Analisi matematica di base

Buonasera a tutti. Ho provato a calcolare senza riuscire a trovarmi con il risultato corretto il volume della regione interna al cilindro di equazione $x^2+y^2<=4$ e compresa tra i piani $z=x-1$ e $z=1-x$. Ho provato a calcolare l'integrale comprendendo l'asse Z tra i due piani, oppure dividendo l'integrale calcolandolo prima in un piano e poi per l'altro, senza riuscire ad ottenere $12sqrt3+8/3π$, il risultato corretto. Mi potete aiutare? Ammetto di non avere molta ...

Ciao a tutti, ho una domanda stupida da chiedere a qualcuno perché non ho capito una notazione: quella di $C^oo$ per funzioni tipo $R^n -> R^m$ più che altro solo per essere generico ma anche $R^n -> R$. Insomma il dubbio: leggo su internet che la funzione si dice $C^k$ se è derivabile k volte con continuità (cioè ho tutte le k derivate continue). Tuttavia sto studiando le funzioni $R^n -> R$ e so che derivabilità non implica differenziabilità e ...

Sia $A={0<=x<=1, 0<=y<=e^(-x)sqrtx}$ e sia $V$ il solido generato dalla rotazione di $A$ intorno all'asse x. Determina il volume di $V$. Salve, ho difficoltà in questo caso a determinare l'intervallo di esistenza della variabile z. Potete darmi dei suggerimenti?

Scusate se posto uno screenshot ma data la natura dell'esercizio non so come fare altrimenti. Devo disegnare il grafico di $f(x)$ tenuto conto che quello della sua derivata è quello rappresentato in figura e che $f(0)=0$. Poiché $f(0)=0$ e la sua derivata mi sembra una parabola con concavità verso il basso per $x<0$ e con concavità verso l'alto per $x>0$, credo che la funzione di partenza sia una cubica, con una ...

Trovare l'integrale generale della seguente equazione differenziale in più variabili: $\{(\ddot x-2 \omega_0 \dot y=0),(\ddoty+2 \omega_0 \dot x=0):}$ dove $\omega_0$ è una costante. Dalla prima equazione mi sono ricavato che $\dot y= (\ddot x)/(2 \omega_0)$ da cui $\ddot y= (x^((3)))/(2 \omega_0)$ e quidni sostituendo alla seconda equazione ottengo $(x^((3)))/(2 \omega_0)+2 \omega_0 \dot x=0$, ora per risolvere quest'ultima equazione differenziale di terzo ordine devo procedere come nel caso di equazioni differenziali di secondo ordine, quindi considerando l equazione caratteristica e ...

Sia a un numero reale e sia $y_a(x)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy: $y'=e^(-x^2)siny$, $y(0)=a$. Prova che per $a=-π/2$ la soluzione è definita e strettamente decrescente. Buonasera a tutti, sto avendo particolare difficoltà a risolvere questo esercizio. Innanzitutto non riesco a risolvere l'equazione differenziale perché l'integrale di $e^(-x^2)$ non è una funzione elementare. Inoltre non ho mai risolto esercizi dove studiare la monotonia della ...

Sia S la superficie ottenuta ruotando attorno all'asse z il grafico della funzione: $ x=1-sqrt(1-z^2) , zin[-1,1] $ A) Determinare una rappresentazione parametrica di S B) Calcolare l'area di S L'esercizio è stato svolto in due modi: 1°modo : utilizzando le coordinate cartesiane 2°modo : utilizzando le coordinate cilindriche Problema: mi aspettavo che l'area calcolata nei due modi fosse la stessa , invece no. Domanda: ho sbagliato qualcosa? [1°modo] $r(t)=((1-sqrt(1-t^2)),0,t), tin[-1,1] $ $r(t,theta)=((1-sqrt(1-t^2))costheta, (1-sqrt(1-t^2))sintheta, t) , tin[-1,1],thetain[0,2pi)$ ...

