Studio di un problema di Cauchy
Sia a un numero reale e sia $y_a(x)$ la soluzione del seguente problema di Cauchy: $y'=e^(-x^2)siny$, $y(0)=a$. Prova che per $a=-π/2$ la soluzione è definita e strettamente decrescente.
Buonasera a tutti, sto avendo particolare difficoltà a risolvere questo esercizio. Innanzitutto non riesco a risolvere l'equazione differenziale perché l'integrale di $e^(-x^2)$ non è una funzione elementare. Inoltre non ho mai risolto esercizi dove studiare la monotonia della soluzione. Potete darmi dei suggerimenti?
Buonasera a tutti, sto avendo particolare difficoltà a risolvere questo esercizio. Innanzitutto non riesco a risolvere l'equazione differenziale perché l'integrale di $e^(-x^2)$ non è una funzione elementare. Inoltre non ho mai risolto esercizi dove studiare la monotonia della soluzione. Potete darmi dei suggerimenti?
Risposte
Devi fare un pezzettino di quello che si chiama "studio qualitativo".
Innanzitutto, la soluzione esiste localmente. Sai dire perché?
Conosci teoremi che ti consentono di prolungare la soluzione locale ottenendo una soluzione massimale? Se sì, quali? Puoi applicarli?
La EDO ha soluzioni costanti? Se sì, quali?
Il grafico della tua soluzione massimale può intersecare quello delle soluzioni costanti? Sì? No? Perché?
Conosci teoremi che ti aiutino a dire qual è il dominio della soluzione massimale? Se sì, quali? Riesci ad applicarli?
Sai dire quale segno ha la derivata della soluzione massimale sfruttando la EDO, la condizione iniziale e la presenza di soluzioni stazionarie?
Innanzitutto, la soluzione esiste localmente. Sai dire perché?
Conosci teoremi che ti consentono di prolungare la soluzione locale ottenendo una soluzione massimale? Se sì, quali? Puoi applicarli?
La EDO ha soluzioni costanti? Se sì, quali?
Il grafico della tua soluzione massimale può intersecare quello delle soluzioni costanti? Sì? No? Perché?
Conosci teoremi che ti aiutino a dire qual è il dominio della soluzione massimale? Se sì, quali? Riesci ad applicarli?
Sai dire quale segno ha la derivata della soluzione massimale sfruttando la EDO, la condizione iniziale e la presenza di soluzioni stazionarie?
Ciao m.e._liberti,
Vero, ma si può fare uso della ben nota funzione degli errori $\text{erf}(x) := 2/\sqrt{\pi} \int_0^x e^{- t^2} \text{d}t $
L'equazione differenziale è a variabili separabili e la soluzione mi risulta essere la seguente:
$y(x) = 2 \text{arccot}(e^{c - \sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) $
Dato che $y(0) = a $ e che ovviamente $ \text{erf}(0) = 0 $ si ha:
$a/2 = \text{arccot}(e^c) \implies cot(a/2) = e^c $ sicché si ha:
$y_a(x) = 2 \text{arccot}(e^{- \sqrt\pi/2 \text{erf}(x)} cot(a/2)) $
Per $a = - \pi/2 $ si ottiene:
$y_{-\pi/2}(x) = - 2 \text{arccot}(e^{- \sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)})$
che in effetti mi risulta decrescente.
"m.e._liberti":
Innanzitutto non riesco a risolvere l'equazione differenziale perché l'integrale di $e^{- x^2} $ non è una funzione elementare.
Vero, ma si può fare uso della ben nota funzione degli errori $\text{erf}(x) := 2/\sqrt{\pi} \int_0^x e^{- t^2} \text{d}t $
L'equazione differenziale è a variabili separabili e la soluzione mi risulta essere la seguente:
$y(x) = 2 \text{arccot}(e^{c - \sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) $
Dato che $y(0) = a $ e che ovviamente $ \text{erf}(0) = 0 $ si ha:
$a/2 = \text{arccot}(e^c) \implies cot(a/2) = e^c $ sicché si ha:
$y_a(x) = 2 \text{arccot}(e^{- \sqrt\pi/2 \text{erf}(x)} cot(a/2)) $
Per $a = - \pi/2 $ si ottiene:
$y_{-\pi/2}(x) = - 2 \text{arccot}(e^{- \sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)})$
che in effetti mi risulta decrescente.
Quello di pilloeffe è il classico approccio basato sul celebre Teorema di Esistenza dell'Ingegnere, "Se lo so calcolare, allora esiste", declinato rispetto allo studio della monotonia: "Se so calcolare la soluzione, allora ne so studiare il segno della derivata". 
Tuttavia, questo mi pare un approccio molto antiquato.
Citandomi da un recente post:
Tuttavia, questo mi pare un approccio molto antiquato.
Citandomi da un recente post:
"gugo82":
[...] una cosa importante: oltre a saper fare i conti, devi anche saper ragionare.
Non sei più alle superiori, dove fare il conticino bastava... Qui serve mettere in moto le meningi, ragionare sui problemi.
