Analisi matematica di base
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Domande e risposte
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Sia S la superficie ottenuta ruotando attorno all'asse z il grafico della funzione:
$ x=1-sqrt(1-z^2) , zin[-1,1] $
A) Determinare una rappresentazione parametrica di S
B) Calcolare l'area di S
L'esercizio è stato svolto in due modi:
1°modo : utilizzando le coordinate cartesiane
2°modo : utilizzando le coordinate cilindriche
Problema: mi aspettavo che l'area calcolata nei due modi fosse la stessa , invece no.
Domanda: ho sbagliato qualcosa?
[1°modo]
$r(t)=((1-sqrt(1-t^2)),0,t), tin[-1,1] $
$r(t,theta)=((1-sqrt(1-t^2))costheta, (1-sqrt(1-t^2))sintheta, t) , tin[-1,1],thetain[0,2pi)$
...
Ciao a tutti,
potreste dirmi se questo esercizio è svolto correttamente, per favore?
Ho un insieme $A$ costituito da un solo numero $<= 0$
Ed un insieme $B = {n in N | n/ (n^2 + 4)}$
Mi viene chiesto di determinare il solo numero dell'insieme $A$ affinchè i due insiemi siano contigui.
$ N= {0,1,2,3...}$.
Di conseguenza sostituendo 0 ad n nell'insieme B ottengo l'estremo inferiore e il minimo di B. Poichè A è costituito da un solo elemento e questo può essere ...
Non so se sono io che vado in confusione mentale, o no.
Mi viene comunicato (credo preso da qualche libro-dispensa di matematica per economisti, o forse con elaborazione personale, non so) che, dato il sistema
$$
\mathbf{z(t)} = \mathbf{A} \mathbf{x(t)}.
$$
poiché $\mathbf{A}$ è un un operatore lineare:
$$
\dot{\mathbf{z(t)}} = \mathbf{A} \dot{\mathbf{x(t)}}
.$$
Dove $\mathbf{z}, \mathbf{x}$ sono vettori, e $\mathbf{A}$ una ...
Sia $omega=e^x(cos(x+y)+sen(x+y))dx+e^x(cos(x+y))dy$ e sia $gamma_n$ la famiglia di curve di parametrizzazione $(cos(nt),sen(nt)), t in [0,pi]$.
Come si calcola $int_(gamma_n)omega$? Procedere normalmente porta ad un integrale che a me pare inaffrontabile, perciò va applicato qualche risultato teorico o cosa mi sfugge?
Buonasera!
Mi sapreste spiegare la differenza tra l'integrale di darboux e l'integrale di Riemann? Possibilmente anche in modo geometrico! È vero che entrambi parlano di somma superiore e somma inferiore? Ringrazio in anticipo tutti quanti
Ciao a tutti,
sto ripassando i numeri complessi e mi sono imbattuto in questo esercizio. Spero che possiate darmi una mano a venirne a capo.
Devo determinare le soluzioni di $8z=i|z|^3 barz$
Ho provato con il metodo della sostituzione ma probabilmente o sbaglio qualcosa o non è il metodo adatto(o forse tutte e due le cose).
$ 8(x+yi) = i(x^3+y^3)(x-yi)$
Da qui mi trovo
$ 8x +8yi = (x^3i + y^3i)(x-yi)$
Continuo con i calcoli
$ 8x + 8yi = x^4i +x^3y + xy^3i+y^4 $
Raccolgo la parte reale e quella immaginaria e ...
Ho una superficie generata dalla rotazione rispetto all'asse z di un segmento di estremi (2,0) e (1,2).
Devo calcolare l'elemento di superficie dS.
Ho notato che a seconda della direzione in cui percorriamo il segmento , cambia la sua parametrizzazione e con essa anche la parametrizzazione della superficie generata.
Da (2,0) ad (1,2) ho: r(t)=(2-t,0,2t) con t in [0,1]
ed ho Sigma(t,theta)=((2-t)cos theta, (2-t) sin theta , 2t) con t in [0,1] e theta in [0,2pi]
Invece ,
Da (1,2) a (2,0) ...