Ciao a tutti, potreste dirmi se questo esercizio è svolto correttamente, per favore? Ho un insieme $A$ costituito da un solo numero $<= 0$ Ed un insieme $B = {n in N | n/ (n^2 + 4)}$ Mi viene chiesto di determinare il solo numero dell'insieme $A$ affinchè i due insiemi siano contigui. $ N= {0,1,2,3...}$. Di conseguenza sostituendo 0 ad n nell'insieme B ottengo l'estremo inferiore e il minimo di B. Poichè A è costituito da un solo elemento e questo può essere ...

Non so se sono io che vado in confusione mentale, o no. Mi viene comunicato (credo preso da qualche libro-dispensa di matematica per economisti, o forse con elaborazione personale, non so) che, dato il sistema $$ \mathbf{z(t)} = \mathbf{A} \mathbf{x(t)}. $$ poiché $\mathbf{A}$ è un un operatore lineare: $$ \dot{\mathbf{z(t)}} = \mathbf{A} \dot{\mathbf{x(t)}} .$$ Dove $\mathbf{z}, \mathbf{x}$ sono vettori, e $\mathbf{A}$ una ...

Sia $omega=e^x(cos(x+y)+sen(x+y))dx+e^x(cos(x+y))dy$ e sia $gamma_n$ la famiglia di curve di parametrizzazione $(cos(nt),sen(nt)), t in [0,pi]$. Come si calcola $int_(gamma_n)omega$? Procedere normalmente porta ad un integrale che a me pare inaffrontabile, perciò va applicato qualche risultato teorico o cosa mi sfugge?

Buonasera! Mi sapreste spiegare la differenza tra l'integrale di darboux e l'integrale di Riemann? Possibilmente anche in modo geometrico! È vero che entrambi parlano di somma superiore e somma inferiore? Ringrazio in anticipo tutti quanti

Ciao a tutti, sto ripassando i numeri complessi e mi sono imbattuto in questo esercizio. Spero che possiate darmi una mano a venirne a capo. Devo determinare le soluzioni di $8z=i|z|^3 barz$ Ho provato con il metodo della sostituzione ma probabilmente o sbaglio qualcosa o non è il metodo adatto(o forse tutte e due le cose). $ 8(x+yi) = i(x^3+y^3)(x-yi)$ Da qui mi trovo $ 8x +8yi = (x^3i + y^3i)(x-yi)$ Continuo con i calcoli $ 8x + 8yi = x^4i +x^3y + xy^3i+y^4 $ Raccolgo la parte reale e quella immaginaria e ...

Ho una superficie generata dalla rotazione rispetto all'asse z di un segmento di estremi (2,0) e (1,2). Devo calcolare l'elemento di superficie dS. Ho notato che a seconda della direzione in cui percorriamo il segmento , cambia la sua parametrizzazione e con essa anche la parametrizzazione della superficie generata. Da (2,0) ad (1,2) ho: r(t)=(2-t,0,2t) con t in [0,1] ed ho Sigma(t,theta)=((2-t)cos theta, (2-t) sin theta , 2t) con t in [0,1] e theta in [0,2pi] Invece , Da (1,2) a (2,0) ...

Problemino: Se si pratica in una sfera di raggio R un buco cilindrico avente raggio r, in modo che l'asse del cilindro passa per il centro della sfera, quale sarà il volume residuo della sfera? Volume cilindro $V_C= pi r^2 h$, l'altezza del cilindro è 2R, quindi $V_C=2pir^2R$, Volume sfera $V_S=(4/3) pi R^3$ Differenza fra i volumi: $V_S - V_C=(4/3) pi R^3 - 2pir^2R$ il risultato corretto invece dovrebbe essere $V_S - V_C==(4/3)pi r^3$ dove la dimensione della sfera scompare.