"gugo82":
Tuttavia, questo mi pare un approccio molto antiquato.
Beh, sarà anche antiquato, ma in questo caso funziona...
Grazie ad entrambi, considero entrambi i metodi .
Riferendomi a
.Riferendomi a
"gugo82":Va bene se considero semplicemente $y'(0)=sin(-π/2)=-1<0$, quindi per il significato della derivata prima affermare che è decrescente (?)
Devi fare un pezzettino di quello che si chiama "studio qualitativo".
"m.e._liberti":Va bene se considero semplicemente $y'(0)=sin(-π/2)=-1<0$, quindi per il significato della derivata prima affermare che è decrescente (?)[/quote]
Grazie ad entrambi, considero entrambi i metodi
Riferendomi a [quote="gugo82"]Devi fare un pezzettino di quello che si chiama "studio qualitativo".
Basta il segno della derivata prima in un punto o serve altro?
"gugo82":Va bene se considero semplicemente $y'(0)=sin(-π/2)=-1<0$, quindi per il significato della derivata prima affermare che è decrescente (?)[/quote]
[quote="m.e._liberti"]Grazie ad entrambi, considero entrambi i metodi
Riferendomi a [quote="gugo82"]Devi fare un pezzettino di quello che si chiama "studio qualitativo".
Basta il segno della derivata prima in un punto o serve altro?[/quote]
Probabilmente altro… perché in effetti il segno della derivata prima in un punto non implica che lo sia in tutto l’intervallo R… ma non so come fare…
Cosa sai dire della tua soluzione?
È continua? Derivabile? Quante volte?
È continua? Derivabile? Quante volte?
"gugo82":
Cosa sai dire della tua soluzione?
È continua? Derivabile? Quante volte?
Il seno è una funzione continua e di classe infinito, quindi derivabile infinite volte. Questo mi conferma l’asserto?
"m.e._liberti":
[quote="gugo82"]Cosa sai dire della tua soluzione?
È continua? Derivabile? Quante volte?
Il seno è una funzione continua e di classe infinito, quindi derivabile infinite volte. Questo mi conferma l’asserto?[/quote]
Tu che dici?
@m.e._liberti:
Non hai risposto a queste domande di gugo82 che mi sembrano piuttosto importanti.
Si vede subito che la EDO proposta ha tutte le soluzioni costanti che annullano $sin y $, cioè del tipo $y = k\pi $ con $k \in \ZZ $; dato poi che $y(0) = a = -\pi/2 $, in effetti ci interessano le sole soluzioni costanti $y = 0 $ e $y = -\pi $ che non possono essere intersecate dal grafico della soluzione massimale, cosa che si può verificare anche sfruttando l'espressione esplicita che ti ho scritto:
$\lim_{x \to -\infty} y_{-\pi/2}(x) = - 2 \cdot \lim_{x \to -\infty} arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 \text{arccot}(e^{(\sqrt\pi)/2}) ~~ - 0,782 < 0 $
$\lim_{x \to +\infty} y_{-\pi/2}(x) = - 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 \arctan(e^{(\sqrt\pi)/2}) ~~ - 2,36 > - \pi $
Dato che la soluzione $y_{-\pi/2}(x) $ è continua e definita su tutto $\RR $ assume tutti i valori compresi fra i due limiti scritti ed in particolare certamente è limitata dalle due soluzioni costanti menzionate: $-\pi < y_{-\pi/2}(x) < 0 $
"gugo82":
La EDO ha soluzioni costanti? Se sì, quali?
Il grafico della tua soluzione massimale può intersecare quello delle soluzioni costanti?
Non hai risposto a queste domande di gugo82 che mi sembrano piuttosto importanti.
Si vede subito che la EDO proposta ha tutte le soluzioni costanti che annullano $sin y $, cioè del tipo $y = k\pi $ con $k \in \ZZ $; dato poi che $y(0) = a = -\pi/2 $, in effetti ci interessano le sole soluzioni costanti $y = 0 $ e $y = -\pi $ che non possono essere intersecate dal grafico della soluzione massimale, cosa che si può verificare anche sfruttando l'espressione esplicita che ti ho scritto:
$\lim_{x \to -\infty} y_{-\pi/2}(x) = - 2 \cdot \lim_{x \to -\infty} arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 \text{arccot}(e^{(\sqrt\pi)/2}) ~~ - 0,782 < 0 $
$\lim_{x \to +\infty} y_{-\pi/2}(x) = - 2 \cdot \lim_{x \to +\infty} arctan(e^{\sqrt\pi/2 \text{erf}(x)}) = - 2 \arctan(e^{(\sqrt\pi)/2}) ~~ - 2,36 > - \pi $
Dato che la soluzione $y_{-\pi/2}(x) $ è continua e definita su tutto $\RR $ assume tutti i valori compresi fra i due limiti scritti ed in particolare certamente è limitata dalle due soluzioni costanti menzionate: $-\pi < y_{-\pi/2}(x) < 0 $
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