Problemino:
Se si pratica in una sfera di raggio R un buco cilindrico avente raggio r, in modo che l'asse del cilindro passa per il centro della sfera, quale sarà il volume residuo della sfera?
Volume cilindro $V_C= pi r^2 h$, l'altezza del cilindro è 2R, quindi $V_C=2pir^2R$,
Volume sfera $V_S=(4/3) pi R^3$
Differenza fra i volumi: $V_S - V_C=(4/3) pi R^3 - 2pir^2R$
il risultato corretto invece dovrebbe essere $V_S - V_C==(4/3)pi r^3$ dove la dimensione della sfera scompare.
Non mi è chiaro un passaggio della dimostrazione di $(a+b)^n = \sum_{k=0}^n ((n),(k)) a^k b^(n-k)$.
La dimostrazione è per induzione. Si dimostra il passo base e, sviluppando $(a+b)^(n+1)$, si arriva a $\sum_{k=0}^n((n),(k))a^(k+1)b^(n-k) + \sum_{k=0}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k)$.
Poi si pone $v=k+1$, quindi si ottiene:
$\sum_{v=1}^(n+1)((n),(v-1))a^vb^(n+1-v) + \sum_{k=0}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k) => a^(n+1)+b^(n+1) + \sum_{v=1}^n ((n),(v-1))a^vb^(n+1-v) + \sum_{k=1}^n((n),(k))a^kb^(n+1-k)$.
Poi si cambia ancora il nome dell'indice e si pone $k=v$, in modo da ricondursi a due coefficienti binomiali con la stessa lettera $v$ e fare un raccoglimento:
$a^(n+1)+b^(n+1) + \sum_{v=1}^n[((n),(v-1))+((n),(v))]a^kb^(n+1-k)$.
Non mi è chiarissimo questo ...
Buonasera a tutti,
Premetto che questo messaggio potrebbe sembrare stupido per come lo formulo ma mi trovo davvero in altissimo mare in merito all'argomento che stiamo trattando, ossia le condizioni di Kuhn Tucker o KKT.
Ho talmente tante domande che non so da dove partire... anzi lo so!
Ho una domanda che verte su una cosa che ha detto oggi il prof a lezione, e che non ho davvero capito. Forse ho scritto male, o sentito male...
Ha detto, parlando delle condizioni KKT, che "il rango della ...
Ciao a tutti,
potreste darmi un parere, per favore, circa lo svolgimento di questi esercizi su operazioni tra insiemi, estremi inferiori e superiori ecc?
Nel primo esercizio mi si chiede di trovare la cardinalità di $AnnZZ$ e $BnnZZ$, oltre che a min, max, estremo suepriore ed inferiore di A e B.
$A={x in RR| sqrt(2-x^2)>=x}$ $B={x in RR| (x^2-x)/(x-2)>0}$
Ho svolto le disequazioni e le soluzioni trovate $A=[-sqrt2, 1]$ e $B=(0,1) U (2, +infty)$
Est inf (A) = min = $-sqrt2$
est sup (A) = ...
Buongiorno.
Devo risolvere il problema $sqrt(1+sqrt(-1))$ ed ho due approcci diversi.
Nel primo faccio la classica conversione per cui $sqrt(-1) = i$ e procedo poi con il calcolo arrivando a due soluzioni:
$ root(4)(2)e^(pi/8i)$ e $ root(4)(2)e^((9pi)/8i)$
Mi accorgo però che dovrei avere 4 soluzioni e ne ho due.
Allora, procedo invece utilizzando più propriamente l'identità di Eulero ed ottengo quattro risultati, ovvero i primi due a cui si aggiungono
$ root(4)(2)e^((7pi)/8i)$ e $ root(4)(2)e^((-pi)/8i)$
Ora il ...
Sia data la curva $\gamma(t)=(2cost+cos^3t-sin^2tcost, 2sint+sintcos^2t-sin^3t)$ con $t$ tra $0$ e $2\pi$.
a) Determina l'area A dell'insieme limitato $D$ di $R^2$: $tr(\gamma)=\partialD$.
b) Sia $\phi$ la superficie che si ottiene dalla rotazione della curva $\gamma$ attorno all'asse x. Stabilire se il punto $P=(sqrt2, 1, 1)$ appartiene a $\phi$ ed, in caso affermativo, scrivere l'equazione del piano tangente in tale punto.
