Mostrare lipschitzianità
Ciao,
l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione è lipschitziana.
$ f:(0,∞) -> R, f(x)=x^(1/x) $
Ho calcolato la sua derivata $ f'(x)=x^(1/x)(-(logx+1)/x^2) $ così ho visto che la funzione ha il sup $ e^(1/e) $ .
Per dimostrare che è lipschitiziana pensavo di mostrare che la derivata è limitata, ma non so come fare. So che $ x^(1/x)<=e^(1/e) $ , ma il problema ce l'ho quando cerco un limite per $ (-(logx+1)/x^2)$
Qualche suggerimento?
Grazie
l'esercizio mi chiede di stabilire se la funzione è lipschitziana.
$ f:(0,∞) -> R, f(x)=x^(1/x) $
Ho calcolato la sua derivata $ f'(x)=x^(1/x)(-(logx+1)/x^2) $ così ho visto che la funzione ha il sup $ e^(1/e) $ .
Per dimostrare che è lipschitiziana pensavo di mostrare che la derivata è limitata, ma non so come fare. So che $ x^(1/x)<=e^(1/e) $ , ma il problema ce l'ho quando cerco un limite per $ (-(logx+1)/x^2)$
Qualche suggerimento?
Grazie
Risposte
Occhio che la derivata è $x^{1/x} \cdot \frac{-\log x+1}{x^2}$, anche se probabilmente è un errore di battitura visto che il punto di massimo di $f$ lo hai calcolato correttamente.
Per la lipschitzianità, concordo con la strategia che prevede di dimostrare la limitatezza del modulo della derivata prima. Calcola:
$$\lim_{x \to 0^+} |f'(x)|$$
E:
$$\lim_{x \to +\infty} |f'(x)|$$
Quanto valgono? Una volta calcolati, cosa puoi dire invece "in mezzo tra $0$ e $+\infty$"?
Per la lipschitzianità, concordo con la strategia che prevede di dimostrare la limitatezza del modulo della derivata prima. Calcola:
$$\lim_{x \to 0^+} |f'(x)|$$
E:
$$\lim_{x \to +\infty} |f'(x)|$$
Quanto valgono? Una volta calcolati, cosa puoi dire invece "in mezzo tra $0$ e $+\infty$"?
Si esatto errore di battitura perché sul mio quaderno avevo scritto le frazioni separate 
Per x $ x->0_+ $ o $ x->∞ $ la derivata va a 0, so anche che va a 0 nel punto di massimo della funzione.
Il problema è trovare il valore massimo della derivata tra $ 0 $ e $ e $, quello potrebbe essere un mio valore massimo da cercare per mostrare la lipschitzianità. E' solo che non so se devo cercare quel valore oppure è più semplice trovarne un altro più grande
Per x $ x->0_+ $ o $ x->∞ $ la derivata va a 0, so anche che va a 0 nel punto di massimo della funzione.
Il problema è trovare il valore massimo della derivata tra $ 0 $ e $ e $, quello potrebbe essere un mio valore massimo da cercare per mostrare la lipschitzianità. E' solo che non so se devo cercare quel valore oppure è più semplice trovarne un altro più grande
Non hai bisogno di fare alcun conto, oltre a quei limiti. Mettiamola così: dato che $|f'(x)| \to 0$ per $x\to 0^+$, esiste $\delta>0$ tale che $|f'(x)|<11$ per ogni $x \in (0,\delta)$. Dato che $|f'(x)| \to 0$ per $x \to +\infty$, esiste $M>0$ tale che $|f'(x)|<7$ per ogni $x>M$. Che puoi dire in $[\delta,M]$?
Ah hai usato la definizione di limite! Non ci avevo pensato.
Mentre in $ [delta, M] $ so che la derivata è continua e definita nel compatto appena citato, quindi è U.C.
Allora $ AA x_0in [delta,M], x in (x_0-delta, x_0+delta) rArr abs(f'(x))<=epsilon $
E' giusto come ragionamento o ho proprio sbagliato il tiro?
Mentre in $ [delta, M] $ so che la derivata è continua e definita nel compatto appena citato, quindi è U.C.
Allora $ AA x_0in [delta,M], x in (x_0-delta, x_0+delta) rArr abs(f'(x))<=epsilon $
E' giusto come ragionamento o ho proprio sbagliato il tiro?
Non è falso quello che dici, ma:
(i) Non è scritto bene: innanzitutto, dall'uniforme continuità hai una stima su $|f'(x)-f'(x_0)|$ e non su $|f'(x)|$; inoltre, il $\delta$ e la stima dipendono da $\epsilon$ e tale stima vale solo in un opportuno intorno di $x_0$.
(ii) Quale altro teorema si adatta estremamente bene a quello che ti serve e ha ipotesi simili a quelle che hai notato?
(i) Non è scritto bene: innanzitutto, dall'uniforme continuità hai una stima su $|f'(x)-f'(x_0)|$ e non su $|f'(x)|$; inoltre, il $\delta$ e la stima dipendono da $\epsilon$ e tale stima vale solo in un opportuno intorno di $x_0$.
