Volume di un solido generato dalla rotazione

[m.e._liberti]

Sia $A={0<=x<=1, 0<=y<=e^(-x)sqrtx}$ e sia $V$ il solido generato dalla rotazione di $A$ intorno all'asse x. Determina il volume di $V$.
Salve, ho difficoltà in questo caso a determinare l'intervallo di esistenza della variabile z. Potete darmi dei suggerimenti?

[moccidentale]

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[pilloeffe]

Ciao m.e._liberti,

Ma non è il caso più semplice che esista?

$V_x = \pi\int_0^1 y^2 \text{d}x = \pi\int_0^1 xe^{-2x} \text{d}x = ... = \pi/4(1 - 3/e^2) $

[m.e._liberti]

"sellacollesella":Se intendi individuare il solido di rotazione, si ha: \[
V=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3:0\le x\le 1,\,y^2+z^2\le\left(e^{-x}\sqrt{x}\right)^2\right\}.
\] Ma ciò non è necessario, basta applicare uno dei due teoremi di Pappo-Guldino.

Ciao, vorrei capire meglio questo passaggio. In generale, quando mi viene richiesto di individuare il solido di rotazione devo elevare al quadrano la y e aggiungere la componente $z^2$?

[moccidentale]

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[m.e._liberti]

"sellacollesella":In ogni modo, essendo richiesto il volume di \(V\), non è necessario determinare \(V\), bensì è sufficiente
applicare il secondo teorema di Pappo-Guldino che, nello specifico, porta alla formula di pilloeffe.

Tale teorema dovrebbe dire che il volume è dato dal prodotto tra l’area del dominio, la rotazione e la coordinata del baricentro. Come si ci arriva a calcolare semplicemente

"pilloeffe":
$ V_x = \pi\int_0^1 y^2 \text{d}x $

?

[pilloeffe]

"m.e._liberti":Come ci si arriva a calcolare semplicemente [...]

Beh, l'area del cerchio è semplicemente $\pi r^2 = \pi y^2 $; per ottenere il volume del cilindretto infinitesimo basta moltiplicarla per $\text{d}x $:

$\text{d}V_x = \pi y^2 \text{d}x $

Integrando fra $0$ e $1$ si trova il volume richiesto.
Più in generale, per trovare il volume di solidi di rotazione attorno all'asse $x$ si ha:

$V_x (a, b) = \pi \int_a^b f^2(x) \text{d}x $

[moccidentale]

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[m.e._liberti]

Ora mi è chiaro, grazie mille ad entrambi