Non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione di $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^k b^(n-k)$. La dimostrazione è per induzione. Si dimostra il passo base e, sviluppando $(a+b)^(n+1)$, si arriva a $\sum_{k=0}^n((n),(k))a^(k+1)b^(n-k) + \sum_{k=0}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k)$. Poi si pone $v=k+1$, quindi si ottiene: $\sum_{v=1}^(n+1)((n),(v-1))a^vb^(n+1-v) + \sum_{k=0}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k) => a^(n+1)+b^(n+1) + \sum_{v=1}^n ((n),(v-1))a^vb^(n+1-v) + \sum_{k=1}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k)$. Poi si cambia ancora il nome dell'indice e si pone $k=v$, in modo da ricondursi a due coefficienti binomiali con la stessa lettera $v$ e fare un raccoglimento: $a^(n+1)+b^(n+1) + \sum_{v=1}^n[((n),(v-1))+((n),(v))]a^kb^(n+1-k)$. Non mi è chiarissimo questo ...

Buonasera a tutti, Premetto che questo messaggio potrebbe sembrare stupido per come lo formulo ma mi trovo davvero in altissimo mare in merito all'argomento che stiamo trattando, ossia le condizioni di Kuhn Tucker o KKT. Ho talmente tante domande che non so da dove partire... anzi lo so! Ho una domanda che verte su una cosa che ha detto oggi il prof a lezione, e che non ho davvero capito. Forse ho scritto male, o sentito male... Ha detto, parlando delle condizioni KKT, che "il rango della ...

Ciao a tutti, potreste darmi un parere, per favore, circa lo svolgimento di questi esercizi su operazioni tra insiemi, estremi inferiori e superiori ecc? Nel primo esercizio mi si chiede di trovare la cardinalità di $AnnZZ$ e $BnnZZ$, oltre che a min, max, estremo suepriore ed inferiore di A e B. $A={x in RR| sqrt(2-x^2)>=x}$ $B={x in RR| (x^2-x)/(x-2)>0}$ Ho svolto le disequazioni e le soluzioni trovate $A=[-sqrt2, 1]$ e $B=(0,1) U (2, +infty)$ Est inf (A) = min = $-sqrt2$ est sup (A) = ...

Buongiorno. Devo risolvere il problema $sqrt(1+sqrt(-1))$ ed ho due approcci diversi. Nel primo faccio la classica conversione per cui $sqrt(-1) = i$ e procedo poi con il calcolo arrivando a due soluzioni: $ root(4)(2)e^(pi/8i)$ e $ root(4)(2)e^((9pi)/8i)$ Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due. Allora, procedo invece utilizzando più propriamente l'identità di Eulero ed ottengo quattro risultati, ovvero i primi due a cui si aggiungono $ root(4)(2)e^((7pi)/8i)$ e $ root(4)(2)e^((-pi)/8i)$ Ora il ...

Sia data la curva $\gamma(t)=(2cost+cos^3t-sin^2tcost, 2sint+sintcos^2t-sin^3t)$ con $t$ tra $0$ e $2\pi$. a) Determina l'area A dell'insieme limitato $D$ di $R^2$: $tr(\gamma)=\partialD$. b) Sia $\phi$ la superficie che si ottiene dalla rotazione della curva $\gamma$ attorno all'asse x. Stabilire se il punto $P=(sqrt2, 1, 1)$ appartiene a $\phi$ ed, in caso affermativo, scrivere l'equazione del piano tangente in tale punto. Poiché la curva è ...

Ciao a tutti, non riesco a risolvere gli esercizi 1, 3, 4 di questa simulazione di analisi I qualcuno mi potrebbe aiutare? 1) $ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 $ 3) $ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $ 4) $ int_(0)^(+oo) (x^a dx) / (x^6 + x^(2a) +1 $ Ho qualche idea: Esercizio 1: Utilizzare Taylor Esercizio 3: Ho svolto i calcoli per il numeratore che dovrebbe risultare (ax-b)/2x Esercizio 4: Nessuna idea Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto. Buona serata a tutti. Giovanni