(ii) Quale altro teorema si adatta estremamente bene a quello che ti serve e ha ipotesi simili a quelle che hai notato?
Forse il fatto che la derivata è crescente da $ delta $ a $ e $ e decrescente da $ e $ a $ M $ , quindi per il teorema dei limiti delle funzioni monotone $ AA x_0 in (delta,e) $ $ EE lim_(x -> x_0) f'(x) = Sup f'(x) $
La stessa cosa da $ e $ fino a $ M $ .
In questo modo ho la $ f'(x) $ limitata anche anche $ (delta,M) $
La stessa cosa da $ e $ fino a $ M $ .
In questo modo ho la $ f'(x) $ limitata anche anche $ (delta,M) $
Che ne sai che la derivata è crescente? Hai calcolato la derivata seconda? Non mi risulta vero ciò che dici sulla monotonia della derivata prima.
Ma, ripeto, non hai bisogno di conti. Il modulo della derivata è una funzione continua su un compatto, e tu vuoi dimostrarne la limitatezza. Devo aggiungere altro?
Ma, ripeto, non hai bisogno di conti. Il modulo della derivata è una funzione continua su un compatto, e tu vuoi dimostrarne la limitatezza. Devo aggiungere altro?
Dato che $ f' $ è definita in $ I = [delta,M] $ ed è continua, allora $ f'(I) $ è un intervallo anch'esso, perciò essendo un intervallo è limitata.
E' il corollario dei valori intermedi riformulato con un linguaggio geometrico
E' il corollario dei valori intermedi riformulato con un linguaggio geometrico
No. Anche $\mathbb{R}$ è un intervallo, ti sembra un insieme limitato? Tra l'altro, non hai usato l'ipotesi di compattezza in questo ragionamento.
Di nuovo: quale teorema importante di analisi $1$ connette compattezza, continuità e limitatezza? La limitatezza si può riformulare anche in altri termini: pensa anche intuitivamente, se una funzione ha $p_1$ e $p_2$ allora è limitata. Chi sono le parole $p_1$ e $p_2$ che servono a completare quella frase?
Di nuovo: quale teorema importante di analisi $1$ connette compattezza, continuità e limitatezza? La limitatezza si può riformulare anche in altri termini: pensa anche intuitivamente, se una funzione ha $p_1$ e $p_2$ allora è limitata. Chi sono le parole $p_1$ e $p_2$ che servono a completare quella frase?
Ahhhh il teorema di Weierstrass? Dice che una funzione definita in un compatto e continua ha massimo e minimo..?
Sì.
Questa è una tecnica standard con le funzioni continue. Ci si riconduce ai compatti "isolandoli" e si spera che, ai bordi, non ci siano comportamenti bruschi della funzione. Tienila sempre a mente!
Quindi, in conclusione, detto $H$ il massimo di $|f'|$ in $[\delta,M]$, hai che $|f'(x)| \le \max\{7,11,H\}$ per ogni $x \in (0,+\infty)$ e quindi $|f'|$ è limitata in $(0,+\infty)$. Perciò, $f$ è lipschitziana in $(0,+\infty)$ (ovviamente, $7$ e $11$ sono numeri a caso. Potevo scegliere $1$ per entrambi, ma era per evidenziare che hai tutta l'arbitrarietà del mondo su queste cose e quindi è sempre bene tenere a mente che puoi sceglierle come fanno comodo a te in quel contesto).
Questa è una tecnica standard con le funzioni continue. Ci si riconduce ai compatti "isolandoli" e si spera che, ai bordi, non ci siano comportamenti bruschi della funzione. Tienila sempre a mente!
Quindi, in conclusione, detto $H$ il massimo di $|f'|$ in $[\delta,M]$, hai che $|f'(x)| \le \max\{7,11,H\}$ per ogni $x \in (0,+\infty)$ e quindi $|f'|$ è limitata in $(0,+\infty)$. Perciò, $f$ è lipschitziana in $(0,+\infty)$ (ovviamente, $7$ e $11$ sono numeri a caso. Potevo scegliere $1$ per entrambi, ma era per evidenziare che hai tutta l'arbitrarietà del mondo su queste cose e quindi è sempre bene tenere a mente che puoi sceglierle come fanno comodo a te in quel contesto).
Alleluia!
Non avevo collegato il teorema di Weierstrass con la limitatezza. Cioè non avevo mai collegato il fatto che avendo massimo e minimo fosse limitata. Questo in effetti è molto utile per la lipschitzianità.
Non avevo neanche mai usato questa tecnica di usare i limiti agli estremi e "in mezzo" usare la compattezza.
Grazie mille per l'aiuto!! Sei un ottimo prof
Non avevo collegato il teorema di Weierstrass con la limitatezza. Cioè non avevo mai collegato il fatto che avendo massimo e minimo fosse limitata. Questo in effetti è molto utile per la lipschitzianità.
Non avevo neanche mai usato questa tecnica di usare i limiti agli estremi e "in mezzo" usare la compattezza.
Grazie mille per l'aiuto!! Sei un ottimo prof
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