Aiuto dimostrazioni numeri reali

[ravenxx18]

Ciao a tutti, sono al primo anno di matematica e mi servirebbe un aiuto con alcune dimostrazioni

In particolare, vorrei dimostrare che, dati due insiemi non vuoti $A,B sube RR$ separati con $a <= b AA a in A, AA b in B$

Gli insiemi sono classi contigue di numeri reali, quindi vale la proprietà
$AA \epsilon>0 EE a in A, b in B : b-a< \epsilon$ (1)

$iff$ l'elemento separatore è unico, quindi $EE! k: a<=k<=b AA a in A, AA b in B$ (2)

$iff$ InfB=SupA (=k) (3)

Per quanto riguarda 1 $=>$ 2 ho trovato una dimostrazione sul libro, ma comunque vorrei riuscire a dimostrare 2 $=>$ 1: sto provando per assurdo, ma mi viene difficile.
Stavo poi provando a dimostrare 3 $=>$ 1 con la caratterizzazione dell'estremo superiore e inferiore ma mi servirebbe comunque un aiuto.
Grazie in anticipo.

[otta96]

Posta quello che hai provato a fare.

[ravenxx18]

Allora, questo è quello che ho pensato, la prima era già sul libro

1 $rArr$ 2
Se avessimo $k_1,k_2$ elementi separatori, con $k_1$<$k_2$ avremo $a= b-a$, assurdo.

2 $rArr$ 1
Se $EE \epsilon >0 : b-a >= \epsilon$ $AA a in A, AA b in B$
avremmo $b >= a+ \epsilon > a + \epsilon/2 >a$ $AA a in a, AA b in B$, assurdo.
(questa non sono molto sicuro)

2 $rArr$ 3
Questa la più banale
Se $SupA != SupB$ allora avremo necessariamente $SupA
3 $rArr$ 2
Se $a <= k_1 < k_2 <= b$ $AA a in A, AA b in B$
Bisogna analizzare il caso in cui $k_1 != SupA$ e $k_2 != InfB$
Se $k_1 < SupA$ avremo che $SupA-K_1 > 0$ e quindi per la caratterizzazione dell'estremo superiore $EE a_\epsilon : SupA - (SupA -k_1) < a_\epsilon$ quindi $SupA - SupA + k_1 < a_\epsilon$ quindi $k_1 < a_\epsilon$, che non può essere.
Quindi $k_1>SupA$ e analogamente si dimostra $k_2 < InfB$, e dunque
$SupA < k_1 < k_2 < SupB$, assurdo.

Possono andare? Sono le prime dimostrazioni che faccio

[otta96]

Nella prima hai sbagliato il verso della disuguaglianza, la terza è giusta, la seconda e la quarta no, ripensaci.

[milos144]

Scusatemi se mi intrometto, ma la dimostrazione
$2 rArr 1$
posta da ravenxx18, per assurdo

se $∃ε>0: b−a≥ε ∀a∈A,∀b∈B$ (stiamo dicendo che gli insiemi non sono contigui), segue che

$ b≥a+ε>a+ε/2>a rArr a<=a+a/2 Pertanto, se poniamo $a+ε =k$ e $a+a/2=k_1$, avremo
$a<=k perchè non vale?

[otta96]

"milos144":$ a<=a+a/2
Da dove arriva questa cosa?

[milos144]

Intendevo $a<=a+epsilon/2

Cita

Segnala

[otta96]

E poi come sistemi?

[milos144]

Risulterà che $b-a>=k_1-k=epsilon$, che contraddice l'ipotesi $b-a < epsilon$, ovvero che l'elemento separatore è unico.