numeratore non hai solo $x^k$. Scrivi qualcosa in formule, altrimenti non andiamo lontano.
Ciao alessioben,
Beh, in realtà non è poi impossibile:
$ f(x) = \int_0^x (e^(-t^2)-t^k-1) \text{d}t = \sqrt{\pi}/2 \text{erf}(x) - (x (x^k + k + 1))/(k + 1) $
per $k > - 1 $
Comunque è vero quanto
ma si può sviluppare in serie:
$ e^{-t^2} = \sum_{j = 0}^{+\infty} (- 1)^j t^{2j}/(j!) $
e poi integrare termine a termine...
"alessioben":
Per la prima domanda ho provato a svolgere l'integrale ma non ci sono riuscito.
Beh, in realtà non è poi impossibile:
$ f(x) = \int_0^x (e^(-t^2)-t^k-1) \text{d}t = \sqrt{\pi}/2 \text{erf}(x) - (x (x^k + k + 1))/(k + 1) $
per $k > - 1 $
Comunque è vero quanto
"Mephlip":
Ci credo, $e^{-t^2}$ non è elementarmente integrabile.
ma si può sviluppare in serie:
$ e^{-t^2} = \sum_{j = 0}^{+\infty} (- 1)^j t^{2j}/(j!) $
e poi integrare termine a termine...
Avendo applicato De l'Hopital mi risulta
$ lim_(x -> 0) (e^(-x^2)-x^k-1)/(3x^2 $
Ora uso gli sviluppi di Taylor, così ottengo $ (1-x^2-x^k-1)/(3x^2) $
Raccogliendo la $ x^2 $
$ lim_(x -> 0) (-x^2(-1-x^k/x^2))/(3x^2) $
Per avere un limite diverso da zero e finito, la $ k $ deve essere $ >= 2 $ perché se $ k<2 $ il limite risulta $ 0 $
è giusto come ragionamento?
$ lim_(x -> 0) (e^(-x^2)-x^k-1)/(3x^2 $
Ora uso gli sviluppi di Taylor, così ottengo $ (1-x^2-x^k-1)/(3x^2) $
Raccogliendo la $ x^2 $
$ lim_(x -> 0) (-x^2(-1-x^k/x^2))/(3x^2) $
Per avere un limite diverso da zero e finito, la $ k $ deve essere $ >= 2 $ perché se $ k<2 $ il limite risulta $ 0 $
è giusto come ragionamento?
Ripeto quello che ti ho detto già in un altro post: metti l'errore quando sviluppi con Taylor, altrimenti quello che scrivi è falso. Questa cosa è importante, devi essere preciso. Stai approssimando, non c'è uguaglianza se non consideri l'errore che fai.
È quasi giusto: per $k \ge 2$ il limite è finito, ma per $k\in\{0,1}$ non esiste.
Possiamo procedere con il punto (b).
È quasi giusto: per $k \ge 2$ il limite è finito, ma per $k\in\{0,1}$ non esiste.
Possiamo procedere con il punto (b).
Sorry! Non pensavo andasse scritto l'o piccolo anche nei limiti quando uso Taylor.
Per il punto b:
Applicando De l'Hopital a $ f(x)+ f(-x) $ mi risulta:
$ ((e^(-x^2)-x^k-1)+(-e^(-x^2)-x^k+1))/(alphax^(alpha-1)) $
è giusto?
Per il punto b:
Applicando De l'Hopital a $ f(x)+ f(-x) $ mi risulta:
$ ((e^(-x^2)-x^k-1)+(-e^(-x^2)-x^k+1))/(alphax^(alpha-1)) $
è giusto?
No. Ricontrolla i conti.
Ma per la derivata dell'integrale di $ f(-x) $ non devo mica sostituire la t con -x e moltiplicare il risultato per la sua derivata (quindi -1)?
Il primo termine rimane lo stesso perché ha la x elevata al quadrato, il secondo cambia di segno e il -1 rimane lo stesso. Poi, moltiplico questo risultato per -1
Il primo termine rimane lo stesso perché ha la x elevata al quadrato, il secondo cambia di segno e il -1 rimane lo stesso. Poi, moltiplico questo risultato per -1
Appunto, quindi relativamente alla derivata di $f(-x)$ hai:
$$(e^{-x^2}-(-x)^k-1)\cdot(-1)=-e^{-x^2}+(-x)^k+1$$
E poi, hai un modulo a denominatore.
$$(e^{-x^2}-(-x)^k-1)\cdot(-1)=-e^{-x^2}+(-x)^k+1$$
E poi, hai un modulo a denominatore.
Ecco da dove salta fuori il k pari! Avevo fatto $ (-x)^k = -x ^k $ senza considerare il fatto che questo dipende dalla k, se è pari o dispari.
Certamente se k è pari il numeratore si annulla perciò anche il limite
Certamente se k è pari il numeratore si annulla perciò anche il limite
Sì, per ogni $\alpha>0$. Ti rimane da dimostrare che per $k \ge 2$ dispari non per ogni $\alpha>0$ quel limite è $0$ .
Se $ k $ è dispari, abbiamo $ lim_(x -> 0) (-2)/(alphax^(alpha-1-k)) != 0 $ e finito se $ alpha=k+1 $
Sì, va bene quando $x \to 0^+$. Andava bene anche non finito! Comunque, c'era un modulo al denominatore, la cui derivata per $x \ne 0$ è la funzione segno definita come segue:
$$\text{sgn}(x):=\begin{cases} 1, \ \text{se} \ x>0 \\ 0, \ \text{se} \ x=0 \\ -1, \ \text{se} \ x<0\end{cases}$$
Questo non cambia tutto ciò che hai discusso, ma dato che $x \to 0$ fa cambiare dei segni in base a $x \to 0^+$ o $x \to 0^-$. Questo potrebbe essere rilevante per la non esistenza del limite, quindi in futuro tieni presente che, per la regola di derivazione della funzione composta, la derivata di $|x|^\alpha$ rispetto a $x$ per $x \ne 0$ è $\alpha|x|^{\alpha-1} \text{sgn}(x)$.
$$\text{sgn}(x):=\begin{cases} 1, \ \text{se} \ x>0 \\ 0, \ \text{se} \ x=0 \\ -1, \ \text{se} \ x<0\end{cases}$$
Questo non cambia tutto ciò che hai discusso, ma dato che $x \to 0$ fa cambiare dei segni in base a $x \to 0^+$ o $x \to 0^-$. Questo potrebbe essere rilevante per la non esistenza del limite, quindi in futuro tieni presente che, per la regola di derivazione della funzione composta, la derivata di $|x|^\alpha$ rispetto a $x$ per $x \ne 0$ è $\alpha|x|^{\alpha-1} \text{sgn}(x)$.
Ah giusto!
Grazie mille Mephlip!!! Il tuo aiuto è stato prezioso, sei stato molto disponibile!!
Grazie mille Mephlip!!! Il tuo aiuto è stato prezioso, sei stato molto disponibile!!
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