Poiché la curva è ...
Ciao a tutti,
non riesco a risolvere gli esercizi 1, 3, 4 di questa simulazione di analisi I qualcuno mi potrebbe aiutare?
1) $ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 $
3) $ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $
4) $ int_(0)^(+oo) (x^a dx) / (x^6 + x^(2a) +1 $
Ho qualche idea:
Esercizio 1:
Utilizzare Taylor
Esercizio 3:
Ho svolto i calcoli per il numeratore che dovrebbe risultare (ax-b)/2x
Esercizio 4:
Nessuna idea
Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Buona serata a tutti.
Giovanni
Due funzioni entrambe definite in un sottoinsueme A di R hanno derivate uguali in ogni punto di A.
a) [tex]\exists c \in \mathbb{R} : f(x) = g(x) + c \quad \forall x \in \mathbb{R}[/tex]?
b) Supponendo che [tex]A = ]0,1[ \cup ]1,2[ \cup ]2,3[[/tex] è possibile definire f e g nei punti di ascissa 0, 1, 2, 3 in modo tale che f-g è integrabile secondo Riemann in [0,3]?
Per cominciare a rispondere alla prima domanda, ho notato che se hanno derivate uguali in ogni punto di A, le due ...
Ciao a tutti, cercando in rete mi sono imbattuto in questo esercizio che chiede determinare, se esiste, il limite della seguente successione per ricorrenza:
a_(n+1) = n - 3^(a_n)
a(1)=1
provando a calcolare i primi termini mi sembra di intuire che quelli di indice dispari siano tutti positivi mentre gli altri tutti negativi, e che le rispettive sottosuccessioni possano divergere, ma non riesco a dimostrarlo usando il principio d'induzione. Avete qualche idea?
Grazie in anticipo
Si supponga che $lim_(n->+oo) x_n$ sia una successione di numeri reali convergenti al limite $x_0 !=0$ e che i termini $x_n$ siano diversi da $0$ per ogni $n$.
Dimostrare che esiste $B>0$ tale che $|x_n|>=B$ per ogni $n$.
Vi scrivo un pezzo della mia dimostrazione.
Suppongo $x_0>0$. Per il teorema della permanenza del segno, esiste un intorno di infinito, $(M,+oo)$ in cui la successione è sempre ...
Buongiorno a tutti.
E' il mio primo post, quindi chiedo scusa in anticipo per eventuali errori o dimenticanze.
Premetto che ho 62 anni e che da qualche tempo ho deciso di ripassare un po' di matematica, solo per piacere personale e per mantenere la mente più elastica possibile. Attualmente sto ripassando su un testo universitario gli argomenti di base, in particolare gli insiemi.
Mi sono imbattuto in questo esercizio che da qualche tempo ...non mi fa dormire! Espongo:
Dati i seguenti ...
Sia $A={arcsinx+arcsiny<=pi/2}$. Calcola $\int int (1+y-x) dxdy$ in A.
Allora, l'arcoseno limita x e y tra $-1$ e $1$ con codominio tra $-pi/2$ e $pi/2$. Dal dominio si ricava $y<=sqrt(1-x^2)$. Non sono sicura degli estremi di integrazione. La y dovrebbe essere compresa tra $-1$ e $sqrt(1-x^2)$? x invece tra $-1$ e $1$?
Stavo ripassando alcuni teoremi relativi alle derivate e non mi è chiarissimo il criterio di derivabilità (quello che non usa il limite del rapporto incrementale per stabilire la dericabilità della funzione in un punto $x_0$).
In particolare, il criterio dice che:
1) se $f(x)$ è continua in $[a,b]$;
2) derivabile in $(a,b)$ a eccezione al più di un punto $x_0 in (a,b)$
3) risulta $lim_(x->x_0^-) f'(x) = lim_(x->x_0^+) f'(x) = l$,
allora la funzione è derivabile in ...
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