Aiuto simulazione analisi 1

[GiovanniB03]

Ciao a tutti,
non riesco a risolvere gli esercizi 1, 3, 4 di questa simulazione di analisi I qualcuno mi potrebbe aiutare?

1) $ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 $

3) $ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $

4) $ int_(0)^(+oo) (x^a dx) / (x^6 + x^(2a) +1 $

Ho qualche idea:

Esercizio 1:
Utilizzare Taylor

Esercizio 3:
Ho svolto i calcoli per il numeratore che dovrebbe risultare (ax-b)/2x

Esercizio 4:
Nessuna idea

Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto.
Buona serata a tutti.
Giovanni

[Quinzio]

Per il 4) si procede cosi'.
Sai che l'integrale $\int_0^\infty 1/x^k dx$ converge se $k > 1$.

Allora se si verifica questa condizione:
$x^a/(x^6+x^{2a}+1) < 1/x^k$
anche il nostro integrale converge.

Riscriviamo la condizione semplificandola
$1/(x^{6-a}+x^a+x^{-a}) < 1/x^k$

e facciamo queste 3 maggiorazioni della nostra frazione a sinistra:
$1/x^{6-a} < 1/x^k$
$1/x^a < 1/x^k$
$1/x^{-a} < 1/x^k$

che riscriviamo cosi':
$x^{6-a} > x^k$
$x^a > x^k$
$x^{-a} > x^k$
e confrontiamo gli esponenti. $k$ lo poniamo a $1$ come detto prima.

E' sufficiente che sia verificata anche solo una delle 3 disequazioni per avere la convergenza.

Per $a \in (-\infty,1]$ e' verificata la prima ($6-a > 1$).
Per $a>1$ e' verificata la seconda.

[Quinzio]

Per il imite...
$lim_{x -> -\infty} ( \sqrt(x^2+ax) -\root[3]{ x^3+bx^2} +2x)/( ( \root[4](x^2+bx) -sqrt (-x)) sqrt(|x|))$

cambiamo segno alla $x$ e togliamo il modulo:
$lim_{x -> \infty} ( \sqrt(x^2-ax) +\root[3]{ x^3-bx^2} -2x)/( ( \root[4](x^2-bx) -sqrt x) sqrt(x))$

semplifichiamo il denominatore
$lim_{x -> \infty} ( \sqrt(x^2-ax) +\root[3]{ x^3-bx^2} -2x)/( \root[4](x^4-bx^3) -x )$

Raccogliamo una $x$ e semplifichiamo
$lim_{x -> \infty} ( \sqrt(1-a/x) +\root[3]{ 1-b/x} -2)/( \root[4](1-b/x) -1 )$

facciamo un cambio $y=1/x$
$lim_{y -> 0} ( \sqrt(1-ay) +\root[3]{ 1-by} -2)/( \root[4](1-by) -1 )$

Adesso possiamo finalmente applicare lo sviluppo $\root[k](1+x) = 1+x/k+...$
$lim_{y -> 0} ( -a/2y -b/3y)/( -b/4y )= 2a/b +4/3$

[pilloeffe]

Ciao GiovanniB03.

Benvenuto sul forum!

Ti chiederei però la cortesia di non postare immagini sul forum, che è vietato da regolamento perché i siti che ospitano le immagini prima o poi le eliminano e questo rende il post illeggibile per gli altri utenti del forum. Sostituisci l'immagine con la scrittura delle formule come indicato qui. Considerando che è il tuo primo post per stavolta ti aiuto io.

Detto questo la strada che hai pensato per il primo limite è corretta e se non ho fatto male i conti si ha:

$ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 = - 1/6 a b (2 a^2 + b^2) $

$ \lim_{x \to 0} (arctan(ax) sin(bx) - abx^2)/(ln((cos x)^2))^2 = - 1/6 a b (2 a^2 + b^2) $

Per il denominatore ricorda che $cos^2 x = 1 - sin^2 x $

Per il limite in 3)

$ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $

$ \lim_{x \to -\infty} (\sqrt(x^2+ax) -\root[3]{x^3+bx^2} +2x)/((\root[4](x^2+bx) -\sqrt (-x))\sqrt(|x|)) $

avrei proceduto come ti ha già scritto Quinzio, salvo che nel finale avrei usato il limite notevole

$\lim_{t \to 0} ((1 + t)^p - 1)/t = p \in \RR $, sicché si ha:

$ \lim_{x \to +\infty} (\sqrt(1 - a/x) +\root[3]{1 - b/x} -2)/(\root[4](1 - b/x) -1) = \lim_{x \to +\infty} (\sqrt(1 - a/x) - 1 +\root[3]{1 - b/x} - 1)/(\root[4](1 - b/x) -1) = $
$ = \lim_{x \to +\infty} (-a/x (\sqrt(1 - a/x) - 1)/(-a/x) - b/x(\root[3]{1 - b/x} - 1)/(-b/x))/(-b/x(\root[4](1 - b/x) -1)/(-b/x)) = \lim_{x \to +\infty} (-a (\sqrt(1 - a/x) - 1)/(-a/x) - b(\root[3]{1 - b/x} - 1)/(-b/x))/(-b(\root[4](1 - b/x) -1)/(-b/x)) = $
$ = (- 1/2 a - 1/3 b)/(- 1/4 b) = 2 a/b + 4/3 $

[GiovanniB03]

Ciao a tutti,
grazie mille per il vostro aiuto, per gli esercizi 3 e 4 ora è tutto più chiaro.

Per quanto riguarda l'esercizio 1 mi chiedevo a che potenza di x mi devo fermare per lo fare lo sviluppo e come si sviluppa il denominatore con Taylor.

Vi ringrazio in anticipo per le vostre risposte.
Buona serata a tutti

[pilloeffe]

"GiovanniB03":Per quanto riguarda l'esercizio 1 mi chiedevo a che potenza di x mi devo fermare per lo fare lo sviluppo e come si sviluppa il denominatore con Taylor.

Se ti fermi al grado 1 si ha una cancellazione col termine $abx^2 $, quindi mi fermerei al grado 3:

$arctan(ax) = ax - (a^3 x^3)/3 + o(x^5) $

$ sin(bx) = bx - (b^3 x^3)/6 + o(x^5) $

Il denominatore per $x \to 0 $ si comporta come $(- sin^2 x)^2 $ , quindi come $x^4$ e ti puoi fermare al termine di grado 1 nello sviluppo in serie del seno.